2017年全国初中数学邀请赛(中等数学2018第3期)
容斥原理在竟赛中的两个应用
12中等数学容斥原理在竟赛中的両个应用（天津市第一中学高三（11）班,300051）中图分类号：0142文献标识码：A文章编号：1005-6416(2019)04-0012-02容斥原理是加法原理的推广，用来计算满足若干性质之一的元素个数.利用容斥原理解题的关键在于构造要求计数的集合的一个合适的覆盖，并对其各种交集计数•本文举两例说明.例1平面上2n5〉l,nCN）个点无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意n2+1条线段染成红色•证明:三边均为红色的三角形至少有n个•⑴（2017,全国高中数学联赛江苏赛区复赛）【分析】将题设稍作修改,不妨只保留红色线段，其余线段删去，即证明:若在2n个点（无三点共线）连有朋+1条边,则存在n个三角形.证明记这2“个点为坯山，…则2n-\工</（班）=2（“2+1）.①Z=0由抽屉原理,知存在收稿日期=2018-09-271/O1，O=~DH-yGA=Z DCH-Z ABG Q Z GAE-Z ABG=Z FDH-Z DCH.注意到，AM-MB=4Geos Z GAM-BGcos Z GBM=27?sin乙GBM-cos Z GAM-2/?sin Z GAM-cos Z GBM=2Rsin（Z GBM-Z GAM}.类似地，d(v i)5：zi+1.取其中最大的，不妨设为(/(¾)=k.记v0的相邻点为v},v2,--,v k.若v l,v2,--,v k中无两点相邻，则d(©Jw2n-k(i=l,2,・・・/).而d(°j)Wk(j=k+1,・・・,2〃-1),故2n-l k2n-l工d("i)=d(%)+d(q)+丫d(v-)i=0i=1/=4+1Wk+k(2n-k)+(2n—\—k)k=2k(2n一k)w2『,与式①矛盾.从而，01,v2,•••,v k中存在两点珂、勺相邻，得到△%吧.(1)当n=2时，式①变为3工rf(r-)=2x5・i=0由抽屉原理，知存在两点，不妨设为％、班,使得d(%)=d(”i)=3,即%、”]与其余点均相邻，得到△。
2017年-初二“希望杯”第二十八届第二试试题
第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试试题一、选择题（每小题4分，共40分）1. 实数,,,a b c d 满足0,0a b c d abcd +++=>且，则a b c da b c d+++的值是( ) A.1 B.1− C.0 D.22−或2. 在平面直角坐标系xOy 中，线段()1y kx b x a =+≤≤，当b 的值由1−增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积是9，则a 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.73. Suppose there are three points:()()()6,3,0,8,7,10A B C −−−,connect these three points with line segments,the figure formed is ( )A.obtuse triangleB.right triangleC.acute triangleD.not a triangle （line segments 线段；obtuse triangle 钝角三角形；right triangle 直角三角形；acute triangle 锐角三角形）4. 随机抛掷甲、乙两颗质地均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6），则甲、乙向上一面两个数字的和不是3的倍数的概率是( )A.23 B.13 C.49 D.25365. 已知关于x 的方程1ax x −=无解，关于x 的方程23bx x c +=+有无穷多组解，则则关于t 的二次式2222t at bt ct a b c −−−+++的最小值为( ) A.10 B.12 C.15 D.186. 已知非零实数,,a b c 满足()()()111,,345ab a b bc b c ca c a =+=+=+，则ba c=−( ) A.1 B.3 C.4 D.67. 已知等腰三角形的两边长分别为，一个菱形的周长与这个等腰三角形的周长相等，若菱形的一个内角是120°，则等腰三角形和菱形的面积之比是( )A.4:9B.9C.9D.8. Rt △ABC 的两条直角边为3,4，斜边为c ，斜边上的高为h ，作三边之长为7,,h c h +的△DEF ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( )A.1：1B.3：4C.5：7D.7：59. 如图1，点O 在等边△ABC 内，110,AOB BOC α∠=︒∠=，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△ADC ，链接OD ，若△AOD 是等腰三角形，则α的不同取值有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个10. 已知自然数n 小于50，且45n +和76n +有大于1的公约数，则所有n 的可能值之和为( )A.124B.114C.104D.94二、填空题（每小题4分，共40分）11.若2016a a =−22016a −=____________. 12. 方程15324x x =−−的解是____________. 13. Suppose inequality set of x 2463315x x x a x −⎧<−⎪⎪⎨+⎪≥−⎪⎩ has exact 8 integer solutions. Then the valuerange of a is____________.14. 如图2，已知反比例函数()0ky k x=>的图像经过Rt △OAB 直角边AB 的中点C ，且与斜边OB 交于点D .若△OCDk =____________.15. 若2222410x y x y xy ++−+=，则()2x y +=____________.16. 高速列车长400米，通过隧道（从列车头进入隧道至列车尾离开隧道）需2分钟，若列D图2图1车速度降低1000米/分钟，则需要2.5分钟，如果隧道顶部每隔60米安装一个照明灯（两个隧道口必须安装），那么这条隧道共安装照明灯____________个.17. 已知p ，24p +，216p +都是质数，则p =____________.18. 设aa 的值是____________.19. 若m 个正n 边形的内角度数的总和能够被27整除，则m +n 的最小值为____________.20. 如图3，△ABC 中，12DC EA FB DB EC FA ===，且△ABC 的面积等于1，则△GHI 的面积是____________.三、解答题（每题都要写出推算过程） 21. （本题满分10分）三个非负有理数a ，b ，c 满足325231a b c a b c ++=⎧⎨+−=⎩，求37M a b c =+−的最大值和最小值.FE HICDG BA图322.（本题满分15分）四边形ABCD中，P，Q，R，S分别是线段AB，BC，CD，DA的中点，且PR=SQ，AB=21，BC=18，CD=.（1）求证：AC⊥BD；（2）求AD的长. 23.（本题满分15分）设r是实数，且707189407100100100r r r⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求[]100r的值.（注：[]x表示不超过x的最大整数）SDQRPCBA图4。
{3套试卷汇总}2017-2018嘉兴市中考数学联考试卷
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】如图所示，∵（a+b）2=21
＝ ﹣ ×11
＝π﹣1．
故答案为π﹣1．
【点睛】
本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题关键是得到扇形半径的长度．
12．已知直线 与抛物线 交于A ，B 两点，则 _______．
【答案】
【解析】将一次函数解析式代入二次函数解析式中,得出关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系得出“x +x =- = ,x x = =-1”,将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论.
【详解】原式＝2x÷22y×23，
＝2x﹣2y+3，
＝22，
＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．
9．如图，数轴上的 三点所表示的数分别为 ，其中 ，如果| 那么该数轴的原点 的位置应该在（）
A．点 的左边B．点 与点 之间C．点 与点 之间D．点 的右边
B．△COD是等腰三角形
C．C、D两点关于OE所在直线对称
D．O、E两点关于CD所在直线对称
【答案】D
【解析】试题分析：△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
2017-2018学年全国高中联赛一试(B卷)数学试题
2017-2018学年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR 的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74-解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE==同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H EF ==，故DH =，于是12332DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b =+⨯-==∑，当2c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a bc .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.9.解：设2xt =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t -<-⇔-<-，(25)(5)0t a a ⇔---<，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =---<⎧⎨=--<⎩，解得35a <<所以实数a 的取值范围是35a <<.10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d++=-+221(2)3n n n a a a d d ++=--=所以数列{}n b 也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d =，因为0d ≠，故13d =，这样2212()(2)n n n n n n nb a a a a d a d a ++=-=++- 22329n n da d a =+=+若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d +=++=+-++-+ 122239s t a Z +-=++∈. 记122239s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而11||18a ≥.又当1118a =时，有1311711818a b Z +=+=∈，综上所述，1||a 的最小值为118. 11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t -++-=，化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正，计算得，222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ∆=-+--+=---+--- 222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，因此有(2,0)(2,4)t ∈-，②设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，21224x x t t +=-+，22121((2)8)2x x t t =-+， 因此，结合l 的倾斜角为45可知，2224121212||||2()2()22()2PQ PR x t x t x x t x x t =--=-++ 22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++43243244482482t t t t t t t =-++-+-+ 4248t t =-+22(2)4t =-+，③由②可知，22(2,2)(2,14)t -∈-，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈，从而由③得：22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈注1：利用2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2<，同样可以求得②中t 的范围.注2：更简便的计算||||PQ PR 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =22222242||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+.。
2018中考复习专题：方程与不等式2017全国中考真题汇编(1)
2017年9月1日初中数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1、某种商品经过两次降价，由每件 100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）A8.5% B 、9% C 、 9.5% D 10%2、已知点M （1-2m , m-1）关于y 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 （）C DI24、方程x =2x 的解是（ ）A 、 x=2B 、 X 1=2， X 2=03、如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意列方程组正确的是（）B5、已知3是关于x 的方程5x -a=3的解，贝U a 的值是（ ）A 、 - 14B 、 12C 、 14D - 136、 “低碳生活，绿色出行”，电动汽车将逐渐代替燃油汽车，成为人们出行的主要交通工具， 汽车销售4S 店，今年2月份销售电动汽车共计 64辆，4月份销售电动汽车共计 100辆. 增长率相同，则该汽车销售 4S 店5月份能销售电动汽车（）辆.A 、 111B 、 118C 、 125D 1327、 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共小组人数为（）A 、 7B 、 8C 、 9D 10 8、下列方程中是二元一次方程的是（ ）A 、 x — 5=3B 、 x+ =3yC 、 x+ =13D xy=329、 一元二次方程 x — 2x=0的一次项系数是（） A 、 2 B 、 - 2 C 、 1 D 010、要使方程 T ：1 i --…-!=1去分母，两边同乘以6得（）某城市一若每月汽车销售72张，此D x=0A、3 (6 - 2x)- 4 (18+3x) =1B、3 (6 - 2x)- 4 (18+3x) =6C 3D 3 | -：」--=•.1、填空题（共4题；共5 分）11、学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.若设小道的宽为x米，则可列方12、（2015?漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x- 1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是13、正方形的ABP1P2顶点只、P2在反比例函数y（x>0）的图象上，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2PAB ,顶点P3在反比例函数y= （x>0）的图象上，顶点A在xx轴的正半轴上，则点P3的坐标为14、__________________________________________________________ 在二元一次方程- *x - 3y+2=0 中，当x=2 时，y= ____________________________________________________ ;当y=1 时，x= ________ .三、综合题（共2题；共20分）15、小明去超市买三种商品.其中丙商品单价最高.如果购买3件甲商品、2件乙商品和1件丙商品，那么需要付费20元，如果购买4件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么需要付费32元.（1）如果购买三种商品各1件，那么需要付费多少元？（2）如果需要购买1件甲商品，3件乙商品和2件丙商品，那么小明至少需多少钱才能保证一定能全部买到？（结果精确到元）16、综合题。
∥3套精选试卷∥上海市知名初中2017-2018中考数学联合模拟试题及答案
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．32【答案】B【解析】根据题意画出图形，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，由三角形重心的性质得AD=3x ， 利用锐角三角函数表示出BD 的长，由垂径定理表示出BC 的长，然后根据面积法解答即可．【详解】如图，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，则AD=3x ，∵tan ∠BAD=BD AD， ∴BD= tan30°·3，∴3，∵1332BC AD ⋅=, ∴1233， ∴x ＝1所以该圆的内接正三边形的边心距为1，故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．2．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，CH ┴AF 与点H ，那么CH 的长是（ ）A ．223B ．5C ．322D ．355【答案】D【解析】连接AC 、CF ，根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH 的长.【详解】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，BC=1，CE=3，∴AC=2 ，CF=32，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF=2222(2)(32)25AC CF +=+=，∵CH ⊥AF ， ∴1122AC CF AF CH ⋅=⋅， 即112222522CH ⨯=⨯⋅， ∴CH=355. 故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，DE ∥AB ，若∠CDE=165°，则∠B 的度数为（ ）A ．15°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】D 【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE ∥AB ，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C ﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．4．如图是二次函数y =ax 2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b 2–4ac<0，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】B 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜1，故①正确；②对称轴x 2b a=-=1，则2a+b=1．故②正确； ③由图可知：当x=1时，y=a+b+c ＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2﹣4ac ＞1．故④错误．综上所述：正确的结论有2个．故选B ．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．6．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是( )A ．50°B ．70°C ．80°D ．110°【答案】C 【解析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD 是∠BAC 的平分线，进而可得∠BAC 的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a ∥b ，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ） A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 【答案】B【解析】设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.8．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
高淳区2017-2018九年级上学期期中数学--(附解析答案)
2017～2018学年度第一学期期中质量调研检测试卷九年级数学一、 选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．抛物线y ＝2x 2－1的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（2，－1）B ．（－1，2）C ．（－1，0）D ．（0，－1）2．方程(x ＋2)2＝1的解是（ ▲ ）A ．x 1＝－1，x 2＝－3B ．x 1＝－1，x 2＝3C ．x 1＝1，x 2＝－3D ．x 1＝1，x 2＝33．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数－x 与方差S 2：甲 乙 丙 丁 平均数－x （cm ） 561 560 561 560 方差S 2（cm 2）3.53.515.516.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ▲ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ▲ ）A ．34B ．14C ．13D ．125．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，下列结论： ①a ＜0；②c ＞0；③a ＋b ＋c ＜0；④b ＞2a ． 其中正确的有（ ▲ ）个．（第5题）xy 1O－1A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A 、C ，则劣弧 ⌒AC的长度为（ ▲ ） A ．35π B ．34πC ．45πD ．23π二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题纸相应位置．．．．．．上） 7．方程x 2＋x ＝0的根为 ▲ ．8．一元二次方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根之和为 ▲ ．9．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则它的侧面积等于 ▲ cm 2． 10．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分708090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 ▲ 分．11．一组数据4、5、6、7、8的方差为S 12，另一组数据3、5、6、7、9的方差为S 22，那么S 12 ▲ S 22（填“＞”、“＝”或“＜”）．12．将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式为 ▲ ．ABCDEO（第13题）（第6题）OAB13．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝110°．若点E 在AD ︵上，则∠E ＝ ▲ °．14．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…－223…y … 8 0 0 3 …当x ＝－1时，y ＝ ▲ ．15．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列得方程 ▲ ．16．如图，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，AD ⊥BC ，D 是垂足，E 是BC ︵的中点．若∠BAC ＝84°，∠ABC ＝30°，则∠OAE ＝ ▲ °． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列方程：（1）9(x ＋1) 2－4＝0 ； （2）2y 2－6y ＋1＝0（用配方法）．AB16题）DEO18．（7分）为了让学生了解“阳光体育”知识，我市某中学举行了一次“阳光体育”知识竞赛，共有1800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： （1）频数分布表中a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ； （2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，则该校成绩没达到．．．优秀的约为多少人？ 频数分布直方图 频数分布表19．（6分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 4 800 3 400 3 000 2 200 人 数111361111（1）该公司员工月收入的中位数是 ▲ 元，众数是 ▲ 元．分组 频数 频率 50．5～60．5 4 0．08 60．5～70．5 8 0．16 70．5～80．5 12 0．24 80．5～90．5150．3090．5～100．5ab合计（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6 276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．20．（7分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．21．（7分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋（2m +1）x ＋m 2 －m －1＝0有两个实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1和x 2，且 x 1＋x 2＝x 1x 2，求实数m 的值．22．（7分）如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC 、AD 于E 、F 两点，交BA 的延长线于点G ． （1）求证：EF ︵＝FG ︵；（2）若⌒EFG 为140°，求∠EGB 的度数．FG（第22题）BCADE(第23题)1 2 31234 Oxy －1 －1－2 －3－2 －323．（9分）二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图像过点（－2，1），（0，1）． （1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并坐标系中画出该函数图像；（3）该函数图像可由y ＝－2x 2的图像经过怎样的平移得到？24．（8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ．（1）用直尺和圆规作△ABC 的外接圆⊙O （保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结AO 交BC 于点H ，求证：AH ⊥BC ；（3）若AB ＝AC ＝5，BC ＝6．求△ABC 的外接圆⊙O 的半径．A（第24题）BC25．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．26．（10分）某“数学兴趣小组”对函数y ＝x 2－2|x |＋1的图象和性质进行了探究，探究过程（第25题）BADCOE如下，请补充完整．（1）由于自变量x的取值范围是全体实数，则可列得下表．根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y … 4 1 0 1 0 1 4 …（2）观察函数图象，写出两条函数的性质：①▲；②▲．（3）进一步探究函数图象发现：①函数y＝x2－2|x|＋1，当x＝▲时，y取最小值，最小值为▲；②因为函数图象与x轴有两个交点，所以y＝0，即方程x2－2|x|＋1＝0有▲个不相等的实数根；③方程x2－2|x|＋1＝1有▲个不相等的实数根．(第26题)1 2 31234O xy－1－1－25－2－327．（11分）在学习《2．1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，△ABC 和△DBC 中，∠A ＝∠D ＝90°．试证明A 、B 、C 、D 四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC 中点M ，连结AM 、DM ．则有AM ＝BM ＝CM 及DM ＝BM ＝CM ，即AM ＝BM ＝CM ＝DM ，所以A 、B 、C 、D 四点在以M 为圆心，MB 为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：（1）如图2，在△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连结DE 、DF ，若∠BAC ＝64°，则∠EDF ＝ ▲ °．（2）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，G 为CD 的中点，CE ⊥AB 于E ，图1（1）BADM C 图1（2）BAD CMC图2BAD EFHDF ⊥AB 于F （E 、F 不重合）．若∠EGF ＝60°，求证：CD ＝ 12AB ．九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.D2.A3.A4.B5.D6.C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．x 1＝－1，x 2＝0 8．－32 9． 24π 10． 77 11．＜12． y ＝(x －2)2＋1 13． 125° 14． 3 15．12 x(x －1) ＝28 16． 18 图3BADCO GEF三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）解下列方程：（1）9(x ＋1) 2－4＝0 ；解：9(x ＋1) 2＝4 ， (x ＋1) 2＝49 ， x ＋1＝±23 ………………2分∴ x 1＝－13，x 2＝－53 ………………4分（2）2y 2－6y ＋1＝0（用配方法）． 解：y 2－3y ＋12＝0， y 2－3y ＝－12y 2－3y ＋（32）2 ＝－12＋（32）2 ，（y －32）2 ＝74 ………………2分∴ y －32＝±72∴ y 1 ＝32＋72，y 2＝32－72 ………………4分18．解：（1）a ＝11，b ＝0．22； ………………2分 （2）画图正确； ………………4分 （3）2450×1800 ………………6分＝864∴ 该校成绩没达到优秀的约为864人． ………………7分19．解（1）3400，3000. ………………3分 （2）本题答案不惟一，下列解法供参考．例如，用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.………………6分20．解：把2个黄球编号为黄球1、黄球2.画树状图得：………………3分所有可能结果为（红，红）、（红，黄1）、（红，黄2）、（黄1，红）、（黄1，黄1）、（黄1，黄2）、（黄2，红）、（黄2，黄1）、（黄2，黄2）………………5分∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，∴P（两次摸出的球都是红球）＝19．………………7分21．解：（1）a＝1，b＝2m+1，c＝m2－m－1．∵关于x的一元二次方程x2＋（2m+1）x＋m2－m－1＝0有两个实数根,∴b2－4ac＝(2m+1) 2－4×1 ×(m2－m－1) ＝8m＋5≥0，………………2分即m ≥－58． ………………3分（2） x 1＋x 2＝－（2m +1）, x 1x 2＝m 2 －m －1 ………………4分∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴－（2m +1）＝m 2 －m －1，即m 2 ＋m ＝0，∴m 1＝0， m 2＝－1， ………………6分 ∵m ≥－58，∴m ＝0． ………………7分22．（1）证明：连结AE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ，∠GAF ＝∠B ， ……………1分 ∵AE ＝AB ， ∴∠B ＝∠AEB ， ……………2分 ∴∠EAF ＝∠GAF ， ∴EF ︵＝FG ︵； ……………4分 （2）∵GB 为⊙A 的直径，∴⌒BEG 为180°， ∵⌒EFG 为140°，∴⌒BE 为40°， …………5分 ∴∠BAE ＝40° …………6分 ∵∠EGB ＝12∠BAE ，∴∠EGB ＝20°．…………7分（其它解法参照给分）23．解：（1）把（－2，1），（0，1）代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ，得－8－2b ＋c ＝1，c ＝1， …………2分 解得：b ＝－4，c ＝1． …………3分FG（第22题）BCADE（2）y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2（x ＋1）2＋3，顶点坐标是（－1，3），对称轴是直线x ＝－1．…………5分 画图正确； …………7分（3）将y ＝－2x 2的图像向左平移1个单位得到y ＝－2（x ＋1）2的图象，…………8分再将y ＝－2（x ＋1）2的图象向上平移3个单位得到y ＝－2（x ＋1）2＋3的图象．……………9分24．解：（1）画图正确； ………2分 （2）证明：连结OB ，OC ．在△ABO 和△ACO 中AB ＝AC ，AO ＝AO ，OB ＝OC ， ∴△ABO ≌△ACO ．∴∠BAO ＝∠CAO ，………4分∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ．………5分 （其它证法参照给分）（3）解：∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AH ⊥BC ．∴BH ＝CH ＝3，AH ＝4． ………6分在Rt △BHO 中，BH 2＋OH 2＝BO 2，即32＋（4－BO ）2＝BO 2， ………7分 解得：BO ＝258． ………8分25．（1）证明：连结OD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ， ………2分 ∵DE ⊥AC ，即∠AED ＝90°，BADCOE F（第24题）B ACO H∴∠ODE ＝90°，即DE ⊥OD ． ………3分 ∴DE 是⊙O 的切线． ………4分（2）解：作OF ⊥AC ，垂足为F ．∴AF ＝12AC ＝3， ………5分在Rt △AFO 中，AF 2＋OF 2＝AO 2，AO ＝12AB ＝5，∴32＋OF 2＝52，∴ OF ＝4， ………6分∵∠AED ＝∠ODE ＝∠OFE ＝90°，∴四边形ODEF 是矩形， ………7分 ∴DE ＝OF ＝4． ………8分26．解：（1）画图正确； ………2分（2）答案不唯一：函数的图像关于y 轴对称；函数有最小值0；当－1＜x ＜0或x ＞1 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜－1或0＜x ＜1时，y 随x 的增大而减小．……4分 （3）①1或－1， 0 ； ………7分② 2 ； ………8分③ 3 ． ………10分 27．（1）∠EDF ＝52°． …………3分 （2）证明：连结OC ，OD ，OG ．∵OC ＝OD ，G 为CD 的中点，∴OG ⊥CD ．……4分 ∵CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB ，∴∠OEC ＝∠OGC ＝90°，且∠OFD ＝∠OGD ＝90°．∴C 、E 、O 、G 四点在同一圆上，且D 、G 、O 、F 四点在同一圆上， ∴∠OGE ＝∠OCE ，∠OGF ＝∠ODF ． ………6分图3BADCOGE F∴∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，………7分在Rt△CEO和在Rt△DFO中，∴∠EOC＋∠DOF＝（90°－∠OCE）＋（90°－∠ODF）＝180°－（∠OCE＋∠ODF）＝180°－60°＝120°，∴∠COD＝180°－（∠EOC＋∠DOF）＝60°，………9分又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形．………10分∴CD＝OC＝OD＝12AB．即CD＝12AB．………11分。
∥3套精选试卷∥武汉市2017-2018中考单科质检数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】C【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．2．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n【答案】D【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．考点：规律型：图形的变化类．3．若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（）A．1＜m＜32B．1≤m＜32C．1＜m≤32D．1≤m≤32【答案】B【解析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；【详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，∴230 10 mm＜-⎧⎨-+≥⎩，解得1≤m＜32．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.6．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．故选B．7．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝1．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转11°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A ．13B ．5C ．22D ．4【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．45B ．54C ．43D ．34【答案】D【解析】先求得∠A ＝∠BCD ，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3，在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∠A+∠B ＝90°，∠BCD+∠B ＝90°．∴∠A ＝∠BCD ．∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BC AC ＝34， 故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．9．如图，平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG ，若 40BAE ∠=︒，15CEF ∠=︒，则 D ∠的度数是A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒【答案】A 【解析】分析：首先求出∠AEB ，再利用三角形内角和定理求出∠B ，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B 即可解决问题．详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AEF=90°，∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=65°故选A ．点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____【答案】143． 【解析】解：令AE=4x ，BE=3x ，∴AB=7x.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB=7x ，CD ∥AB ，∴△BEF ∽△DCF.∴3377BF BE x DF CD x ===， ∴DF=143 【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键. 12．一元二次方程x 2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为 ．【答案】-1.【解析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．【详解】∵一元二次方程x 2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x 1，由根与系数关系：-1•x 1=1，解得x 1=-1．故答案为-1.13．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=10，AC=6，则DF 的长为__．【答案】1【解析】试题分析：如图，延长CF 交AB 于点G ，∵在△AFG 和△AFC 中，∠GAF=∠CAF ，AF=AF ，∠AFG=∠AFC ，∴△AFG ≌△AFC （ASA ）．∴AC=AG ，GF=CF ．又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线．∴DF=12BG=12（AB ﹣AG ）=12（AB ﹣AC ）=1． 14．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．【答案】5k <【解析】分析：先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．详解：由图象可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，1），∴244ac b a-=1，即b 2-4ac=-20a ， ∵ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，∴方程ax 2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b 2-4a （c-k ）=b 2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a （1-k ）＞0∵抛物线开口向下∴a ＜0∴1-k ＞0∴k ＜1．故答案为k ＜1．点睛：本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b 2-4ac ＞0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点．16．如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠ACB ＝_____．【答案】36°【解析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB ，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为36°．17．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】23+【解析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将3【详解】设方程的另一根为x 1，又∵3x 13，解得x 13． 故答案为：23【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解． 18．有下列等式：①由a=b ，得5﹣2a=5﹣2b ；②由a=b ，得ac=bc ；③由a=b ，得a b c c =；④由23a b c c =，得3a=2b ；⑤由a 2=b 2，得a=b ．其中正确的是_____．【答案】①②④【解析】①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确, ③由a=b,得a b c c=,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为c 可能为0,所以本选项不正确,④由23a b c c=,得3a=2b, 根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确, ⑤因为互为相反数的平方也相等,由a 2=b 2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误,故答案为: ①②④.三、解答题（本题包括8个小题）19．铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：求y 与x 之间的函数关系式；商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？【答案】 (1)y ＝10x+100；(2)这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．【解析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可；（3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．【详解】(1)设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx+b ，把(2，120)和(4，140)代入得，21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝10x+100；(2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090，解得：x ＝1或x ＝9，∵为了让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9，答：这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价x 元，商贸公司获得利润是w 元，根据题意得，w ＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x 2+100x+2000，∴w ＝﹣10(x ﹣5)2+2250，∵a=-100<，∴当x ＝5时，w 2250=最大故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．20．某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：视力频数（人）频率4.0≤x＜4.3 20 0.14.3≤x＜4.6 40 0.24.6≤x＜4.9 70 0.354.9≤x＜5.2 a 0.35.2≤x＜5.5 10 b（1）本次调查的样本为，样本容量为；在频数分布表中，a＝，b＝，并将频数分布直方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？【答案】200名初中毕业生的视力情况200 60 0.05【解析】（1）根据视力在4.0≤x＜4.3范围内的频数除以频率即可求得样本容量；（2）根据样本容量，根据其对应的已知频率或频数即可求得a，b的值；（3）求出样本中视力正常所占百分比乘以5000即可得解.【详解】（1）根据题意得：20÷0.1=200，即本次调查的样本容量为200，故答案为200；（2）a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05，补全频数分布图，如图所示，故答案为60，0.05；（3）根据题意得：5000×706010200++=3500（人）， 则全区初中毕业生中视力正常的学生有估计有3500人．21．观察下列等式：第1个等式：1111a 11323==⨯-⨯（）； 第2个等式：21111a 35235==⨯-⨯（）； 第3个等式：31111a 57257==⨯-⨯（）； 第4个等式：41111a 79279==⨯-⨯（）； …请解答下列问题：按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = （n 为正整数）；求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值．【答案】（1）1111 9112911⨯-⨯，（）（2）()()1111 2n 12n+122n 12n+1⨯--⨯-，（）（3）100201【解析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算【详解】解：（1）a 5=1111=9112911⨯-⨯（）； （2）a n =()()1111=2n 12n+122n 12n+1⨯--⨯-（）；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 10011111111111=1++++232352572199201⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯-（）（）（）（） 11111111111200100=1++++=1==23355719920122012201201⎛⎫⎛⎫⨯---⋅⋅⋅-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的⊙O 的切线交于点D ．若AC=4，BC=2，求OE 的长．试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．【答案】（15；（2）∠CDE=2∠A ． 【解析】（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得到AB 的长，从而得到半径AO ．再由△AOE ∽△ACB ，得到OE 的长；（2）连结OC ，得到∠1=∠A ，再证∠3=∠CDE ，从而得到结论．【详解】（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得： 222242AC BC +=+ =5∴AO=125． ∵OD ⊥AB ，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ACB ， ∴OE AO BC AC=， ∴OE=25BC AO AC ⋅= 5. （2）∠CDE=2∠A ．理由如下：连结OC ，∵OA=OC ，∴∠1=∠A ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD ⊥AB ，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE ．∵∠3=∠A+∠1=2∠A ，∴∠CDE=2∠A ．考点：切线的性质；探究型；和差倍分．23．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.24．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下： 命中环数6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1 （1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）【答案】（1）8，6和9；（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小【解析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可．【详解】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；故答案为8，6和9；（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，则甲的方差是：15[（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，则甲的方差是：15[2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为变小．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．25．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）50°．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF ∥CE ， ∴∠AFB=∠ECB ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠DCE=∠ECB ， ∴∠AFB=∠1，在△ABF 和△CDE 中，， ∴△ABF ≌△CDE （AAS ）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB ，∠DCE=∠ECB ， ∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．26．为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A ，B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A ，B 两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？【答案】（1）购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）最多购买B 型学习用品1件【解析】（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，由题意，得x y 100020x 30y 26000+=⎧⎨+=⎩，解得：x 400y 600=⎧⎨=⎩． 答：购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，由题意，得20（1000﹣a ）+30a≤210，解得：a≤1．答：最多购买B 型学习用品1件中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35C ．43D ．45【答案】D【解析】如图，连接AB ，由圆周角定理，得∠C=∠ABO ，在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，∴4cos cos 5OB C ABO AB =∠==． 故选D ．2．下列几何体中，俯视图为三角形的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．【详解】A.圆锥的俯视图是圆，中间有一点，故本选项不符合题意，B.几何体的俯视图是长方形，故本选项不符合题意，C.三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意，D.圆台的俯视图是圆环，故本选项不符合题意，故选C.【点睛】此题主要考查了由几何体判断三视图，正确把握观察角度是解题关键．3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C．33D．3【答案】B【解析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴AB ∥CD ∥EF∴△ABE ∽△DCE ， ∴，故选项B 正确，∵EF ∥AB ， ∴， ∴，故选项C ，D 正确，故选：A ．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ，点()21,B m y -在k y x =的图象上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的O 上，则k 的值为( )A ．34-B ．1-C ．32-D ．2-【答案】A【解析】由题意(),3A m m -，因为O 与反比例函数k y x=都是关于直线y x =-对称，推出A 与B 关于直线y x =-对称，推出()3,B m m -，可得31m m =-，求出m 即可解决问题；【详解】函数3y x =-与k y x=的图象在第二象限交于点()1,A m y ， ∴点(),3A m m -O 与反比例函数k y x=都是关于直线y x =-对称， A ∴与B 关于直线y x =-对称， ()3,B m m ∴-，31m m ∴=-，12m ∴=- ∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 133224k ∴=-⨯=- 故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A ，B 关于直线y x =-对称．6．一、单选题点P （2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣1，2）D ．（1，﹣2） 【答案】A【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P （2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c ＝3a ，tanA 的值为（ ）A ．13BCD ．3【答案】B【解析】根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt △ABC 中∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c=3a ，设a=x,则即=4. 故选B.【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.8．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．9．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系10．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ） A ．3.9×1010 B ．3.9×109 C ．0.39×1011 D ．39×109【答案】A【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可． 【详解】39000000000=3.9×1． 故选A ． 【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 二、填空题（本题包括8个小题）11．若a 是方程2310x x -+=的解，计算：22331aa a a -++=______. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义得a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，再代入22331aa a a -++，然后利用整体思想进行计算即可．【详解】∵a 是方程x 2﹣3x+1=1的一根， ∴a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，a 2+1=3a ∴2233=11=01-+-++aa a a 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．12．若m 2﹣2m ﹣1=0，则代数式2m 2﹣4m+3的值为 ． 【答案】1【解析】试题分析：先求出m 2﹣2m 的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．解：由m 2﹣2m ﹣1=0得m 2﹣2m=1，所以，2m 2﹣4m+3=2（m 2﹣2m ）+3=2×1+3=1． 故答案为1． 考点：代数式求值．13．计算1x x +﹣11x +的结果为_____． 【答案】11x x -+．【解析】根据同分母分式加减运算法则化简即可． 【详解】原式＝11x x -+， 故答案为11x x -+． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟记运算法则是解题的关键．14．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长为_____．【答案】4【解析】试题解析：∵3cos 5BDC ∠=， 可 ∴设DC=3x ，BD=5x ，又∵MN 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD=DB=5x ， 又∵AC=8cm ， ∴3x+5x=8， 解得，x=1，在Rt △BDC 中，CD=3cm ，DB=5cm ，222253 4.BC DB CD -=-=故答案为:4cm.15．如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B(1，0)，则光线从点A 到点B 经过的路径长为_____．【答案】2【解析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【详解】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=1．由勾股定理AB′=2∴AC+CB = AC+CB′= AB′=2．即光线从点A到点B经过的路径长为2．考点：解直角三角形的应用点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=23x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB=______．【答案】33【解析】首先设点B的横坐标，由点B在抛物线y1=x2（x≥0）上，得出点B的坐标，再由平行，得出A和C的坐标，然后由CD平行于y轴，得出D的坐标，再由DE∥AC，得出E的坐标，即可得出DE和AB，进而得解.【详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a∵平行于x 轴的直线AC ∴()()220,,3,A aC a a又∵CD 平行于y 轴 ∴()23,3Da a又∵DE ∥AC ∴()23,3E a a∴()33,DE a AB a =-= ∴DEAB=3﹣3 【点睛】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.17．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 【答案】7 2°或144°【解析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144° 18．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=110°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD,则∠ABD= ___________°．【答案】1【解析】∵在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=110°， ∴∠A=∠C=1°，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ， ∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠A=1°； 故答案是1．三、解答题（本题包括8个小题）19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 2225 20 19 22 35 33 19 17 18 2918 35 22 15 18 18 31 31 19 22整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23 m 21根据以上信息，解答下列问题：上表中众数m的值为；为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【答案】(1)18；（2）中位数；（3）100名.【解析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【详解】（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×11231230+++++=100（名），。