(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题

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西安交通大学15年7月课程考试《统计学》考查课试题1

西安交通大学15年7月课程考试《统计学》考查课试题1试卷总分：100 测试时间：--一、单选题（共40道试题，共60分。

）1.某专家小组成员的年龄分别为29，45，35，43，45，58，他们年龄的中位数为（）A. 40B. 43C. 4D. 45满分：1.5分2.对某地区工业企业职工状况进行了解，统计总体是（）A. 该地区全部工业企业B. 每个工业企业C. 该地区全部工业企业的全部职工D. 每个工业企业的全部职工满分：1.5分3.某研究部门准备在全市500万个家庭中抽取5000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均消费。

这项研究的总体是______、样本是______、参数是_______ 。

（）A. 500万个家庭; 500万个家庭的人均消费；5000个家庭B. 500万个家庭的人均消费；500万个家庭；5000个家庭C. 500万个家庭；5000个家庭；500万个家庭的人均消费D. 500万个家庭的人均消费；5000个家庭；500万个家庭满分：1.5分4.顺序数据的集中趋势测度指标有：（）A. 众数B. 中位数C. 四分位差D. 标准分数满分：1.5分5.某班学生的平均成绩是80分，标准差是10分。

如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断成绩在70～90分之间的学生大约占（）A. 95%B. 89%C. 68%D. 99%满分：1.5分6.普查之所以要规定统一的标准调查时间，是为了()A. 避免调查数据的重复或遗漏B. 使数据更全面C. 使数据更及时D. 使数据更大满分：1.5分7.数据型数据的离散程度测度方法中，受极端变量值影响最大的是（）A. 极差B. 方差C. 均方差D. 平均差满分：1.5分8.某高校大二年级学生2000人参加大学英语四级考试，将2000试卷编好号码后，从中随机抽取30份计算平均成绩，此种抽样方法称为（）A. 简单随机抽样B. 系统随机抽样C. 分层随机抽样D. 整群抽样满分：1.5分9.下列图形中，适合描述顺序数据的是（）A. 直方图B. 茎叶图C. 环形图D. 箱线图满分：1.5分10.如果一样本因人为故意操纵而出现偏差，这种误差属于（）A. 抽样误差B. 非抽样误差C. 设计误差D. 实验误差满分：1.5分11.在一次问卷调查中要求被调查者直接填写出个人的民族、婚姻状况、居住地的邮政编码、年龄和收入，以下说法不正确的是（）A. 民族是定性变量B. 邮政编码是定量变量C. 年龄的计量尺度是定比尺度D. 收入数据是定量数据满分：1.5分12.抽样分布是指（）A. 一个样本各观测值的分布B. 总体中各观测值的分布C. 样本统计量的分布D. 样本数量的分布满分：1.5分13.若要研究某班学生的成绩，则统计总体是（）A. 该班每一位学生的成绩B. 该班每一位学生C. 该班全体学生D. 该班全体学生的成绩满分：1.5分14.从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体重在抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（）A. 重复抽样B. 不重复抽样C. 分层抽样D. 整群抽样满分：1.5分15.在比较两组数据的离散程度时，不能直接比较它们的标准差，因为两组数据的（）A. 标准差不同B. 方差不同C. 数据个数不同D. 计量单位不同满分：1.5分16.在下列成数数值中，哪一个成数数值的方差最小（）A. 0.8B. 0.5C. 0.3D. 0.1满分：1.5分17.下面那个图形不适合描述分类数据（）A. 条形图B. 茎叶图C. 饼图D. 帕累托图满分：1.5分18.如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k=4，其意义是（）A. 至少有75%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内B. 至少有89%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内C. 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内D. 至少有99%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内满分：1.5分19.在频数分布中，众数是（）A. 最大的那个频数B. 最大的标志值C. 频数最大的那个标志值D. 把频数分布分成两个相等部分的那个标志值满分：1.5分20.通过调查或观测而收集到的数据称为（）A. 观测数据B. 实验数据C. 时间序列数据D. 截面数据满分：1.5分21.对于小批量的数据，最适合描述其分布的图形是（）A. 条形图B. 饼图C. 茎叶图D. 直方图满分：1.5分22.统计分组的核心问题是（）A. 选择分组方法B. 确定组数C. 选择分组标志D. 确定组中值满分：1.5分23.下面哪一个图形最适合描述结构性问题（）A. 条形图B. 饼图C. 雷达图D. 直方图满分：1.5分24.对比分析不同性质的变量数列之间的变异程度时,应使用（）A. 全距B. 平均差C. 标准差D. 离散系数满分：1.5分25.先将总体中的所有单位按一定的标志分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位。

数理统计考研复试题库及答案

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤c) ＝ P(X>c)，则c 等于（）A 0B μC σD σ²答案：B解析：正态分布的概率密度函数关于均值μ 对称，所以P(X≤μ) ＝P(X>μ)，故 c ＝μ。

2、设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式，有 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ （）A 05B 025C 01D 005答案：B解析：切比雪夫不等式为 P(｜X E(X)｜≥ ε) ≤ Var(X) ／ε² ，将Var(X) ＝ 2，ε ＝ 2 代入可得 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ 2 ／ 2²＝ 025 。

3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 为来自总体的样本，样本均值为，则λ 的矩估计值为（）ABCD答案：A解析：因为总体 X 服从泊松分布，所以 E(X) ＝λ 。

由矩估计法，用样本均值估计总体均值 E(X)，即，所以λ 的矩估计值为。

4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，其中μ 未知，σ² 已知。

则检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量是（）ABCD答案：C解析：当总体方差σ² 已知时，检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量为。

5、对于两个正态总体，在方差已知的情况下，检验均值是否相等，应采用（）A t 检验B u 检验C F 检验D χ² 检验答案：B解析：在两个正态总体方差已知的情况下，检验均值是否相等，采用 u 检验。

二、填空题1、设随机变量 X 的分布函数为 F(x) ＝ A ＋ Barctan(x)，则 A ＝，B ＝。

答案：A ＝ 1/2，B ＝1/π解析：因为 F(＋∞）＝ 1，F(∞）＝ 0 ，所以 A ＋B × π/2 ＝ 1，AB × π/2 ＝ 0 ，解得 A ＝ 1/2，B ＝1/π 。

某大学研究生考试《数理统计》试卷

数理统计试题（工程硕士，2008）一、填空题（每空4分，共32分）1.母体是指: .2.简单随机样本: .3.无偏估计量是指 .4.假设检验的基本思想: .5.如何检验一元线性回归模型成立否： .6. 设母体2(,)X N μσ ,12(,,,)n X X X分布, 分布, 2211()ni i Xμσ=-∑ 分布,三、（8分）设总体X 的概率密度为()()0x e x f x x θθθ--⎧≥=⎨<⎩ 其中0θ>是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的最大似然估计量．四、（8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)1()(x x x f θθ其中1->θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的矩估计量．五、（8分）某工厂某日生产的某种零件中随机地抽取9个测得长度(单位:毫米)如下:14.6、14.7、15.1、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8，如果该零件长度服从正态分布，且已知标准差为0.15毫米，求零件长度均值的置信水平为0.95的置信区间.六、（8分）统计两个文学家马克.吐温的8篇小说以及斯诺特格拉斯的10篇小说中由3个字母组成的词的比例得:马克.吐温: 10.231875x = *210.000212s =斯诺特格拉斯: 20.2097x = *220.000093344s = 设两组数据分别来自正态总体,且两总体方差相等,两样本相互独立.问: 两个作家小说中由3个字母组成的词的比例是否有显著差异.2(0.05, (16) 2.1199)t αα==.七、（12分）检查一本书的100页,记录各页中的印刷错误的个数,其结果如下:错误个数X 0 1 2≥3 含X 个错误的页数36 40 19 5问:能否认为一页的印刷错误的个数服从泊松分布{}, 1,2,3,!kP X k e k k λλ-=== . 2(0.05, () 5.991)ααχα==. 提示: (0)(1)(2)(3)1p X p X p X p X =+=+=+≥=.七、（12分）下表给出在三台搅拌机中采用两种不同搅拌速度获得的混凝土强度数据。

西安交大数学分析试题.docx

硕士研究生入学考试数学分析i 癒刃鬲名立遏尢于顕土碉克隹2005年入学君弑《礙学分柝》弑趣1.叙述下列概念或命题（20分）：i >函数f （x, y ）在（勺,儿）处可微; ii>以b 为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy 准则； iii>极限lim /（x ）不存在的Cauchy 准则；•V—>8iv>函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛的Cauchy 准则.n=\解：i >定义:设函数/（无，刃在（仏儿）的某邻域有定义•若Az = /（x 0 + Ax, y° + Sy ）一 /（兀°, %）=人心 + W +。

9），其中A,B 是与心,Ay 无关的常数，p = 7（ZL V ）2 + （Ay ）2 .则称函数/（x,y ）在（兀（）,儿）处可微分, AAx + BAy 称为/（x, y ）在（x 0,y 0）处的微分，记为dz|（比）二人心+ BAy. rb小ii>定理（Cauchy 准则）：Ub 为瑕点的瑕积分［f^dx 收敛O Vr>0 ,为>0,使得当Ja%,仃 e （b_ &b ）时，有「f\x ）dx < E.J©iii>定理（Cauchy 准则）:极限lim /（x ）不存在<=> 3r 0>0, VX>0,玉］<-X 与勺V —X ,使得 |/（^）-/（%2）|>£0 -OOiv>定理（Cauchy 准则）：函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛<=> 3r 0 > 0 , n=\ VN, Bn> N t Bxe X, 3p,使得仆（x ） > £（）.k=\以下四题（第2〜5题）每题10分2.证明 lim 「sin"iz/r = O.〃T8 Jo证明:因为V5（不妨设。

西安交通大学15年10月补考《统计学》考查课试题满分答案

A.定期调查方式
B.统计报表制度
C.普查
D.典型调查
?
正确答案：C
12.标志是说明个体特征的名称；标志值是标志的具体表现，所以（）
A.标志值有两大类：品质标志值和数量标志值
B.品质标志才有标志值
C.数量标志才有标志值
D.品质标志和数量标志都具有标志值
?
正确答案：D
13.指出下面的数据哪一个属于分类数据（）
D.相离
?
正确答案：A
16.在离散程度的测度中，最容易受极端值影响的是（）
A.极差
B.平均差
C.标准差
D.标准差系数
?
正确答案：A
17.若两数列的标准差相等而平均数不等，则（）
A.平均数小代表性大
B.平均数大代表性大
C.代表性也相等
DБайду номын сангаас无法判断
?
正确答案：B
18.以下关于参数和统计量的说法正确的是（）
A.总体参数是隨机变量
B.样本统计量都是总体参数的无偏估计量
C.对一个总体参数进行估计时，统计量的表达式是唯一的
D.样本统计量是随机变量
?
正确答案：D
19.普查之所以要规定统一的标准调查时间，是为了()
A.避免调查数据的重复或遗漏
B.使数据更全面
C.使数据更及时
D.使数据更大
?
正确答案：A
20. 2009年城镇家庭的人均收入数据属于（）
西安交通大学15年10月补考《统计学》考查课试题
一,单选题
1.如果一个样本因人故意操纵而出现偏差，这种误差属于（）
A.抽样误差
B.实验误差
C.设计误差
D.非抽样误差

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计两个随机变量的函数的分布

由
f
(x)
αeαx , 0,
x x
0, 0,
F
(x)
1 0,
eαx ,
x x
0, 0,
由
βe βy , y 0,
f
(
y)
0,
y 0;
1 βe βy , y 0,
F
(
y)
0,
y 0.
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
1 e(α β)z , z 0,
第五节两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结
一、问题的引入
有一大群人, 令和分别表示一个人的年龄和体重, 表示该人的血压, 并且已知与 , 的函数关系 g( , ), 如何通过 , 的分布确定的分布.
求电阻 R R1 R2 的概率密度.
解由题意知 R 的概率密度为
fR (z)
f (x) f (z x)d x.
x x 10
x z x z 10
O
10
20
z
当
0 0
x 10, z x
10,
即
0 x z 10
10, x
z,
时,
fR(z)
f ( x) f (z x)d x 中被积函数不为零.
分布密度为
0
f (z) yf ( yz, y)d y yf ( yz, y)d y
0
y f ( yz, y)d y.
当 ξ,η 独立时,
f (z) y fX ( yz) fY ( y)d y.

数理统计试题及答案[5篇范文]

数理统计试题及答案[5篇范文]第一篇：数理统计试题及答案数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。

1、；2、0.01；3、；4、；5、。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）（B）（C）（D）2、设为取自总体的样本，为样本均值，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B）（C）（D）3、设是来自总体的样本，存在，, 则（）。

（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

（A）（B）（C）（D）5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（）。

（A）不能确定（B）接受（C）拒绝（D）条件不足无法检验 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1)，令，得为参数的矩估计量。

(2)似然函数为：，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。

四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。

西安交通大学硕士研究生2000年入学数学分析试题

西安交通大学硕士研究生2000年入学考试《数学分析》试题一. (4728''⨯=)用“εδ-”或“N ε-”语言,在肯定的意义下表述下列各概念:⑴()f x 在0x 的某邻域内有定义,但在0x 处不连续. ⑵()f x 在(,)a b 内连续,但在(,)a b 内不一致连续. ⑶(,)af x y dx +∞⎰对于每个(,)y c d ∈收敛,但在(,)c d 内关于y 不一致收敛.⑷()f x 在[,]a b 上有界,但在[,]a b 上不可积.解: ⑴定义:设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义.若00ε∃>,使得0δ∀>,x δ∃,尽管满足00x x δδ<-<,但00()()f x f x δε-≥,则称函数()f x 在0x 处不连续.⑵定义:设函数()f x 在(,)a b 内连续.若00ε∃>,使得0δ∀>,,(,)x x a b δδ'''∃∈,尽管满足0x x δδδ'''<-<,但0()()f x f x δδε'''-≥,则称函数()f x 在(,)a b 内不一致连续. ⑶定义:设(,)af x y dx +∞⎰对于每个(,)y c d ∈收敛.若00ε∃>,使得0G ∀>,G A ∃和G y ,尽管满足G A G >,(,)G y c d ∈,但0(,)GG A f x y dx ε+∞≥⎰,则称广义积分(,)af x y dx +∞⎰在(,)c d 内关于y 不一致收敛.⑷定义:设函数()f x 在[,]a b 上有界.若00ε∃>,使得0δ∀>,都存在(,)a b 的分割T δ,尽管满足T δδ<,但0i i T x δωε∆≥∑,则称函数()f x 在[,]a b 上不可积.二. (21224''⨯=)按要求讨论下列问题:⑴设222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性及可微性. 解:ⅰ>因为2222221()sinx y x y x y +≤++,又因2200lim()0x y x y →→+=,所以00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==,因此(,)f x y 在(0,0)处连续.ⅱ>22222222221212sin cos ,0,(,)0,0.x x x x y x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪'+++=⎨⎪+=⎩由于因为22222002111limcos lim cos 2x x x x x x x x x→→=++不存在,所以2222)0,0(),(1cos2limy x y x x y x ++→不存在. 又因2212sin20x x x y≤→+,)0,0(),(→y x ,所以01sin 2lim 22)0,0(),(=+→y x x y x , 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+→222222)0,0(),(1cos 21sin 2lim y x y x x y x x y x 不存在,从而),(y x f x '在)0,0(不连续. 同理可得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='.0,0,0,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x y y x y y x f y),(y x f y '在)0,0(不连续.即函数(,)f x y 的两个偏导数在原点)0,0(都不连续.ⅲ>因为22221sin)()0,0()0,0()0,0()0,0(y x y x y f x f f y x f y x ∆+∆∆+∆=∆'-∆'--∆+∆+又因01sin222222→∆+∆≤∆+∆∆+∆y x yx y x ,0→ρ. 所以01sinlim2222220=∆+∆∆+∆∆+∆→y x y x y x ρ, 即)(1sin )(2222ρο=∆+∆∆+∆yx y x , 从而函数f 在原点)0,0(可微,且=)0,0(dz 0)0,0()0,0(=∆'+∆'y f x f y x .⑵设0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰(0)y >,试讨论()I y 的连续性,可导性.并在可导处求()I y '. 解:记sin ,0,(,)1,0.xy xex f x y xx -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩,(,)[0,)(0,)x y D ∈=+∞⨯+∞. 则(,)f x y 与(,)sin xyy f x y e x -'=在D 上连续.因为(,)[0,)[,)x y δ∀∈+∞⨯+∞(其中0δ>),有sin (,)xyxy x xf x y ee e xδ---=≤≤. 而无穷积分0x e dx δ+∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分22()cos 2a x I y e xydx +∞-=⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛.因为(,)[0,)[,)x y δ∀∈+∞⨯+∞,有(,)sin xy xy x y f x y e x e e δ---'=≤≤.而无穷积分x e dx δ+∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分0(,)sin xy y f x y dx e ydx +∞+∞-'=⎰⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛.并且2211(,)sin (cos sin )11xy xyy f x y dx e ydx e x y x y y +∞+∞+∞--'==-+=++⎰⎰. 0(0,)y ∀∈+∞,取02y δ=,则0(,)y δ∈+∞, ⅰ>因为0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛,且(,)f x y 在D 上连续,所以()I y 在[,)δ+∞上连续.从而()I y 在0y 处连续,由0y 的任意性得()I y 在(0,)+∞上连续.ⅱ>因为(,)f x y 在D 上关于y 可偏导, 且0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰与00(,)sin xy y f x y dx e ydx +∞+∞-'=⎰⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛,因此可以在积分号下求导:200sin 1()sin 1xy xyy x I y e dx e xdx x y +∞+∞--'⎛⎫'=== ⎪+⎝⎭⎰⎰, (0,)y ∈+∞. 由此得()arctan 2I y y π=+三. (21020)''⨯=计算下列各题:⑴设()f x 在[,]ππ-上连续,且以2π为周期,又1()()()F x f t f x t dt πππ-=-⎰,试以()f x 的Fourier 系数表示()F x 的Fourier 系数. 解:记1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰, 1()cos n A F x nxdx πππ-=⎰,1()sin 0n b f x nxdx πππ-==⎰, 1()sin 0n B F x nxdx πππ-==⎰, 0,1,2,n = . 则211()cos ()()cos n A F x nxdx f t f x t dt nxdx ππππππππ---⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21()()cos dx f t f x t nxdt πππππ--=-⎰⎰21()()cos dt f t f x t nxdx πππππ--=-⎰⎰21()()cos ()ttdt f t f y n y t dy πππππ----=⋅+⎰⎰21()()cos ()dt f t f y n y t dy πππππ--=⋅+⎰⎰21()()(cos cos sin sin )dt f t f y ny nt ny nt dy πππππ--=⋅-⎰⎰111()cos ()cos sin ()sin dt f t nt f y nydy nt f y nydy πππππππππ---⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[]1()cos sin nn f t nt ant b dt πππ-=⋅-⋅⎰11()cos ()sin nna f t ntdtb f t ntdt ππππππ--=-⎰⎰22n na b =-. 211()sin ()()sin n B F x nxdx f t f x t dt nxdx ππππππππ---⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21()()sin dx f t f x t nxdt πππππ--=-⎰⎰21()()sin dt f t f x t nxdx πππππ--=-⎰⎰21()()sin ()ttdt f t f y n y t dy πππππ----=⋅+⎰⎰21()()sin ()dt f t f y n y t dy πππππ--=⋅+⎰⎰21()()(sin cos cos sin )dt f t f y ny nt ny nt dy πππππ--=⋅+⎰⎰111()cos ()sin sin ()cos dt f t nt f y nydy nt f y nydy πππππππππ---⎡⎤=⋅⋅+⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[]1()cos sin nn f t nt bnt a dt πππ-=⋅+⋅⎰11()cos ()sin nnb f t ntdt a f t ntdt ππππππ--=+⎰⎰2n n a b =.⑵设∑为2222221x y z a b c ++=的上半表面上侧,计算yzdzdx ∑⎰⎰.第二型曲面积分计算公式：若曲面S 的方程为:(,),(,)z f x y x y D =∈,则(,,)(,,)(,,)SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰[(,,(,))(,)(,,(,))(,)(,,(,))]x y DP x y f x y f x y Q x y f x y f x y R x y f x y dxdy ''=±--+⎰⎰,上侧取“+”,下侧取“-”.解:曲面∑可表为z =2222(,)(,)1x y x y D x y a b ⎧⎫∈+≤⎨⎬⎩⎭.由于2cyz y ∂=∂所以2Dcy yzdzdx dxdy ∑⎫⎪=-⎝⎰⎰⎰⎰222Dc y dxdy a =⎰⎰221222200sin c d b r abrdr aπθθ=⋅⎰⎰323221230sin 4b c b c d r dr aaππθθ==⎰⎰.四. (4728''⨯=)证明下列各题:⑴设0(0)0f x '+>,0(0)0f x '-<,则0δ∃>,使得当00(,)x x x δδ∈-+时,有0()()f x f x ≥. 证明:ⅰ>因为0000()()lim(0)0x x f x f x f x x x →+-'=+>-,所以10δ∃>,使得当001(,)x x x δ∈+时,有00()()0f x f x x x ->-.又因当001(,)x x x δ∈+时,有00x x ->.所以当001(,)x x x δ∈+时,有0()()0f x f x ->,即0()()f x f x >. ⅱ>因为00000()()lim(0)0x x f x f x f x x x →--'=-<-,所以20δ∃>,使得当020(,)x x x δ∈-时,有00()()0f x f x x x -<-.又因当020(,)x x x δ∈-时,有00x x -<.所以当020(,)x x x δ∈-时,有0()()0f x f x ->,即0()()f x f x >. ⅲ>取{}12min ,0δδδ=>,则当00x x δ<-<时,有0()()f x f x >. 因此当00(,)x x x δδ∈-+时,有0()()f x f x ≥(等号仅当0x x =时成立).⑵证明:0α∀>,函数项级数112sin3n n n x∞=∑在(0,)α内处处收敛,但在(0,)α内非一致收敛. 证明:ⅰ>因为(0,)x α∀∈,有11122sin 2333nn n n n x x x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,而1123nn x ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,所以112sin 3n n n x ∞=∑在(0,)α内处处收敛. ⅱ>(0,)1sup 2sin21()3nnnx n xα∈=→+∞≠→∞,所以12sin 3n n x 在(0,)α内非一致收敛于零,因此112sin 3nn n x ∞=∑在(0,)α内非一致收敛.⑶用平面点集的致密性定理(聚点原理)证明:有界闭域B 上的连续函数有界.又:若B 不闭,你的证明会在何处出问题?证明:ⅰ>设()f P 在有界闭域B 上的连续.假若()f P 在B 上无界,则0G ∀>,G P B ∃∈,使得()G f P G >.特别n ∀,n P B ∃∈,使得()n f P n >.这样得点列{}n P B ⊂且()n f P n >.因为为B 有界闭域,所以{}n P 存在收敛子列{}k n P,设0lim k n k P P →∞=,则0P B ∈. 又因()f P 在0P 处连续,所以0lim ()()k n k f P f P →∞=,但这与()()k n k f P n k >→+∞→∞矛盾. ⅱ>若B 不闭,证明会在0P B ∈上出问题.⑷设ⅰ>()f x 在[0,)+∞上一致连续,ⅱ>广义积分()f x dx +∞⎰收敛.证明lim ()0x f x →+∞=.又若条件ⅰ>改为()f x 在[0,)+∞上连续,条件ⅱ>不变,结论是否成立?若不成立,请举例具体说明之. 证明:0>∀ε,由于)(x f 是),[+∞a 上的一致连续,因此,0>∃δ(不妨设εδ≤),使得当),[,21+∞∈a x x 且δ<-21x x 时,有2)()(21ε<-x f x f ;又由⎰+∞adx x f )(收敛的Cauchy 准则知:对022>δ,a A >∃,使得当A x x >''',时,有2)(2δ<⎰'''x x dx x f ;当A x >时,取x x ''',使x x x A ''<<'<,且δ='-''x x ,可估计得:22)()()()()]()([)()(2δδεδ+<+-≤+-==⎰⎰⎰⎰⎰'''''''''''''''x x x x x x x x x x dt t f dt t f x f dt t f dt t f x f dt x f x f ,因此当A x >时,有εδε≤+<-220)(x f ,即0)(lim =+∞→x f x .但将条件改变结论有可能不成立.例如211sin x dx +∞+∞=⎰⎰收敛,被积函数2sin x 在[1,+∞）上连续，而2lim sin x x →+∞不存在.。

交通大学2006年6月概率论与数理统计试卷

上海交通大学概率论与数理统计试卷 (A) 2006.6.21姓名：班级：学号：得分：[备查分布表](1.18)0.8810Φ= (0.471)0.681Φ= 0.05(9) 1.8331,t = 0.05(10) 1.8125,t = 0.025(9) 2.2622,t = 0.025(10) 2.2281,t =， 220.9750.025(9) 2.700,(9)19.023,χχ== 220.9750.025(10) 3.247,(9)20.483.χχ==一. 选择题（15分，每题3分）1. 设事件 ,,,A B C D 相互独立，则在下列四对事件中不相互独立的是（）)(A A 与BC D ⋃；)(B AC D ⋃与BC ；)(C BC 与A D -；)(D C A -与BD . 2.设事件,,A B C 满足,,B A B C ⊂⊂()0.8,()0.6,()0P A P AC P A B ==-=，则()P ABC 等于（）)(A 0.1； )(B 0.2； )(C 0. 3； )(D 0.4.3. 设随机变量,X Y 相互独立，(),(),(),cov(,)D X D Y D XY X Y 都存在，则下列不等式成立的是（）)(A cov(,)()X Y D XY ≤； )(B cov(,)()X Y D XY ≥； )(C ()()cov(,)D X D Y X Y ≤； )(D ()()()D X D Y D XY ≥.4. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，X 和2S 分别表示样本均值和样本方差. 又),(~2σμN Y ，且与),,,(21n X X X 相互独立，则统计量n n S X Y 1+-服从的分布为（）)(A (1)t n -； )(B ()t n ； )(C (1)t n +； )(D (2)t n +.5. 设总体X 的分布律()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===- .(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2) 是取自总体的一个样本，则参数N 的矩估计值是（）)(A 5； )(B 6； )(C 7； )(D 8.二. 填空题（15分，每题3分）1. 已知男人寿命大于60岁的概率为74%，大于50岁的概率为85%．若某人今年已50岁，则他活过60岁的概率为．2. 某射手每次射击的命中率是0.6，他打中12次便停止射击，设X 为射击总次数，则X 的分布律为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(6,21)P X Y === .4. 设随机变量X 和Y 的期望分别为-2和2，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-，则根据切比雪夫不等式(6)________P X Y +≥≤.5. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，参数2,σμ均未知，且∑==n i i X n X 11，212)(X X Z ni i -=∑=，现对假设00=μ：H 作t 检验，使用的统计量__________=T （用X 与Z 等表示）.三. 是非题（共10分，每题2分）1. 设随机事件,A B 满足()0,()0P A P P >>，则下面两个等式(1) AB =Ø, (2) ()()()P AB P A P B =不能同时成立. （）2. 二维均匀分布的边缘分布未必是一维均匀分布. （）3．若随机变量X 的方差不存在，则X 的数学期望也不存在. （） 4．对期望和方差存在的随机变量序列12,,,,n X X X ，(,)x ∀∈-∞+∞有22()lim .t n k x n X nE X P x d t -→∞⎛⎫- ⎪⎪≤=⎪⎪⎝⎭∑⎰ （）5．给定显著性水平α及样本容量n 后，参数μ的置信区间可以不唯一. （）四. 计算证明题（共60分，每题10分）1．有甲、乙、丙三个盒子，甲盒中有一个白球和两个黑球，乙盒中有一个黑球和两个白球，丙盒中有三个白球和三个黑球，掷一枚骰子决定选盒。

研究生数理统计习题

1.设随机变量12,X X 独立，且具有相同的指数分布,0(x)0,0x e x f x -⎧>=⎨≤⎩，试求112212,/Y X X Y X X =+=的密度12(y ,y )g ？ 2.设12(,,...,)n X X X 来自于正态总体2(0,)N σ，求下列统计量的密度函数：(1) 211ni i Y X ==∑ (2) 2211n i i Y X n ==∑ (3) 231()n i i Y X ==∑ (4) 2411()n i i Y X n ==∑ 3. 12(,,...,)n X X X 来自(1,)b p ,证明：1ni i T X ==∑是充分统计量。

4.证明：泊松分布族为指数型分布族。

5.随机抽取某食品厂生产的听装饮料5个，其净重如下：351 347 355 344 351求该组样本的经验分布函数。

6.设总体X 的方差2DX σ=，样本方差211(X X)1n i i S n ==--∑，证明：22()E S σ=。

7.设总体服从正态密度函数221/22211(;,)(2)exp((ln )),02f x x x x μσπσμσ-=--> 其中2,0μσ-∞<<+∞>是未知参数，12(,,...,)n X X X 是一样本，求μ和2σ的矩估计。

8. 2(0,)X N σ ，密度函数为2(;,)f x μσ，对于大小为n 的样本，求使得2(;,)0.05A f x dx μσ∞=⎰成立的点A 的极大似然估计。

9.设总体X 满足2(),()E X E X μ=<∞<∞，12(,,...,)n X X X 是来自该总体的一个样本，验证：1212(,,...,)(1)n n i i T X X X iX n n ==+∑是μ的相合估计。

10.简述：(1)特征函数，充分统计量，指数分布族，经验分布函数，统计学中三大抽样分布的定义。

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2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N，而129(,,)XXXL和

129(,,)YYYL是分别来自X和Y的样本，则192219XXUYYLL服从的分布是_______ .

解：(9)t． 2，设1ˆ与2ˆ都是总体未知参数的估计，且1ˆ比2ˆ有效，则1ˆ与2ˆ的期望与方差满足_______ . 解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()EEDD． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

5，多元线性回归模型YβX中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ .

解：1ˆXYβ=()XX．二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)nXXXnL为来自总体(0,1)N的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则____D___ . （A）(0,1)nXN:；（B）22()nSn:；

（C）(1)()nXtnS:；（D）2122(1)(1,1)niinXFnX:.

2，若总体2(,)XN:，其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区间____B___ .

（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）,其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设TS为总离差平方和，eS为误差平方和，A

为效应平方和，则总有___A___ . （A）TeASSS；（B）22(1)ASr:；

（C）/(1)(1,)/()AeSrFrnrSnr:；（D）AS与eS相互独立.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TSRS回，则___B____ . （A）2R接近0时回归效果显著；（B）2R接近1时回归效果显著；（C）2R接近时回归效果显著；（D）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN:、22(,)YN:，112(,,,)nXXXL和

212(,,,)nYYYL分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，XY、和22XYSS、分别是

它们的样本均值和样本方差，证明

12121211

()()(2)nnXYtnnS:，

其中2221212(1)(1)2XYnSnSSnn. 证明：易知 221212

(,)XYNnn:， 1212()()(0,1)11XYUNnn:．

由定理可知 22112(1)(1)XnSn:， 22222(1)(1)Y

nSn:．

由独立性和2分布的可加性可得 222121222(1)(1)(2)XY

nSnSVnn:．

由U与V得独立性和t分布的定义可得 12121211

()()(2)/(2)nnXYUtnnVnnS:．

四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为1, 0(),0, xexfx其它其中未知参数0, 12(,,,)nXXXL为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．

解：（1）101()xvEXxfxdxxedx，用111niivXXn$代替，所以 niiXXn11ˆ．

（2）11ˆ()()()()niiEEXEXEXn，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为(;)(1),01fxxx，其中未知参数1，12(,,)nXXXL是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：

1 (1)() , 01() 0 , nniiixxL



其它

当01ix时，1ln()ln(1)lnniiLnx，令1ln()ln01niidLnxd，得

1ˆ1lnniinx．

六、（本题10分）设总体X的密度函数为e,>0;(;)0,0,xxfxx 未知参数0，12(,,)nXXXL为总体的一个样本，证明X是1的一个UMVUE．

证明：由指数分布的总体满足正则条件可得 222211()ln(;)IEfxE





，

1的的无偏估计方差的C-R下界为

2221

1[()]11()nInn





．

另一方面 ()1EX， 21Var()Xn，

即X得方差达到C-R下界，故X是1的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0S公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？

参考数据: 023.19)9(2025.0, 919.16)9(205.0, 535.17)8(2025.0,

507.15)8(205.0．

解：（1）2222021:0.005,~8nSH，则应有： 222

0.050.0580.005,(8)15.507P，

具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005所以拒绝假设0H，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，211~(,)X，222~(,)Y，

221212, , , 

未知，112(,,,)nXXXL和212(,,,)nYYYL分别是来自X和Y的样本，求

2122

的置信度为1的置信区间.

解：设22, XYSS分别表示总体XY，的样本方差，由抽样分布定理可知 221121(1)(1)XnSn:， 222222(1)(1)Y

nSn:，

由F分布的定义可得 211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)X

XYY

nSnSFFnnnSSn

:．

对于置信度1，查F分布表找/212(1,1)Fnn和1/212(1,1)Fnn使得 /2121/212(1,1)(1,1)1PFnnFFnn，即 22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)XYXYSSSS

PFnnFnn



，

所求2221的置信度为1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)XYXYSSSSFnnFnn．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测． 2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X服从正态分布(0,4)N，而1215(,,)XXXL是来自X的样本，则

221102211152()XXUXXLL

服从的分布是_______ .

解：(10,5)F． 2，ˆn是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim(), limVar()0nnnnE． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著．

5，多元线性回归模型YβX中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵

ˆβCov()=_______ .

解：1ˆ2

Cov(β)=()XX

．

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)XN，129(,,,)XXXL是X的样本，则___B___ .

（A）1~(0,1)3XN；（B）1~(0,1)1XN；（C）1~(0,1)9XN；（D）1~(0,1)3XN． 2，若总体2(,)XN:，其中2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1减小，则的置信区间____B___ . （A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；