立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

有关平行、垂直问题常见判定方法

一、 线线平行的判定

1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行.

a ∥

b ，b ∥

c ==> a ∥c

2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．

3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线

与交线平行．

a ∥α，a ?β，

αβ=b ==> a ∥b

β

α

b

a

4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行．

α∥β,

γα=a ,

γβ=b ==> a ∥b

γβ

αb

a

5、 平行于同一平面的两直线互相平行．

a ⊥α，

b ⊥α ==> a ∥b

c

b a

α

b a

二、线面平行的判定

1、线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平

面平行．

a?α，b?α，a∥b==> a∥α

α

b a

2、若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行．

α∥β，a?α==> a∥β

α

β

a

3、α⊥β，a⊥β，a?α==> a∥α

β

α

a

4、a⊥b，b⊥α，a?α==> a∥α

α

a b

三、 面面平行的判定

1、 面面平行的判定定理：若一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平

面平行．

a ?α，

b ?α，

a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β

O

αβ

a

b

αβ

a

2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．

a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)

3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．

α∥γ，β∥γ ==> α∥β

αγ

β

4、 柱体的上下底面互相平行

四、线线垂直

1、线线垂直的定义：a与b所成的角为直角．

2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面的任一直线都垂直．

a⊥α，b?α==> a⊥b

αa b

3、a⊥α，b∥α==> a⊥b

αa

b

4、三垂直定理及其逆定理

l⊥α( H为垂足)，a?α，HM是斜线PM在平面α的射影

三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM 三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HM

l

M

H

P α

a

5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥b

β

α

a b

五、线面垂直的判定

1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

a ?α，

b ?α,

a

b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥α

l

O

α

a

b

2、a ∥b ，a ⊥α ==> b ⊥α

α

b a

3、直棱柱的侧棱与底面垂直

4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面

α∥β，a⊥α==> a⊥β

α

β

a

5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

α⊥β，

αβ=l，a?α，a⊥l==> a⊥β

l

β

αa

5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．

α

β=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γ

l

γ

β

α

六、面面垂直的判定

1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.

2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

a ⊥β，a ?α ==> α⊥β

l

β

αa

2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥β

α

a

β