2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—解析几何解答题_word版有答案

2016浙江精彩题选——解析几何解答题

1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）

已知椭圆C ：22

a

x ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2

，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设

.

（Ⅰ）若l =

3

4

，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2

为等腰三角形，求l 的值.

2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>经过点6

，且离

．点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ?的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．

解：（Ⅰ）由题意得： ???????????+====+22222

22

21)26(1c b a a c e b a ，解得：?????==24

22

b a 故椭圆C 的方程为：12

422=+y x ……………………………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM ,ON 的方程为OM y k x =，ON y k x =

联立方程组22142

OM y k x

x y =??

?+

=??

，解得M ,

同理可得(N ,……………………………………7分

作'MM 轴, '轴,','M N 是垂足, OMN S ?=''''OMM ONN MM N N S S S ??--梯形 1

[()()]2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1

()2

M N N M x y x y =-

1

2=

=9分

已知OMN S ?2=

，化简可得2

-=ON OM k k .……………………………………11分

设(,)P P P x y ,则22

42P P x y -=，

又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明1

2

AP BP k k =-……………………13分

而221

2242

P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--

所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）

解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y OM ，代入422

2=+y x

得0488)12(2

222=-+++OM OM OM k x k x k ，它的两个根为2-和P x

可得1

2422

2

+-=OM OM

p k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分

从而OM OM OM

OM OM BP k k k k k k 21

212421242

2

2-=-+-+= 所以只需证ON OM k k =-

21 即2

1

-=ON OM k k …………………………………9分 设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x

从而可得2

1

-

=ON OM k k …………………………………10分 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12

42

2=+y x 得0424)12(2

2

2

=-+++m kmx x k

则1

24221+-=+k km x x ，12422

221+-=k m x x ，0)24(82

2>-+=?m k ………11分 212)24(8||21

||||2122221=+-+?=-?=?k m k m x x m S OMN

化得0)12()24(2

2224=+++-k m k m ，得1222+=k m ………………………13分

2

1

4)12(2412424)(2

22222212212122121-=-+-+=--=+++==?k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ON

OM ………………………………………………15分

3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）

已知椭圆C ：()222210x y a b a b

+=>>

，直线l ：10x y +-=与C 相交于A ，B 两点．

（Ⅰ）证明：线段AB 的中点为定点，并求出该定点坐标；

（Ⅱ）设()1,0M ，MA BM λ=

，当2a ?∈ ?时，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）

，得223a b =． ………………2分

设()()1122,,,A x y B x y ，联立22233010x y b x y ?+-=?+-=?，

，

消去y 得()2246310x x b -+-=

故123

2

x x +=，()212314b x x -=， ………………4分

所以

12324x x +=，12121

1224

y y x x ++=-=． 故线段AB 的中点为定点3144??

???

，． ………………6分

（Ⅱ）()1,0M ，MA BM λ=，得()1211x x λ-=-． ………………8分

结合1232

x x +=解得21

21x λλ-

=-，1

22(1)x λλ-=-． 由()212314

b x x -=

得21

1

231

b λλ

+

=

+-．

………………10分

因为a ∈?，故27,112b ??

∈ ???， ………………12分 从而2115102,3123b λλ??

+=+∈ ?-??

． ………………13分

解得()11,2,332λ??∈ ???

．

………………15分 法二：本题在运算时用12y y λ=- 再利用y 的韦达定理算出λ的式子，用21212

()y y y y +来算要好算一点。

4.（2016嘉兴一模）．（本题满分15分）过离心率为22

的椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的右焦点)0,1(F 作

直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ?中AB 边上中线长的取值范围． 解：（Ⅰ）∵2

2

=

e ，1=c ，∴1,2==c a 即椭圆C 的方程为：12

22

=+y x . …7分

（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立.

（2）设直线1:+=my x l ，设),(11y x A ，),(22y x B

联立01222=-+y x 得012)2(22=-++my y m

得22221+-=+m m y y ，2

1

221+-=m y y ，

由||||FB FA λ=，得21y y λ-=

∵12211

y y y y +

=-+-λλ，∴2

4)(212221221+-=+=+-+-m m y y y y λλ ∴7

2

2≤m

又∵AB 边上的中线长为221221)()4(2

1

||21y y x x TB TA ++-+=+→→

2

2

24)2(494+++=m m m 42

7

)2(222

2++-

+=

m m ]16

2

13,

1[∈ …8分 5.（2016浙江六校联考19）如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b

+=>>和圆2C ：222

x y b +=，已知圆2C 将

椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π。椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ． （I ）求椭圆C 1的方程；

（II ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．

19. 解：（1）由题意得：1b =，则3a b = （2）由题意得：直线,PE ME 的斜率存在且不为 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:PE y kx =x

由：2

2

119y kx x y =-???+=??，得：22218919

191k x k k y k ?=??+?-?=?+?

或01x y =??=-? 所以：22

21891:(,)9191k k P k k -++ 同理得:2

22189:(,)99k k M k k --++ 2110PM k k k -= ………………8分

由22

11

y kx x y =-??+=?，得：22221:(,)11k k A k k -++， 所以：21

2AB k k k -=

所以：3

4222

1

162()

1162()9

29829982EPM k k k k S PE EM k k k k ?++=?==++++ ………………12分 设1t k k =+， 则216216227

6496489EPM t S t t t

?==≤

++ ……13分 当且仅当183t k k =+=时取等号，所以12

73k k -=±

则直线2111

:()22k AB y x k x k k

-==- 所以所求直线l 方程为：7

y x =± ………………15分