数列求和及其综合应用

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)

2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.

2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7b 7＝________

3.若数列{a n }满足a 2n ＋1

a 2n ＝p(p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }

是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列

????

??1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.

5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．

(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；

(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．

6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4

3，a 1＞a 8，

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；

(3) 设数列{}的通项为c n ＝n ·2b n ，比较(n ＋1)(n ＋2)＋n(n ＋1)＋2与2n(n ＋2)＋1的大小．

7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n ＝(b －1)S n .

(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．

8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2) 求证：数列????

??

a n －12n 为等差数列，并求a n .

9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，且{b n }是以q

为公比的等比数列． (1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；

(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{}是等比数列； (3) 求和：1

a 1＋1

a 2＋1

a 3＋1

a 4＋…＋1

a 2n －1＋1

a 2n

.

10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 …

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n

b n S n －S 2n

＝1(n ≥2)．

(1) 证明数列????

??

1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4

91时，求上表中第k(k ≥3)行所有项的和．

12、已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{a n}的前n 项和为S n，点(n，S n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．

(1) 求数列{a n}的通项公式；

(2) 设b n＝3

a n a n＋1，T n是数列{

b n}的前n项和，求使得T n＜

m

20

对所有n∈N*都成立的最小

正整数m.

13、已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10＝________.

14、设函数f(x)＝x

x＋2

(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝x

x＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝

x

3x＋4

，f3(x)＝f(f2(x))＝

x

7x＋8

，

f4(x)＝f(f3(x))＝x

15x＋16

，…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.

15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．

16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1

＝?????

a n

2，当a n

为偶数时，3a n

＋1，当a n

为奇数时.

若a 6＝

1，则m 所有可能的取值为________.

17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.

(1) 证明：{a n －1}是等比数列；

(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>1

15

18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．

(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3； (2) 求证：对k ≥3且k ∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤4

3

.

19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n

a n (n ∈N *)．

(1) 数列{}是否为等比数列？证明你的结论；

(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n

2n ＋1，求数列{}的前n

项和．

20、两个正数a 、b 的等差中项是5

2，一个等比中项是

6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1

的离心率e 等于________．

21、在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，则a m，a m＋2，

a m＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

1、若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n－1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.

－15 解析：a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝－3，a1＋a2＋…＋a10＝5×(－3)＝－15.

2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7

b 7

＝________.2.

6 解析：a 7

b 7＝a 1＋a 13

b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋5

13＋3

＝6.

3.若数列{a n }满足a 2n ＋1

a 2n ＝p(p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }

是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分

4.已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列

????

??1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 4. 2 012

2 01

3 解析：f ′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝? ????1－12＋

? ????12－13＋…＋? ??

??1n －1n ＋1＝n

n ＋1. 5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．

(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；

(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．

解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d ≠0，∴ d ＝1，a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n ·2n ＋1.

(2) ∵ 新的数列{}的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项的和减去数列{b n }前n 项的和，

∴ S 2n －n －1＝

2n －1

2＋2n

2

－

22n －12－1

＝(2n －1)(2n －1－1)．

∴ S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.

6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4

3

，a 1＞a 8，

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；

(3) 设数列{}的通项为c n ＝n ·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)＋n(n ＋1)＋2与2n(n ＋2)＋1的大小．

解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－4

3，且a 1＞a 8，求得a 1

＝1，a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1＝－1

3

，

∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋4

3

(n ∈N *)．

(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋4

3＝－n ＋2，

∴ 2b n ＋12b n

＝2－

n ＋1

＋2

2－n ＋2

＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为1

2

的等比数列， ∴ {2b n }的前n 项之和为

2????

??1－? ????12n 1－

12

＝4－? ??

??12n －2.

(3) ＝n ·2b n ，

∴ (n ＋1)(n ＋2)＋n(n ＋1)＋2－2n(n ＋2)＋1

＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1

＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)

＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n ) ＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－1) ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋1

4

－1)＞0，

其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n ＋1)(n ＋2)＋n(n ＋1)＋2＞2n(n ＋2)＋1. 7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n ＝(b －1)S n .

(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．

解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1， 两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n .① (1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n

于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n ·2n －1)， 又a 1－1·21－1＝1≠0, ∴ a n －n ·2n －1≠0, ∴ a n ＋1－n ＋1·2n

a n －n ·2n －1＝2，

∴ {a n －n ·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n ·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －1， 当b ≠2时，由①得a n ＋1－

12－b

·2n ＋1＝ba

n

＋2n －

12－b

·2n ＋1＝ba

n －

b 2－b

·2n ＝

b ? ??

??a n －

1

2－b ·2n . 因此a n ＋1－

1

2－b

·2n ＋1＝b

? ??

??a n －12－b ·2n ，又a 1－12－b ×2＝21－b

2－b ，

故a n

＝?

????

2，n ＝1，1

2－b [2n

＋2

1－b b n －1]，n ≥2，n ∈N *.

∴ a n

＝?

????

n ＋12n －1，b ＝2，

1

2－b [2n

＋2

1－b b n －1]，b ≠2.

8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)，且a 4＝81，

(1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2) 求证：数列????

??

a n －12n 为等差数列，并求a n .

解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)， 得a 4＝2a 3＋24－1＝81， ∴ a 3＝33.

同理a 2＝13，a 1＝5.

(2) 由a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)， 得a n －12n ＝2a n －1＋2n －22n ＝a n －1－12n －1＋1，

∴

a n －12n －a n －1－1

2

n －1＝1， ∴ ??????

a n －12n 是等差数列. ∵ ????

??

a n －12n 的公差d ＝1， ∴ a n －12n ＝a 1－12

1＋(n －1)×1＝n ＋1，

∴ a n ＝(n ＋1)×2n ＋1.

9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，且{b n }是以q

为公比的等比数列．

(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；

(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{}是等比数列； (3) 求和：1

a 1＋1

a 2＋1

a 3＋1

a 4＋…＋1

a 2n －1＋1

a 2n .

(解法1)(1) 证明：由b n ＋1

b n

＝q ，有

a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1

＝

a n ＋2a n

＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *) .

(2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n

－2，

∴ ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {}是首项为5，以q 2为公比的等比数列． (3) 解：由(2)得1

a 2n －1＝

1a 1q 2－2n ，

1

a 2n ＝1

a 2q 2－2n ，于是 1

a 1＋1

a 2＋…＋1

a 2n ＝? ????1a 1＋1a 3

＋…＋

1a 2n －1＋? ????

1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1? ?

???1＋1

q 2＋1

q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2? ????

1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2

＝32? ?

???

1＋1

q 2＋1

q 4＋…＋1q 2n －2. 由题知q>0，

当q ＝1时，1

a 1＋1

a 2＋…＋1

a 2n ＝32?

?

???1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n. 当q ≠1时，1

a 1＋1

a 2＋…＋1

a 2n ＝32? ?

?

??

1＋1

q 2＋1

q 4＋…＋1q 2n －2

＝32?

????1－q －2n 1－q －2＝32???

?

??q 2n －1q 2n －2q 2－1. 故1a 1

＋1a 2

＋…＋1a 2n

＝?????

3

2

n ，q ＝1，32????

??

q 2n －1

q

2n －2

q 2－1，q ≠1.

(解法2) (1) 同解法1(1)．

(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2n

a 2n －1＋2a 2n

＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，

∴ {}是首项为5，以q 2为公比的等比数列．

(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，

1a 1＋1a 2＋…＋1

a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝3

2

q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n. ∴

1a 1＋1a 2＋…＋1

a 2k ＝3

2

(1＋q －2＋q －4…＋q －2n ＋2)(下面同上)． 10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 …

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n

b n S n －S 2n

＝1(n ≥2)．

(1) 证明数列????

??

1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4

91

时，求上表中第k(k ≥3)行所有项的和．

(1) 证明：由已知，2b n

b n S n －S 2n

＝1，

又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，n ≥2，b n ＝S n －S n －1， ∴

2b n b n S n －S 2n

＝1即2(S n －S n －1)＝S n (S n －S n －1)－S 2n ，2S n －1－2S n ＝S n S n －1，

又S 1＝1≠0，∴ S n S n －1≠0，∴

1

S n

－

1

S n －1＝1

2

， ∴ 数列????

??1S n 成等差数列，且1S n ＝1＋(n －1)·12，S n ＝2

n ＋1，

∴ b n

＝?????

1，n ＝1，－2

n n ＋1

，n ≥2，n ∈N *.

(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q ＞0. 因为1＋2＋…＋12＝12×13

2

＝78，

所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13

·q 2＝－

4

91.又b 13＝－2

13×14

，所以q ＝2.记表中第k(k ≥3)行所有项的和为S ， 则S ＝b k 1－q k 1－q ＝－2k k ＋1·1－2k

1－2＝

2k

k ＋1

(1－2k )(k ≥3)．

12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x －2，数列{a n }的前n

项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上．

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 设b n ＝3

a n a n ＋1，T n 是数列{

b n }的前n 项和，求使得T n ＜m

20对所有n ∈N *都成立的

最小正整数m.

解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a ≠0) ，则f ′(x)＝2ax ＋b ，由于f ′(x)＝6x －2，得a ＝3 , b ＝－2, 所以f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以S n ＝3n 2－2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n)－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 (n ∈N *)． (2) 由(1)得知b n ＝3

a n a n ＋1

＝

3

6n －5[6n ＋1－5]

＝12?

??

??

1

6n －5－1

6n ＋1， 故T n ＝∑n

i ＝1b i

＝12????

??

? ?

???1－17＋? ????17－113＋…＋?

????16n －5－16n ＋1 ＝12?

????

1－

1

6n ＋1. 因此，要使12(1－16n ＋1)＜m 20(n ∈N *)成立的m ，必须且仅须满足12≤m

20，即m ≥10，所

以满足要求的最小正整数m 为10.

13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.

1 解析：S n ＋S 1＝S n ＋1，a n ＋1＝a 1.

14、设函数f(x)＝x

x ＋2

(x>0)，观察：

f 1(x)＝f(x)＝x

x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x

3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x

7x ＋8，

f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16，… 根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________. x

2n －1x ＋2n

15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．

3．21

16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1

＝?????

a n

2，当a n

为偶数时，3a n

＋1，当a n

为奇数时.

若a 6＝

1，则m 所有可能的取值为________.

4,5,32 解析：显然，a n 为正整数，a 6＝1，故a 5＝2，a 4＝4，若a 3为奇数，则4＝3a 3＋1，a 3＝1，若a 3为偶数，则a 3＝8，若a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4，若a 3＝8，则a 2

＝16，a 1＝5或32.

17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.

(1) 证明：{a n －1}是等比数列；

(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>115 (1) 证明：当n ＝1时，a 1＝－14；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－5a n ＋5a n －1＋1，所以a n －1＝56(a n －1－1)，又a 1－1＝－15≠0，a n －1a n －1－1＝5

6

，

所以数列{a n －1}是等比数列；

(2) 解：由(1)知：a n －1＝－15·? ????56n －1，得a n ＝1－15·? ????

56n －1，从而S n ＝n －90＋90×? ??

??

56n (n ∈N *)； 由S n ＋1>S n ，得? ????56n ＜115，∵ ? ????5615<115，? ????5614>115

，∴ 使s n ＋1>s n 成立的最小正整数n ＝15.

18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．

(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3； (2) 求证：对k ≥3且k ∈N *有0≤a k ＋1≤a k ≤4

3.

(1) 解：由题意?????

S 2

2＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，

得S 22＝－2S 2，

由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2， 由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝S 2

S 2－1＝2

3.

(2) 证明：由题设条件有a n ＋1S n ＝a n ＋1＋S n ， 故S n ≠1，a n ＋1≠1，且a n ＋1＝

S n

S n －1，S n ＝a n ＋1

a n ＋1－1

， 从而对k ≥3有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2

a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋

a k －1a k －1－1

a k －1＋a k －1

a k －1－1－1

，①

因

a 2k －1－a k －1＋1＝

? ??

??a k －1－122＋3

4＞0，且a 2k －1≥0，

要证a k ≤43，由①知只要证a 2k －1

a 2k －1－a k －1＋1≤43

，

即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)，即(a k －1－2)2≥0，此式明显成立，

因此a k ≤4

3

(k ≥3)．

最后证a k ＋1≤a k ，若不然，a k ＋1＝a 2k a 2k －a k ＋1＞a k ，又a k ≥0，故a k

a 2k －a k ＋1＞1，

即(a k －1)2＜0，矛盾，所以a k ＋1≤a k (k ≥3，k ∈N )．

19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n

a n

(n ∈N *)．

(1) 数列{}是否为等比数列？证明你的结论；

(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n

2n ＋1

，求数列{}的

前n 项和．

解：(1) {}是等比数列．(2分)

证明：设{a n }的公比为q 1(q 1>0)，{b n }的公比为q 2(q 2>0)，则 c n ＋1

c n ＝b n ＋1a n ＋1·a n b n ＝b n ＋1b n ·a n a n ＋1＝q 2q 1

≠0，故{}为等比数列．(5分) (2) 数列{lna n }和{lnb n }分别是公差为lnq 1和lnq 2的等差数列．

由条件得

nlna 1＋n n －1

2

lnq 1

nlnb 1＋n n －1

2

lnq 2

＝

n

2n ＋1，即2lna 1＋n －1lnq 12lnb 1＋n －1lnq 2＝n 2n ＋1

. (7分) 即(2lnq 1－lnq 2)n 2＋(4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2)n ＋(2lna 1－lnq 1)＝0.

上式对n ∈N *

恒成立．于是????

?

2lnq 1

－lnq 2

＝0，

4lna 1－lnq 1－2lnb 1

＋lnq 2

＝0，

2lna 1

－lnq 1

＝0.

将a 1＝2代入得q 1＝4，q 2＝16，b 1＝8.(10分) 从而有c n ＝8·16n －1

2·4n －1＝4n . 所以数列||的前n 项和为4＋42＋…＋4n ＝

4

3

(4n －1)．(12分)

20、两个正数a 、b 的等差中项是5

2，一个等比中项是

6，且a ＞b ，则双曲线x 2

a 2－y 2

b

2＝1

的离心率e 等于________．

【答案】

133 解析：由题有?????

a ＋

b ＝5，

ab ＝6

????? a ＝3，b ＝2或?????

a ＝2，

b ＝3

(舍)，e ＝

c a

＝

32＋223＝13

3

. 21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

解： (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．

(2) 数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m ，

∵ a 1≠0，q ≠0, ∴ 2q 2－q －1＝0, ∴ q ＝1或q ＝－12

，

当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.此时逆命题为假．

当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1?????

?1－? ????－12m ＋21＋

12

＝43a 1????

??

1－? ????－12m ＋2， S m ＋S m ＋1＝a 1??????1－? ????－12m 1＋

12

＋2a 1?????

?

1－? ????－12m ＋11＋

12

＝43a 1????

??

1－? ????－12m ＋2， ∴ 2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．