加权Hardy 算子交换子在Herz 型空间中的中心
齐型空间上算子的有界性与唯一延拓性
摘要R，1971年，Coifman和Weiss引进了齐型空间的概念。
一个典型的情形是欧氏空间n另一个典型例子是Heisenberg群，它是一类非交换群，与欧氏空间有着本质的差别。
欧氏空间上交换调和分析得到了长足发展，非交换调和分析则是一个重要的发展方向。
本文研究齐型空间上几类算子的性质，包括积分算子的有界性和微分算子的唯一延拓性。
主要内容由以下四部分组成：第一部分通过发展欧氏空间上经典Morrey空间的一些性质研究齐型空间上加权极大算子，Hardy-Littlewood极大算子，奇异积分算子及其交换子在广义加权Morrey空间中的有界性。
第二部分在齐型空间上考察广义消失Morrey空间，它是广义Morrey空间的一类子空间。
通过发展欧氏空间中经典Morrey空间关于极大函数的估计，建立分数次积分算子的交换子在广义消失Morrey空间中的有界性。
第三部分在齐型空间上引进广义加权Campanato空间，并对其建立一估计式，该结果对Littlewood-Paley算子在Campanato空间有界性的研究起着重要作用。
第四部分研究Heisenberg型群上一类微分算子的唯一延拓性，所得结果包含Heisenberg 群和四元Heisenberg群的相应结论。
关键词：齐型空间；积分算子；有界性；微分算子；唯一延拓性AbstractIn 1971, Coifman and Weiss introduced the definition of homogeneous type spaces. A typical case is the Euclidean space, and the other example is the Heisenberg group, a class of non-Able group which exists substaintial distinguish from the Euclidean space. The commutative harmonic analysis has been studied very well in the Euclidean space, and then the harmonic analysis for non-Able groups naturally becomes extensively attention. The paper is concerned with properties of several class of operators in the homogeneous type space, which includes boundedness of integral operator and unique continuation proerties of a differential operator. The following four parts consist in the mian results of this paper.In the first part, by generalizing classical Morrey spaces in the Euclidean space, Boundedness of the weighted maximal operator,the Hardy-Littlewood maximal operator, the singular integral operator and the commutator of the singular integral operator is showed in the generalized weighted Morrey space, respectively.In the second part, we are interested in the vanishing generalized Morrey space, which is a subspace of the generalized Morrey space in homogeneous type spaces. Moreover, a sufficient condition of boundedness for the commutator of the fractional integral operator is established on the vanishing generalized Morrey space, based on estensions concerning the sharp maximal function and the fractional maximal function on classical Morrey spaces in the Euclidean space.The third part focus on the generalized weighted Campanato space in homogeneous type spaces. An estimate which plays a crucial role in investigating the boundedness of the Littlewood-paley operator in the Campanato space is established.In the last part, we pay attention to unique continuation properties for a class of differential operator in Heisenberg type group. The results obtained involve those in Heisenberg groups and quaternionic Heisenberg groups.Key words：homogeneous type spaces；integral operator；boundedness；differential operator；unique continuation property.第一章绪论1.1 论文的研究意义分析理论中的很多重要问题最终都归结为算子在函数空间上的性质，因此，研究算子在相应函数空间上的性质，一直是泛函分析、偏微分方程和调和分析等领域专家共同关注的热点。
Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性
Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性张建林【摘要】利用Hardy空间上的原子分解和Cauchy不等式证明了向量值极大算子在Hardy空间上的有界性,并推广到向量值极大算子的加权情形.【期刊名称】《玉林师范学院学报》【年(卷),期】2010(031)002【总页数】3页(P16-18)【关键词】加权Hardy空间;向量值Hardy-littlewood极大算子;有界性【作者】张建林【作者单位】中原工学院,数学系,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】O175Abstract:The boundedness of vector-valued maximal operators is obtained on Hardy space. This result is generalized the weighted vector-valued maximal operators, by using atom decomposition and Cauchy inequality. Key words: Weighted Hardy space; Vector-valued Hardy-littlewood maximal operators; boundedness设函数f(x)为Rn上局部可积的，即f(x)∈Lloc(Rn)，x∈Rn，令Q是Rn中含x 的任意球体或方体，称为f(x)的定义在Rn上的Hardy-Littlewood极大函数，简记为H-L极大函数，称M为H-L极大算子. 关于该算子在Lebesgue空间以及Hardy空间的性质可以参看文献[1]. 但是关于H-L极大算子在Hardy空间（0〈P≤1）时的性质的研究还不够深入，本文利用Hardy空间中的原子分解证明了向量值H-L极大算子的Hp-Lp 有界性，并把它推广到加权情形. 关于向量值空间Lp(lr)的定义可以参阅文献[2]，[5].在本文中，Hp(Rn)表示Rn上的Hardy空间，‖‖p,ω为该空间的范数，ω(x)为加权函数. C为常数，但各处不尽相同.我们知道，如果1〈p〈∞，f∈Hp，则有Hp=Lp，我们得到为了得到我们的结果，我们需要如下引理[3].引理1 设φt为Rn中中心在原点，半径为t的球面上的正规面测度，φt为φ的一个伸缩函数，即据有关知识[2]得知：引理2 当|x|≥2|y|>0时，不等式和成立.利用上述引理，我们可以得到定理1 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，那么序列Mf={Mf1,Mf2, Mf3, ..., Mfn, ...}∈Lp，并且在加权hardy空间上，向量值极大算子的有界性也可类似得到.定理2 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，ω(x)为权函数，则定理1的证明首先假设0〈p≤1，由于 f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp(lr)，我们只要证明任意一个fj( j≥1)在Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们使用原子分解，得到那么，对任意一个那么所以只需要对证明不等式：设p-原子a的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性[4]知，可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，我们利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理1得证.定理2的证明假设0〈p≤1，由于f ={f1, f2, ..., fn, ...}∈Hp(lr)，所以，对于非负权函数为ω(x)，我们只要取任意一个fi，证明极大算子在加权Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们同样使用原子分解的方法，只需对任意一个而那么所以此时只需要对证明不等式：成立即可，其中ω∈Ap.设p-原子aj的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性知，我们可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理2得证.【相关文献】[1] Stein E M. Harmonic analysis[M]. Princeton: Princeton University Press, 1993.[2] 周民强. 调和分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社, 1999.[3] 韩永生. 近代调和分析方法及其应用[M]. 北京：科学出版社，1999.[4] Muckenhoupt. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 165:207～226[5] 党健，张建林. 虚数阶Laplace算子的向量值估计[J]. 洛阳大学学报，2006，2:26-28.。
齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性
齐次Morrey-Herz空间上交换子的有界性陶双平;武江龙;孙小春【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2009(029)001【摘要】In this paper, we study the boundedness of higher order commutators.By using the truncated operator methods and the techniques of function compositions, we not only obtain the boundedness results for higher order commutators generated by the sublinear operators and BMO functions on homogeneous Morrey-Herz spaces, but also get the boundedness for higher order commutators type of convolution operators.%本文研究了高阶交换子的有界性, 利用截断算子方法和函数分解技术, 在齐次Morrey-Herz空间上, 得到了由次线性算子与BMO函数生成的高阶交换子的有界性以及卷积类算子高阶交换子的有界性.【总页数】6页(P21-26)【作者】陶双平;武江龙;孙小春【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070;牡丹江师范学院数学系,黑龙江牡丹江,157012;西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O174.2【相关文献】1.一类分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军2.N维分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 刘军3.交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 杨明华;张学铭;刘冬华4.齐次Morrey-Herz空间上多线性交换子的有界性 [J], 王立伟;束立生5.带粗糙核的参数型Marcinkiwicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性 [J], 张爱翠;陈金阳;王松柏;江秉华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
θ型Calderón-Zygmund算子交换子的CBMO估计
θ型Calderón-Zygmund算子交换子的CBMO估计
程培松
【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(026)002
【摘要】讨论了满足一定条件的θ型Calderón-Zygmund奇异积分与CBMO函数生成的交换子在日HAbp空间及Herz型Hardy空间上的有界性.
【总页数】6页(P164-169)
【作者】程培松
【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.一类多线性Calderón-Zygmund算子交换子的估计 [J], 王光庆;周疆
2.Calderón-Zygmund型算子及其交换子的sharp极大函数估计 [J], 林燕
3.强奇异Calderón-Zygmund算子的交换子的双权BMO估计 [J], 李倩丽;毛素珍;陈冬香
4.多线性强奇异Calderón-Zygmund算子的多线性迭代交换子的Sharp极大和加权估计 [J], 林燕; 韩妍妍
5.带Dini核的多线性Calderón-Zygmund算子及其交换子的一些估计 [J], 赵毅春;周疆
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分数次多线性交换子在齐型Herz-Morrey空间中的有界性
设 ｄ是拓 扑空 间 上 的拟度 量 ， 即定 义在 Ｘ 上 的实值 函数 ， 对任 意 ，， 满足 且 ）ｚ∈ ，
ｄ ，）≤ Ｋ ｄ ， （ Ｙ ［（ ｚ ）＋ｄ ｚＹ ］ （ ，） ． 式中， 是与 ，，无关的正常数． ｙｚ 明显的当 Ｋ≤ １ ， ，） 时 （ ｄ 是度量空间． 对任意的 ∈Ｘ， ＞０ 我们记 ｒ ， 以 为中心 ，为半径的球体 Ｂ ｘ ｒ ｒ （ ，）＝ ｛ ：（ ，）＜ｒ． Ｙ∈ ｄ ｘ Ｙ ｝ 若正则 Ｂ ｒ 测度 满足下述双倍条件， ｏｌ ｅ 即 对 任意 ａ ＞０有 ， ０≤肛 Ｂ ，ｔ ） Ａ （ （ ，） （ （ ａ） ≤ ｇ Ｂ ｒ ）＜∞ ， 式 中， 是与 、无关的正常数 ， Ａ ｒ 则称（ ｄ／ 为齐型空间． ， ，） ． ｔ 在本文 中我们假设对任意 ∈ ， 有 （ ）＝ ， ０ ｇ ｘ）＝∞， （ 以及 Ｐ ｎ ａ 在文 ［ ］中引入的“ ｏ ｄ ｉ ． １ Ｃ ｎ ｉｏ Ｉ ｔｎ ” Ｃｏ ｄｔ ｎＩ 对球 体 Ｂ（ ｒ ， 设 ｔ １ 则 存在 常数 ａ≥ ２Ａ ｎ ｉｏ ｉ ，）假 ≥ ， ，０＞ １ 满足 肛（ （ ，ｔ ）≥ Ａ Ｂ ，） ． Ｂ ｘ ａ） ０（ （ ｒ ） 事 实上 ， Ａ与 ｔ 有关 且 （）＝Ａ ｌ ，见文 ［ ］ ｔ ¨ｏ ｇ ２． 设 ｂ∈Ｂ ＭＯ（ ， 是 具有标 准核 的 Ｃａ ｅ６ —ｙｍｕ ｄ Ｘ） Ｔ ｌｄｒｎＺｇ ｎ 奇异积 分算 子 ， 由它们 生成 的交换 子 ［ ， ］定 ｂＴ
Ｇｅ Ｒｅ ｆ ’ ×ｕ Ｇｕ ｈ ａ ｎｕ ｏ ｕ２
．
（ ． ｅａｔｅ ｔ ｆ ｔｅ ａｉ ｌ ｉ ｙ ｎａｇＴ ａｈｒ Ｃ ｌ ｇ ， ｉ ｙｎ ａｇ２２ ０ ，Ｃ ｉａ １ Ｄ ｐｒ ｎ ｈｍ ｔａ，Ｌａ ｕｇｎ ｅｃｅｓ ｏ ｅｅ Ｌａ ｕ ｇｎ ２０ ６ ｈｎ） ｍ ｏ Ｍａ ｃ ｎ ｌ ｎ （ ． ｃｏｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｌ ｃｅｃｓ ａｊ ｇＮ ｒ ｌ ｎｖｒ ｔ， ａｊ ｇ２ ０４ Ｃ ｉａ ２ Ｓｈｏ ｏ ｈｍ ｔａ ｉ ｅ，Ｎ ｎｉ ｏｍａ Ｕ ｉｅ ｉ Ｎ ｎｉ １０６， ｈｎ ） Ｍａ ｃ Ｓ ｎ ｎ ｓｙ ｎ
局部紧Vilenkin群上Herz空间中的交换子
局部紧Vilenkin群上Herz空间中的交换子
蓝森华
【期刊名称】《数学进展》
【年(卷),期】2006(35)5
【摘要】In this paper, the author establishes some boundedness theorems for commutators on Herz spaces over locally compact Vilenkin groups.%本文建立了局部紧Vilenkin群上Herz空间中一些交换子的有界性定理.
【总页数】12页(P539-550)
【作者】蓝森华
【作者单位】丽水学院数学系,丽水,浙江,323000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.局部紧的Vilenkin群上的加权Herz型空间中的乘子 [J], 朱月萍
2.局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次线性算子的有界性 [J], 郑绿洲;熊革;郑荣臻
3.局部紧Vilenkin群上加权Herz空间中的向量值极大函数不等式 [J], 张马彪;蓝森华
4.次线性算子在局部紧Vilenkin群上Herz型空间中的有界性 [J], 蓝森华;陆善镇
5.局部紧Vilenkin群上Herz空间中的Hlder不等式及其应用 [J], 蓝森华
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多线性分数次积分在Herz型Hardy空间上的有界性
在弱 Ｈａｄ 空 间上 的有 界性 。 中齐次 Ｌｐｃ ｉ 空 ｒｙ 其 ｉｓｈｔ ｚ
ｏ ＿
＜ ∞｝
） △＿ ＝ （ ． 斗ｈ 一 ０ ） ） △弋 ， ≥１ ．
这里 ，
△
） ＝
＋ 一 ， ） ／ ）△ （
在文 献 中， 家诚 证 明的方 法是 直 接利 用多线 性 分数 次 积分 ％，， 所对 应 的分 数次积 分 肌 控 制 兰 被 的 方法来 估计 ， 进一 步 还可 以通过 ，， 。 的有界 性直 接推 出 ｊ 的有 界性 ， 可推广 到 含有多 个余 项 的 Ｉ ． ， 并
其 中
Ｉｌ， ＝ Ｉ Ｂｌ（ ＋ Ｉ ｋ０ ）ｌ ｌ 琦 ｛ｆ 。０ ｆ ｃ ｌ １ ∑２ ｌ ／ ｘ ｆ ｆｃ ｐ ｘ ｌ
定义 １ 非齐 次 Ｈ ｒ 型 Ｈａｄ 间 日 ， ） 。 ５ ｅｚ ｒｙ空 （ 定义 为
日蚜 Ｒ ） ∈Ｓ （ “： ∈蚜 Ｒ ） （ “ ：｛ Ｒ ） Ｇ（ （ “｝
２ ０ 年 ０８
定 义 １ 设 ０ ｐ ∞，＜ ＜ ｎ １ ／ ） ＜ Ｇ 是 的 Ｇａｄ极 大 函数 ， 。 ３ ＜ ＜ １ ｇ ∞， （ —１ ｑ ｓ ∞， （ ｒｎ 齐次 Ｈ ｒ型 Ｈａｄ 空 ｅｚ ｒｙ 间 日脚 ， Ｒ） 义为 “定 （
蚜 Ｒ ） 厂 Ｒ ） Ｇ ∈留 ） （ ＝｛ ∈Ｓ （ ： （ （ ）
其 中 ｓ是缓增 函数空 间。 一步定 义 进
Ｉ 一 ） 】 ∽ Ｉ （） Ｊ 川 ｃ ＝ｌ Ｇ Ｉ ． ２０ ０ ６年， 兰家诚 ¨证 明了 Ｄ ∈Ａ （ ＜ ＜ ） Ｍ ￣０ ｆ Nhomakorabea１ 时 ｌ
间 定 义为
Ａ ＝Ｉ：Ｉ ｌ ＝ ｓ ’ ｆ ｌ ｕ ｆｌ ｐ
各向异性hardy空间上一类奇异积分算子
各向异性hardy空间上一类奇异积分算子
各向异性Hardy空间上一类奇异积分算子是指在各向异性Hardy
空间H^p中定义的积分算子特定类型上。
在这些空间中，一般情况下，积分算子可以表示为：
T_p(f) = ∫_{-1}^{1} f(x)M(x)dx
其中，M(x)是一个特定类型的函数，包括常数、正弦等函数；f(x)是
被积分函数。
各向异性Hardy空间H^p上一类奇异积分算子的性质，可以用来
描述一般各向异性函数的特性，从而开展对函数的分析。
它们的性质
主要有三类：
1、平衡性：积分算子Tp(f)应该满足Tp(f+c)=Tp(f)+c，其中c
为任意常数，因此积分算子具有平衡性；
2、非线性性：积分算子Tp(f)应该满足
Tp(f·g)≠Tp(f)·Tp(g)，因此积分算子具有非线性性；
3、半齐次性：积分算子Tp(f)应该满足Tp(f/x)=Tp(f)/x，其中
x为任意非零常数，因此积分算子具有半齐次性。
各向异性Hardy空间H^p上一类奇异积分算子，可以使用分析方
法进行有效分析和研究，从而计算出各向异性函数的性质和分析，进
而得出理想的结论。
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加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计
龚淑丽 1，侯宪明 2,3，傅尊伟 2
湖南大学数学与计量经济学院，长沙 2 临沂大学数学系，临沂 3 山东师范大学数学科学学院，济南 Email: gongshuli123@, houxianming37@, zwfu@ 收稿日期：2013 年 2 月 25 日；修回日期：2013 年 3 月 12 日；录用日期：2013 年 3 月 21 日
0 t dt ，
1
反之亦然。 除了讨论算子 U 的有界性以外，学者们近年来还对 U 的交换子的有界性进行了研究。在文[6]中，傅等人
b 的如下定义： 给出了 U 的交换子 U b U f : bU f U bf ，
(1.2)
1 p 上是有界的。然而当 b BMO 时，条件(1.1)就不能保证 U 在 L 上的有界性。 建立了 U 在 L 上有界时权函数 满 文[6]通过利用 Hardy-Littlewood 极大算子代替 Sharp 极大算子的方法， 足的充分必要条件。此后，文[7]将这一结论推广到了 b CMO 且底空间位中心 Morrey 空间的情形，这里 O 为中心 BMO 空间，其定义最初由 Lu 和 Yang 在文[8]中给出： CM 定义 1.1 对于 1 q ，及 L 中的函数 f ，如果 f 满足
q
, p n : f Lq n \ 0 : f K q Loc
, p n K q
，
其中
f
,p
Kq
n
2 k p f k k
p
q
L
n
1 p
。
,p n 定义为 2) 非齐次 Herz 空间 K q
B0,r f x f B 0,r
q
dx
1q
，
q n ，其中 则称 f 属于中心 BMO 空间 CMO
f B 0, r 1 B 0, r
B0,r f y dy 。
Copyright © 2013 Hanspub
1
摘 要： 给出了一个关于权函数满足的充分条件， 该条件使得加权 Hardy 算子与中心 BMO 函数生成的 交换子在 Herz 型空间中有界。进一步地，将所得结论推广到了 k 阶的情形。 关键词：加权 Hardy 算子；交换子；中心 BMO 空间；Herz 型空间
1. 引言
。其中 : 0,1 0, 为权函数。显然， 如果 1, n 1 ，且 f 定义在 上， 1 x 则 U 将退化为经典的 Hardy 算子 U ： U f x 0 f t dt 。在文献[1]中，Carton-Lebrun 和 Mosset 还证明了 x
p,q
, MK p,q
: f L \ 0 :
n q Loc n
f
, n MK p ,q
，
其中
f
, p n MK q
2 : sup k0
k0
1
Abstract: In this paper, we present sufficient conditions on weighted function which ensures the boundedness of commutators generated by weighted Hardy operators and central BMO functions on Herz spaces and Morrey-Herz spaces, respectively. Moreover, the corresponding results are extended to the case of k-th order. Keywords: Weighted Hardy Operator; Commutator; Central BMO Space; Herz Type Space
170
龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计
b q n 时， 在以上结果的启发下， 本文研究当 b CMO 加权 Hardy 算子的交换子 U 在 Herz 空间以及 Morrey-
Herz 空间中的有界性，并进一步将所得结论推广到 k 阶的情形。作为必要的铺垫。在引出主要结果之前先来回
Shuli Gong1, Xianming Hou2,3, Zunwei Fu2
College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 2 Department of Mathematics, Linyi University, Linyi 3 School of Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Email: gongshuli123@, houxianming37@, zwfu@ Received: Feb. 25th, 2013; revised: Mar. 12th, 2013; accepted: Mar. 21st, 2013 Copyright © 2013 Shuli Gong et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
U 在 L
b p n n
其中 f 为 n 上的局部可积函数， : 0,1 0, 为权函数。显然，当 b L n 且 满足条件(1.1)时，交换子
b p n
b
p
n
q
n
q
n
q Loc
n
f
q CMO
1 sup R 0 B 0, r
1
n
U f x f tx t dt ，x
0
对于 n 上复值可测的函数 f ，Carton-Lebrun 和 Mosset[1]在 1984 年给出了加权 Hardy 算子 U 的定义：
加权 Hardy 算子 U 在 Lp n
1 p 上的有界性。在一定意义下，得到了当 n 1 时， U
在文[4]中，肖推广了 Carton-Lebrun 和 Mosset 的结论，指出加权 Hardy 算子 U 在 Lp n
1 p 上有
(1.1)
0 t
且 U
Lp n L p n
1 n p
t dt ，
t 0
1 n p
Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 169-175 doi:10.12677/pm.2013.33025 Published Online May 2013 (/journal/pm.html)
Central BMO Estimates for Commutators of Weighted Hardy Operators on Herz Type Spaces
Copyright © 2013 Hanspub 169
龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计
1 且 n 1 时， V 将退化为如下经典的 Cesàro 算子(也称为伴随 Hardy 算子) V ：
f y x0 dy, x y V f x 。 x f y dy, x 0 y
K q
p, p
0, p n K 0, p n Lp n ，且 注记 1.1 由上述定义易于得到，对所有的 1 p 及 均有 K q q
n Kq
p, p
n Lp x dx 。
下面，再来介绍一下 Morrey-Herz 空间的定义。 定义 1.3[10] 设 ， 1 p ， 1 q ，且 0 。 , n 定义为 1) 齐次 Morrey-Herz 空间 MK
,p n Kq n : f Lq : f Loc
, p n Kq
，
其中
f
,p n Kq
2 k p f k k 0
Lq n
p
1 p
。
当 p 或 q 时，定义作适当修改。
t dt 。进一步，鉴于 Lp n 的对偶空间为 Lq n ，1 p ，1 p 1 q 1 ，文[4]
还得到了以下结论：
U
Lp n L p n
V
Lq n Lq n
1
。
1
此外，文[4]还指出加权 Hardy-Littlewood 平均算子 U 在 BMO n 上有界当且仅当 0 t dt ，且
容易验证当 f Lp n ， g Lq n ， 1 p ， 1 p 1 q 1 时， U 和 V 满足