2-7隐函数的求导
隐函数参数方程求导法则
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由 例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数 例5. 设由方程 （其中 为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程 （其中 为参数）确定函数 y cos
高等数学-第二章 第4节 隐函数及参数方程求导
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
Байду номын сангаас
d ( tan t) d ( tan t) dt
dx
dt
dx
d dt
( tant)
1 dx
所以 y [ 1(x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
11
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
3
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
x sin x (cos x ln x sin x ) x
8
例7
y ( 2 x )x xxx , x2 1
求 dy . dx
解 ：令
y1
(
隐函数的求导公式.
=
1
1 2y 3z2 2y
4
yz
例4
设
x2 xy
y2 u2
uv v2
0 0
，求
u x
,
v x
解 设 u u( x, y), v v( x, y).
方程组两端同时对x 求偏导，得
2x + 0 ( u v + u v ) = 0
x
x
y
2u u
+
2v v
x
x
=0
即
v u x
+ u v
x
v
x
x x
u v 0 y y
u v
1 x v
0 y v
J x 1 u
= 1 y
J v
y 0 u
J
= 1 y
J u
同理，可得 u 1 x y J v v 1 x y J u
作业
P89 2, 4, 6, 7, 9, 10, 11
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u0 u(x0, y0 ), v0 v(x0, y0 ), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有
隐函数求导法则(2)
根据变上限积分求导公式有
ex sin(x z) (1 dz ),
xz
dx
dz 1 ex (x z) , dx sin(x z)
所以，du dx
f1'
y x
f
' 2
[1
ex (x sin( x
z) z)
]
f3'
.
12
2. 二元隐函数F(x, y, z) 0求导公式
解 令 F(x, y) ln x2 y2 arctan y x
1 ln(x2 y2 ) arctan y
Fx
(
x,
y
)
2 2x 2(x2 y2 )
Fy( x, y)
y x2
1 y
y2 xx2
x2 y2
,
x x2
x
y y2
,
则
dy Fx x y .
dx Fy y x
9
例3 设u f (x, y, z)有连续一阶偏导数，又
1
问题1 是不是所有的二元方程都能确定一个
隐函数？
不是。 例如：x2 y2 c 0
当c 0时，不能确定一个隐函数。
当c 0时,能确定一个隐函数。
问题2 是不是所有的隐函数都可以显化成显函数？
不是。 例如：2x y3 1 0
y 3 2x 1
x ln( xy) 不能显化为显函数 y
显函数
x
x y
y
z yz z xz x ez xy , y ez xy ,
dz
z x
dx
z y
dy
ez
yz xy
第二章 导数与微分 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定
π
所以椭圆在t =
yt′ b cos t b π b 而y′ = = = − cot t , 当t = 时, y′ | π = − t= xt′ −a sin t a 4 a 4 π
4 处的切线方程为 :
2 b 2 y− b = − (x − a) 2 a 2
化简得 : bx + ay − 2ab = 0
600
内容小结 1、隐函数求导数：将因变量看成自变量的函数，用 复合函数求导法则，对方程两边求导 2、参数方程所确定函数的导数：用公式 dy 2 d y d dy 1 dy dt 二阶导数 2 = ( ) ⋅ 一阶导数 = dx dt dx dx dx dx dt dt 作业： 1（ ）（3）；3 ）；4 ）（3 作业：P138 1（1）（3）；3（4）；4（1）（3） ）；8 ）（4）；10 7（1）；8（1）（4）；10
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
d ψ ′(t ) (t 1 )⋅ = ( dt ϕ ′( t ) ϕ ′( t )
隐函数的求导公式
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
(1)
∂(F , G ) ∂(F , G ) dy ∂ ( x , z ) dz ∂ ( y, x ) , , =− =− ∂ ( F , G ) dx ∂(F , G ) dx ∂ ( y, z ) ∂ ( y, z )
x2 + y2 + z2 = 6 dy dz 例6：已知 ，求 , . dx dx 2x + 3y + z = 0
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = , =− 2 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u yu − xv y −v , = 2 2 x −y x +y y x
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
第二章 4节 隐函数与对数求导
dy dy dy dt dy 1 ( t ) dy dt dx dt dx dt dx ( t ) 即 dx dx dt dt
10
故，若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
又
x 1时y 1. 因此 y x1 1
21
例5.
x y 1, 求 y
2 2
解: 2 x 2 y y 0 x y y
(1)
y ( x ) xy xy 2
y y
x y x( ) 2 2 y x y பைடு நூலகம்1 3 3 2 y y y
16
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
3.3隐函数与参数方程求导法则
(t ) 0 时, 有
例5 已知圆的参数方程为
求
解
dy dy dx (a sin t ) ' a cos t / cos t dx dt dt (a cos t ) ' a sin t
参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求 和 的导数，再求它们的商。因而，利用 求参数方程所确定的函数的导数可以用 D[y , t]/ D[x , t]
(3 y 2 x 0)
2
y ' |(1,1) 1
则所求切线方程为
即
y 1 (1)( x 1)
x y2 0
求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成. 因而，在 Mathematica 中可使用D 和 Solve 语句， 求由方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数的导数。
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
例3 求由方程 dy 。 dx 解
x 4 y 4 所确定的隐函数的导数
2 2
方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
意义是 的一阶导数。
一样的，都表示函数
例4
求方程 导数。
所确定的隐函数的
解
即
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
例1 求由方程 y 1 xe
y
解
高等数学 第2章 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题： 方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解： 先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
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模块基本信息
一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块
三级模块名称 隐函数的求导
模块编号 2-7
先行知识
复合函数求导 模块编号 2-6 导数的四则运算
模块编号
2-4 知识内容
教学要求
掌握程度 1、隐函数与显函数的区别 1、了解隐函数与显函数区别
一般掌握
2、隐函数的求导方法 2、掌握隐函数的求导方法，会用对数求导法
能力目标 1、培养学生的计算能力 2、知识拓展的能力 时间分配 35分钟
编撰
陈亮
校对
方玲玲
审核 危子青
修订
肖莉娜
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：通过提问的方式，让学生对提出的问题进行思考,从中解决问题，得到结论，运用结论，最后列出几种具有代表性的隐函数进行讲解。
特点：通过问题引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
二、授课部分
（一）预备知识
1、复合函数求导
2、导数的四则运算
3、隐函数的定义
1）显函数: 形如()y f x =的函数称为显函数. 例如：sin 23x
y x e y x =+=+
2）隐函数: 由方程(),0F x y =所确定的函数称为隐函数. 例如：2
35223x x y xy e y xy ++=+=
（二）新课讲授
提问：隐函数的导数该怎么求？
例1．求由方程30y x e xy e ++-=所确定的隐函数y 的导数. （一级）
解: 方程两边同时对x 求导
230y x e y y xy ''+⋅++=
得 ()230y
y
x y
y e
x e x
+'=+≠+
隐函数的求导方法：
1、两边同时对x 求导，把y 看成是关于x 的函数；
2、整理得到y '； 课堂练习：
1、求由方程sin y x y =所确定的隐函数y 的导数.
2、求由方程()sin y e x y =+所确定的隐函数y 的导数. 例2．求()sin 0x y x x =>的导数。
（二级） 解 两边取以e 为底的对数，得
ln sin ln y x x =⋅
利用隐函数求导法，两边同时对x 求导，得
11
cos ln sin y x x x y x
'=⋅+⋅ sin 1sin cos ln sin cos ln x x y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫'=⋅⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
幂指函数的求导方法：
两边取以e 为底的对数，然后利用隐函数求导法求导。
课堂练习：
求由方程x y y x =所确定的隐函数y 的导数. 例3．求()()()()
1234x x y x x --=
--的导数。
（二级）
解 两边取以e 为底的对数（假定4x >），得
()()()()1
ln ln 1ln 2ln 3ln 42y x x x x =
⋅-+-----⎡⎤⎣
⎦
利用隐函数求导法求导，得
111121234y y x x x x ⎡⎤
'=
⋅+--⎢⎥----⎣⎦
当1x <时，()()()()1234x x y x x --=
--；
当23x <<时，()()()()
1234x x y x x --=
--； 用同样的方法可得与上面相同的结果。
三、能力反馈部分
（1）6y x xe ye +=，求y ' （一级） （2）cos x y x =，求y ' （二级） （2）53
2
5
2
x y x -=+，求y ' （二级）。