工程数学—线性代数复习参考资料
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。
它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。
一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。
在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。
另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。
最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解 ，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况， 并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
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详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的 理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说 明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用 矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的 关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其 定义和性质有助于更好地解决相关问题。
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典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第 二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元 素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
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感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照 一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过 程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算 总结词：矩阵的秩 总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通 过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。
线性代数复习提要
(二) 伴随矩阵.
(1) AA∗ = A∗A = |A|E. 这个公式要牢记! 其重大意义是由此引入了逆矩阵的讨论. 注意这里
的 A 不一定是可逆的. (2) 若 A = 0, 则 A−1 = 1 A∗. 它在理论上给出了求逆矩阵的方法, 但是并不实用, 在第三章 |A|
将给出一个简单实用的方法(见教材 P.64 例 2).
∗Email: huangzh@
1
§0.2 要点 TOP 10
下面的要点列为 TOP 10 是因为其理论重要性、易错等原因. (I) |λA| = λn|A|. (A 为 n 阶方阵) (II) 矩阵乘法不满足交换律、消去律. (III) 矩阵秩的性质 5 ∼ 8. (IV) 特征值性质: λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann; λ1λ2 · · · λn = A . (V) 若 λ 是 A 的一个特征值, 则 ϕ(λ) 是矩阵多项式 ϕ(A) 的特征值. (VI) 齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系由 n − r 个线性无关的解构成. (VII) 线性方程组有解、无解的充要条件. (VIII) 矩阵对角化的充要条件. (IX) 伴随矩阵的定义, AA∗ = A∗A = |A|E. (X) 初等变换不改变矩阵的秩.
(三) 逆矩阵
(1) 矩阵定义中的条件 “AB = BA = E” 是可以弱化的: 设 A, B 为方阵, 若 AB = E, 则 A,
B 可逆, 且互为逆矩阵. 更一般地, 对方阵而言, 若 A1A2 · · · Ak = λE 且 λ = 0, 则矩阵 A1, A2, · · · , Ak 都是可逆的.
(ii) 若 P 右乘矩阵 A, 则 AP 的结果是: 把矩阵 A 进行初等列变换, 并且 P 是怎样由单位矩阵 E
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复习重点：第一部分 行列式1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分 线性方程组1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。
天津市考研数学复习资料线性代数重点知识点整理
天津市考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数是数学中的重要分支，也是天津市考研数学中的一门重要课程。
下面将整理一些线性代数的重点知识点，供大家参考复习。
1. 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，其中最常见的形式是n元一次齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
在解线性方程组时，可以通过高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解，同时也需要对线性方程组的解空间进行分析。
2. 矩阵与向量矩阵与向量是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示为m行n列的矩形数组，可以进行矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等运算。
向量是一种特殊的矩阵，是一个有序数组，可以表示为n行1列或1行n列的矩阵。
矩阵与向量的运算有着重要的应用，如线性方程组的矩阵表示、线性变换的矩阵表示等。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
通过求解矩阵的特征方程，可以得到矩阵的特征值。
而矩阵的特征向量则是对应于特征值的非零向量。
特征值和特征向量在线性代数中有着广泛的应用，如对角化、相似矩阵的性质等。
4. 线性变换与矩阵的相似性线性变换是线性代数中的重要内容，它是指保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵的相似性是线性代数中的一个重要关系，两个矩阵相似意味着它们表示了相同的线性变换。
矩阵的相似性对于矩阵的特征值、特征向量等性质有着重要的影响。
5. 线性空间与线性相关性线性空间是线性代数中的一个基本概念，它是由向量组成的集合，并满足向量的加法和数乘运算的封闭性。
线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它描述了向量之间的依赖关系。
通过研究向量的线性相关性，可以得到诸如线性方程组的解空间、向量组的秩等重要知识。
6. 内积空间与正交性内积空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个带有内积运算的线性空间。
内积空间中可以定义向量的长度、角度等概念，并且可以通过正交性来描述向量之间的垂直关系。
正交向量组、正交矩阵等概念在线性代数中具有广泛的应用，如最小二乘法、正交变换等。
线性代数期末复习资料
2021/3/27
CHENLI
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线性代数参考书
魏战线,工程数学《线性代数》(第2版)， 辽宁大学出版社,2000 (全国高等教育自学考试教材) (有同步辅导/同步训练配套教材)
2021/3/27
CHENLI
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第1章 线性方程组
线性方程组是线性代数的基本内容,是贯 穿线性代数的一条主线. (线性代数最早 的重点内容就是求解线性方程组.)
有m行n列的矩阵A，就是“m n矩阵”， 读作“m行n列矩阵A”. 在m n中，行数 m写在的前面，而列数n写在的后面.
复矩阵(complex matrix)与实矩阵(real
matrix).
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CHENLI
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行矩阵: (a1,a2, ,an)
列矩阵:
b 1 b2
CHENLI
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(4) 上(下)三角阵
对角线以下元素全为0的方阵称为上三 角阵(uppertriangular matrix):
a11
a12 a 22
a1n a2n
a mn
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CHENLI
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对角线以上元素全为0的方阵称为下三 角阵(lower triangular matrix):
学习线性方程组的重要性.
线性方程组消元法
行列式
矩阵
向量空间
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CHENLI
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1.1 线性方程组与矩阵的有 关概念
1.1.1 线性方程组的有关概念
x y 1 2x y 5
x 2y 5z 19 2x 8y 3z 22 x 3y 2z 11
abcd 0
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(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
线性代数复习资料
线性代数复习资料资料一一、选择题（每题2分，共20分）1、设 G 是5 阶 的 可 逆 方 阵, 且G G ≠1,*是G 的 伴 随 矩 阵, 则 有 ( ) (A) G G *= (B) G G*;=1 (C) G G *=4(D) G G *=52、 设,101014321121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t y x x 则t =( ). ()()()().7 ; 7 ; 1 ; 1--D C B A3、 设 A a ij n n =⨯(),且A =0, 但A 中 某 元 素a kl 的 代 数 余 子 式 A kl ≠0,则 AX =0的 基 础 解 系 中 解 向 量 个 数 是( )(A) 1 (B) k (C) l (D)n4、 若 方 程 组A X B m n m n ⨯=≤() 对 于 任 意m 维 列 向 量 B 都 有 解， 则( )()().A R A n = ()().B R A m = ()().C R A n > ()().D R A m <5、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D=（ ） （A ）0 （B ）a 2 (C)-a 2 (D)na26、设n 阶方阵A.B.C 满足关系式ABC=E ，E 为n 阶单位阵，则必有（ ） (A) ABC=E (B) CBA=E (C) BAC=E (D) BCA=E a b b7、设A 阶矩阵A= b a b 则秩A *=1，则必有（ ） b b a（A ） a=b 或a+2b=0 (B) a=b 或a+2b ≠0 （C ） a ≠b 且a+2b=0 (D) a ≠b 且a+2b=08、已知n 元向量组a1，a2，a3K ，am 线性相关，则必有（ ） （A ）m>n（B ）a1，a2，Lam 中的任一向量均由其余向量线性表示 （C ）对任一组不全为零的数k 1,k 2,L ，k m ，必有k 1a 1+L+k m a m =0 （D ）对任一n 元向量β，有a 1,a2,L ，am,β线性相关9、设B 为n 阶矩阵，且秩B=n-1，若a 1，a 2是其次线性方程组BX=0的两个不同解，则BX=0的通解为（ ）（A ）ka 1 (B) ka 2 (C) k(a 1+a 2) (D) k(a 1-a 2)10、设A 为n 阶可逆矩阵(2)n ≥，则1*()A -=（ ） A 1A A - B A A C 11A A -- D 1A A -二、判断题（每题1分，共10分；对的为T ，错的为F ）1、n 阶行列式n D =0的必要条件是以n D 为系数行列式的齐次线性方程组又非零解。
线性代数2198复习资料
线性代数复习资料课程代号：02198《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
工程数学线性代数期末核心知识及题型复习题
一、填空题1．己知方阵 213402221D ,则 11213132A A A =_____2.若4阶矩阵A 的伴随矩阵*A 的行列式*8A =，则___A =3.设123135121D =,ij A 为元素ij a 的代数余子式,111213212223313233A A A A A A A A A = . 4．设A 是3阶可逆矩阵，将A 的第1行与第2行对换得B 则1AB-=______。
5.设矩阵A 满足240A A I +-=，则1()A I --= 。
6．设11220432A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .7．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1A8设向量组123(2,1,3),(,3,2),(3,2,5)x ααα===线性相关，则t =9．设1234(,,,)A A A A A =其中列向量123,,A A A 线性无41232A A A A =-+，则齐次线性方程组0AX =的一个基础解系是_______________。
10.设A 为4阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，且0A =，而*0A ≠, 123,,ηηη3是线性方程组Ax b =的三个解向量，其中,12(1,0,0,9)T ηη+=，23(2,0,1,2)T ηη+=,则Ax b =的通解是＿_____________________11.设四阶矩阵()1234,,,A αααα=的秩为3，且4123αααα=+-，则齐次方程组0Ax = 的一个基础解系为 .12.设A 为n 维非零行向量，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有 个解向量.13.设A ,B 为3阶矩阵，且A 与B 相似，A 的特征值为3,4,5，则1B I --= .14已知123(1,0,0),(1,1,0),(1,2,3)ααα===为3R 的一个基，则向量(2,5,6)α=在这个基下的坐标是 . 15设矩阵21101000A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定阵，则k 的取值范围是 。
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《工程数学—线性代数》复习参考资料——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》．．．．授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数（理解）1、把 n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列。
（也称排列）2、对于 n 个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
例题求排列 32514 的逆序数解3 的逆序数为 0；2 的逆序数为 1；5 的逆序数为 0；1 的逆序数为 3；4 的逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为t010315二、 n 阶行列式的定义（理解）定义设有 n2个数，排成n行n列的数表，a a⋯a11121na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯a nn作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t，得到形如(1)t a a2p anp（）1 p211n的项，其中 p1 p2p n为自然数1,2,, n 的一个排列，t为这个排列的逆序数。
由于这样的排列共有n！个，因而形如（ 1）式的项共有 n！项，所有这 n！项的代数和( 1)t a a2 p2a1p1np n 称为 n 阶行列式，记作a11a12a1nD a21a22a2n，an1an2ann简记为 det(a ij ) ，数 a ij称为行列式 det(a ij) 的元素。
元素 a ij的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第 i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第 j 列，三、行列式的性质（掌握）记a11a12a1na11a21an1a 21a22a2 nD Ta12a22an 2D，an1an 2anna1na2 nann行列式 D T称为行列式 D 的转置行列式。
性质 1行列式与它的转置行列式相等。
性质 2互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质 3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘以此行列式。
第 i 行（或列）乘以 k ，记作 r i k （或 c i k ）推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第 i 行（或列）提出公因子 k ，记作 r i k （或 c ik ）。
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质 5若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如aaaa /a11121i1i1nDa21a22a2ia 2/ia 2n，an1an2ania ni /ann则 D 等于下列两个行列式之和：a11a12a1ia1na21 a22a2ia2nDan1an2anianna aa /a11 121i1naaa /a21 222i2naaa /annn1 n 2ni性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
以数k 乘第j列加到第i列上，记作c ikc j；以数k 乘第j行加到第i行上，记作r ikr j；计算行列式常用的一种方法就是利用运算行列式，从而算得行列式的值。
P16 例（可以证明，对于上三角行列式 D 有：r i7、8。
kr j把行列式化为上三角形a 11a12a1na22a2 n a11a22annDann当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。
）四、行列式按行（列）展开（掌握）设a11a12a1na21a22a2 nDa i 2aijainai1an1an 2ann在 n 阶行列式中，把a ij所在的第 i行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 a ij的余子式，记作 M ij；记A ( 1)i j Mij ，ijA ij叫做元素 a ij的代数余子式。
引理一个 n 阶行列式，如果其中第i行的元素除a ij外都为零，那么这行列式等于 a ij与它的代数余子式的乘积，即a11a12a1na21a22a2 nD0aij0aijAijan1an 2ann定理行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D ai1Ai 1ai 2Ai 2a in A in (i1,2,, n)或D a1 jA1 ja2 jA2 j a nj A nj ( j1,2,, n)推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即D ai1Aj 1ai 2Aj 2ainAjn0,i j或 D a1iA1 ja2 iA2 janiAnj0, i j，。
五、四阶行列式的计算（重点掌握）例 1 计算行列式1 2 341 1 232 1 123 2 11解：1 23 4cc 2 3c 2c 11311 123 c4 4c 112 1 1 2 2 321 1 31 11 c 2c1( 1)33 5c 3 c 164 811(1412)20 0 0 1 1 1 1 1 11)1 13 563 5( 6 48 114 8 111 0 0 1 12332 3 ( 1)4744 7例 2 计算行列式1234234134124123解：1 2 3 4 cc 2 3c 2c 1 1 0 0 0127 312 34 1 c 4 4c 121 2 7 1)1 12 8 1034 1 232 8 (10 710134 12 34 7101331 27 r 22r11 2 71 14 4( 1) 2 8 r 3 7r 1 0 4 4( 1)10436 7 1013436( 144 116) 160五、克拉默法则 （注意，计算量比较大）设有 n 个未知数 x 1 、 x 2 、⋯、 x n 的 n 个线性方程的方程组a 11x 1a 12x2a 1n xnb 1 a 21x 1a 22x2a 2 nxnb 2（1）a n1 x 1 an 2x2annxnbn克拉默法则 如果线性方程组（ 1）的系数笔列式不等于零，即a11a1nD 0an1ann那么，方程组（ 1）有唯一解x 1D 1， x 2D 2，⋯， x nD nDDD 。
其中 D j ( j1,2, , n) 是把第数行列式中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即a 11a 1, j ib 1 a 1,j 1a 1nD ja n1a n, j 1b n a n, j 1a nn第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念 （理解）1、由 mn 个数 a ij (i1,2, , m; j 1,2, , n) 组成的 m 行 n 列的数表a 11 a 12 a 1na 21a 22a 2 na m1 a m 2a mn称为 m 行 n 列矩阵，简称mn 矩阵，记作a11a12 a1na21 a22 a2nAam1am2amn也常记作A m n 。
这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称元，数 a ij 称为 (i , j ) 元。
以数 a ij 为 (i , j ) 元的矩阵可简记作（ a ij ）或 (a ij ) m n 。
2、行数和列数都等于 n 的矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，n 阶方阵 A 也记作A n 。
3、只有一行的矩阵Aa 1 a 2a n称为行矩阵，又称行向量。
为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A (a 1, a 2 ,, a n )只有一列的矩阵Bb 1b 2b m称为列矩阵，又称列向量。
4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵 ，如果 Aa ij 与 Bb ij 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即a ijb ij (i 1,2, , m; j 1,2,, n)那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作A B5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。
注意不同型的零矩阵是不同的。
6、单位矩阵简记作E，即100010E n0017、对角矩阵简记作 A diag (11,2,, n ) 即100020 A00n二、矩阵的运算与性质（掌握）1、矩阵的加法设有两个矩阵 m n A a ij、 B b ij，那么矩阵 A 与 B的和记作A+B ，规定为a11b11a12b12a1nb1nnAa21b21a22b22a2nb2 n Bam1bm1am2bm2amnbmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律：设 A 、B、C 都是 m×n 矩阵，则（1）AB B A；（2）(A B) C A (B C)（3）A B A (B)设设矩阵 A aij，记Aaij—A 称为矩阵 A 的负矩阵。
2、数与矩阵相乘数λ与矩阵 A 的乘积记作λA 或 Aλ，规定为a11a12a1nAa21a22a2n Aam1am2amn数乘矩阵满足下列运算规律：设 A 、B、为 m×n 矩阵，λ、μ为数，则（1）（2）（3）()A( A)；()A A A；(A B)A B。
3、矩阵与矩阵相乘设 A a ij是一个m s矩阵，B b ij是一个s n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m n矩阵C c ij ,其中cij ai 1b1 jai 2b2 jaisbsj并把此乘积记作C=AB必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下 AB BA ，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：（ 1）（ 2）( AB)C A(BC)( AB) ( A)BA( B), （其中 λ 为数）（3） A( B C)ABAC(B C)A BA CA（重要）例 1 已知矩阵1 3 111 6A 013B251，4求 AB 。
解：113(2)1101635114AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)45 652 744、方阵的行列式、伴随矩阵定义由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 （各元素位置不变），称为方阵 A 的行列式。
记作 A 。
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所构成的如下矩阵A11a2 nan1A12 a22 an2AA1na2 nann称为方阵 A 的伴随矩阵，记为A。
．．．．5、逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B，使AB BA E则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A的逆矩阵。
定理若 A0 ，则矩阵A可逆，且A11AA。