2017_2018学年高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案含解析
高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系课件新人教A版必修2
解得
= 2,
解圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 A(1,0),半径为 r1=1,圆 x2+y2-8x-8y+m=0
的圆心为 B(4,4),半径为 r2= 32-.因为两圆相外切,
所以 (4-1)2 + (4-0)2 =1+ 32-,解得 m=16.
2 + 2 + 2-6 + 1 = 0,
核心素养培养目标
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
2.会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆
与圆位置关系的判断.
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问
题.
核心素养形成脉络
3.已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 + 12 -4F1>0)和
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22 + 22 -4F2>0),如何通过代数的方法判
断两圆的位置关系?
圆 O1:(x-x1)2+(y-y1)2=12 (r1>0),圆 O2:(x-x2)2+(y-y2)2=22 (r2>0),
两圆的圆心距 d=|O1O2|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 ,
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
|r1-r2|<
d<r1+r2
d=|r1-r2|
两圆的公共点
两圆的位置关系
5
2组
2个
相交
1组
1个
外切或内切
0组
0个
外离或内含
∴|C1C2|= (-2)2 + (1-1)2 =a.
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切 或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题 例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长
高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
综上所述：所求圆的方 程为（x 1）2 （y 1）2 2 或（x 1）2 （y 1）2 2 .
12/13
课后作业
1. 教材第133页 习题4.2 A组 8 ~ 11 B组 3、4、5
2. 《启迪》 4.2.2
13/13
解：
由
2x
x2
y40 y2 2x 4y 1
0
得
x 3
y
2
或
x
11 5
y
2 5
交点 A(3，2)，B( 11，2) , 55
y
AB中点C (
13，6 55
)
即为所求圆的圆心,
| AC |
25 5
即为所求圆半径
,
故所求圆方程 : ( x 13)2 ( y 6)2 4 .
5
4.2.2 圆与圆位置关系
1/13
圆与圆位置关系 :
C1•
•C2
2/13
圆与圆位置关系 : 1、圆和圆相离 2、圆和圆外切 3、圆和圆相交 4、圆和圆内切 5、圆和圆内含
(d为圆心间距离)
C1•
•C2
C1•
•C2
C1•
•C2
C C1• • 2
C C1• • 2
d r1 r2 d r1 r2
综上所述：所求圆的方 程为（x 1）2 （y 1）2 2
或（x 1）2 （y 1）2 2 .
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解2：设圆方程为：( x a)2 ( y b)2 r 2
y
令 x 0，则 y2 2by b2 a2 r 2 0，
. 由（1）有| y1 y2 | 2 即
r
( y1 y2 )2 4 y1 y2 2
y
5
高中数学：4.2.2圆与圆的位置关系PPT教学课件
连心线 (1长 2)2( 为 42)235
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系 》【新 人教A 版必修2 】PPT 名师课 件
|r1r2|510|r1r2|510
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x22x30
(4)
则 ( 2 )2 4 1 ( 3 ) 1 6 0
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2， 把x1,x2分别代入方程(3)，得到y1,y2.
因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2).
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(1) (2)
(1)-(2)，得
x2y10
(3)
由 (3)得y1x 代(1 入 )整 , 理得 2
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置Байду номын сангаас系 》【新 人教A 版必修2 】PPT 名师课 件
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例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系 》【新 人教A 版必修2 】PPT 名师课 件
高中数学：4.2.2《圆与圆 的位置关系》课件2（新人
教A版必修2）
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系 》【新 人教A 版必修2 】PPT 名师课 件
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高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系讲义含解析新人教A必修2
第 1 课时直线与圆的地点关系[ 中心必知 ]1．预习教材，问题导入依据以下纲要，预习教材P126～P128，回答以下问题．(1) 如何用几何法判断直线与圆的地点关系？提示：利用圆心到直线的距离 d 与圆半径的大小关系判断它们之间的地点关系，若 d>r ，直线与圆相离；若 d＝ r ，直线与圆相切；若 d<r ，直线与圆订交．(2) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的地点关系？提示：①假如直线l 和圆C的方程分别为：＋＋＝0，(x－ )2＋(y－) 2＝r2. 能够Ax By C a b用圆心 C( a，b)到直线的距离 d＝|Aa ＋ Bb＋ C|与圆 C的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的A2＋ B2地点关系；②把直线与圆的交点个数问题转变为直线与圆的对应方程构成的方程组Ax＋ By＋C＝ 0，的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组x2＋ y2＋Dx＋ Ey＋F＝ 0有一组解时，直线与圆相切；方程组有两组解时，直线与圆订交．(3)过平面一点 P 可作几条圆的切线？提示：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只好作一条圆的切线；当点P 在圆外时，可作两条圆的切线．2．概括总结，中心必记直线 Ax＋ By＋ C＝0与圆( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r 2的地点关系及判断地点关系订交相切相离公共点个数两个一个零个几何法：设圆心到直线的距离d＝ |Aa ＋ Bb＋ C| d＜ r d＝ r d＞ rA2＋B2判定代数法：由方法错误!＞0＝0＜0 消元获得一元二次方程的鉴别式[ 问题思虑 ]用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的地点关系各有什么特色？提示：“几何法”与“代数法”判断直线与圆的地点关系，是从不一样的方面，不一样的思路来判断的．“几何法”更多地重视于“形”，更多地联合了图形的几何性质；_“代数法”则重视于“数”，它偏向于“坐标”与“方程”．[ 课前反省 ]经过以上预习，一定掌握的几个知识点．(1)直线与圆有哪些地点关系？如何判断？；(2)如何解决直线与圆相切及弦长问题？.“大漠孤烟直，长河夕阳圆”是唐代诗人王维的诗句，它描绘了傍晚日落时分塞外独有的情景．假如我们把太阳当作一个圆，地平线当作一条直线，察看下边三幅太阳落山的图片．[ 思虑 1]图片中，地平线与太阳的地点关系如何？提示： (1) 相离； (2) 相切； (3) 订交．[ 思虑2]联合初中平面几何中学过的直线与圆的地点关系，直线与圆有几种地点关系？提示： 3 种，分别是订交、相切、相离．[ 思虑 3]如何判断直线与圆的地点关系？提示：可利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系．讲一讲1．已知直线方程mx－ y－ m－1＝0，圆的方程 x2＋ y2－4x－2y＋1＝0.当 m为什么值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[ 试试解答 ]法一：将直线mx－ y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，222 2(1 ＋m) x－2( m＋ 2m＋ 2) x＋m＋4m＋ 4＝ 0.则＝ 4m(3 m＋4) ．4当>0，即m>0 或m<－3时，直线与圆订交，即直线与圆有两个公共点；4当＝ 0，即m＝ 0 或m＝－3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4当 <0，即－ <m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．3法二：已知圆的方程可化为( x－ 2) 2＋( y－ 1) 2＝ 4，即圆心为 C(2,1) ，半径 r ＝2.圆心 C(2,1)到直线 mx－ y－ m－1＝0的距离＝ |2m－ 1－ m－1| ＝ |m－ 2| .d1＋ m21＋ m24当 d<2，即 m>0或 m<－时，直线与圆订交，即直线与圆有两个公共点；34当 d＝2，即 m＝0或 m＝－3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4当 d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．3判断直线与圆地点关系的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断．(2)代数法：依据直线与圆的方程构成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可经过判断点与圆的地点关系判断，但有必定的限制性，一定是过定点的直线系．练一练1．已知圆 C: x 2＋y 2－ 4x ＝ 0，l 是过点 P (3,0) 的直线，则 ( )A ． l 与 C 订交B ． l 与C 相切C ． l 与 C 相离D．以上三个选项均有可能分析：选 A 将点 P (3,0) 的坐标代入圆的方程，得32＋ 02－4× 3＝ 9－ 12＝－ 3<0，∴点P (3,0) 在圆内．∴过点 P 的直线 l 必与圆 C 订交 .讲一讲2．过点 A (4 ，－ 3) 作圆 C ： ( x － 3) 2＋( y － 1) 2＝ 1 的切线，求此切线的方程． [ 思路点拨 ] 用待定系数法求解，但千万不要忽略斜率不存在的状况．[ 试试解答 ]∵(4 － 3) 2＋( － 3－ 1) 2＝ 17>1，∴点 A 在圆外．(1) 若所求直线的斜率存在， 设切线斜率为 k ，则切线方程为 y ＋3＝ k ( x －4) ．由于圆心C (3,1) 到切线的距离等于半径1，|3k － 1－ 3－ 4k|15所以k2＋ 1＝ 1，解得 k ＝－ 8 .所以切线方程为 y ＋ 3＝－ 15x －4)，(8即 15x ＋ 8y － 36＝ 0.(2) 若切线斜率不存在，圆心(3,1) 到直线 x ＝ 4 的距离也为 1，这时直线与圆也相切，C所以另一条切线方程是x ＝ 4，综上，所求切线方程为15x ＋ 8y －36＝ 0 或 x ＝ 4.圆的切线的求法(1) 点在圆上时求过圆上一点 ( x 0，y 0) 的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系1 得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．假如斜率为零或不存在，则由图形可直接得k切线方程 x ＝ x 0 或 y ＝ y 0.(2) 点在圆外时①几何法：设切线方程为y － y 0＝ k ( x － x 0) ．由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y － y 0＝ k ( x － x 0) ，与圆的方程联立，消去 y 后获得对于 x 的一元二次方程，由＝ 0 求出 k ，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的状况，不要漏解．练一练2．求过点 (1 ，－ 7) 且与圆 x 2＋ y 2＝ 25 相切的直线方程．解：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 ，则切线方程为 y ＋7＝ ( x －1)，即kxk k －y － k － 7＝ 0.| － k －7|∴＝ 5.k2＋ 14 3 解得 k ＝ 或 k ＝－ .3443∴所求切线方程为y ＋ 7＝3( x － 1) 或 y ＋ 7＝－ 4·(x － 1) ，即 4x － 3y － 25＝ 0 或 3x ＋4y ＋ 25＝0.讲一讲3．直线l经过点P(5,5) 而且与圆C: x2＋y2＝ 25 订交截得的弦长为45，求l的方程．( 链接教材 P127—例 2)[ 思路点拨 ]设出点斜式方程，利用r 、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．[ 试试解答 ]据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y－5＝k( x－5)，与圆 C 订交于 A( x1，y1)， B( x2，y2)，y－5＝－，法一：联立方程组x2＋ y2＝ 25.消去 y，得( k2＋1) x2＋10k(1－k) x＋25k( k－2)＝0.由＝ [10 k(1 －k)] 2－ 4( k2＋1) ·25 k( k－ 2)>0 ，－解得 k>0.又 x1＋ x2＝－，k2＋ 1－x1x2＝，k2＋ 1由斜率公式，得y － y ＝ k( x － x )．1 2 1 2∴ | | ＝－＋－AB＝＋－＝＋＋－ 4x1x2]＝＋－－4·25k －＝4 5.＋k2 ＋ 121两边平方，整理得2k－ 5k＋ 2＝ 0，解得k＝或k＝ 2 切合题意．故直线 l 的方程为 x－2y＋ 5＝ 0 或 2x－y－ 5＝ 0.法二：如下图， | | 是圆心到直线l 的距离， | | 是圆的半径， | |是弦长| | 的一OH OA AH AB 半．在 Rt△中， | | ＝5，| | ＝1| | ＝1×4 5＝2 5，AHO OA AH 2 AB 2则 | OH|＝ |OA|2 － |AH|2 ＝ 5.－ 1∴＝5，解得k＝或k＝ 2.k2＋ 1 2∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0或2x－ y－5＝0.求直线与圆订交的弦长的两种方法(1) 几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r ，弦122 2长为 | AB| ，则有2|AB| ＋d＝r，即|AB|＝2 r2－d2.(2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A( x1， y1)， B( x2， y2)，则| AB|＝－＋－1＝1＋ k2| x1－x2| ＝1＋k2| y1－y2|( 直线l的斜率k存在 ) ．练一练3．求直线l ：3x＋ y－6＝0被圆 C: x 2＋ y2－2y－4＝0截得的弦长．解：法一：由直线l 与圆 C的方程，3x＋ y－ 6＝0，2－ 3x＋ 2＝ 0.得消去 y，得 xx2＋ y2－ 2y－4＝ 0，设两交点 A， B的坐标分别为A( x1， y1)， B( x2， y2)，由根与系数的关系有x1＋ x2＝3， x1· x2＝2，|AB|＝－＋－＝－＋[－3x1＋6－－3x2＋＝＋－＝＋－4x1x2]＝－＝10.∴弦 AB的长为10.法二：圆 C: x 2＋ y2－2y－4＝0可化为 x2＋( y－1)2＝5.其圆心坐标为(0,1) ，半径r ＝5，点(0,1) 到直线l 的距离为 d ＝|3 ×0＋ 1－ 6| ＝C C32＋ 12102，所以半弦长|AB|＝r2 － d2＝5－10 2＝10 . 所以弦长 | |＝ 10.2 2 2 AB————————————[ 讲堂概括·感悟提高] ————————————1．本节课的要点是理解直线和圆的三种地点关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的地点关系，能解决直线与圆地点关系的综合问题．难点是解决直线与圆的地点关系．2．本节课要要点掌握的规律方法(1) 直线与圆地点关系的判断方法，见讲 1.(2) 求圆的切线的方法，见讲 2.(3) 求直线与圆订交时弦长的方法，见讲 3.3．本节课的易错点是在解决直线与圆地点关系问题时易遗漏斜率不存在的状况，如讲2、讲 3.课下能力提高 ( 二十四 )[ 学业水平达标练 ]题组 1 直线与圆的地点关系1．直线3x＋ 4y＋ 12＝ 0 与圆 ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 9 的地点关系是 ( )A．过圆心 B ．相切C．相离 D ．订交但可是圆心分析：选 D|3 ×1＋－＋12| 圆心 (1 ，－ 1) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离d＝＝32＋ 42115， 0<d<r，所以订交但可是圆心．2． (2016 ·洛阳高一检测) 直线l: y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是() A．相离B．相切或订交C．订交D ．相切分析：选 Cl 过定点 (1,1) ，∵ 12＋ 12－2× 1＝ 0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A A且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆必定订交，应选 C.3．务实数m的取值范围，使直线x－ my＋3＝0与圆 x2＋ y2－6x＋5＝0分别知足：(1)订交； (2) 相切； (3) 相离．解：圆的方程化为标准式为 ( x－ 3) 2＋y2＝ 4，故圆心 (3,0) 到直线x－my＋ 3＝ 0 的距离d＝6，m2＋ 1圆的半径 r ＝2.(1) 若订交，则d<r，即6<2，m2＋ 1所以 m∈(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞ ) ．6＝ 2，(2) 若相切，则d＝r，即m2＋ 1所以 m＝±2 2.(3) 若相离，则> ，即 6 >2，d r m2＋ 1所以 m∈(－2 2，2 2) ．题组 2圆的切线问题4．若直线y＝ x＋ a 与圆 x2＋ y2＝1相切，则 a 的值为() A. 2 B ．± 2C． 1 D ．±1分析：选 B 由题意得|a|＝ 1，所以a＝± 2，应选 B. 25．圆心为 (3,0) 且与直线x＋2y＝ 0 相切的圆的方程为 ()A． ( x－3) 2＋y2＝1 B ． ( x－ 3) 2＋y2＝3 C． ( x－3) 2＋y2＝3 D ． ( x－ 3) 2＋y2＝9分析：选 B 由题意知所求圆的半径|3 ＋ 2×0| 2 r ＝＝ 3，故所求圆的方程为( x－ 3) 1＋ 2＋y2＝3，应选 B.6．(2015 ·重庆高考 ) 若点 (1,2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线P方程为 ________．分析：设切线斜率为 k，则由已知得：k· k ＝－ 1.OP1∴ k＝－2.∴切线方程为 x＋2y－5＝0.答案： x＋2y－5＝07．已知圆C：( x－ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 2，过点P(2 ，－ 1) 作圆C的切线，切点为A，B.求直线，的方程．PA PB解：切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝ k( x－2)，即 kx－ y－2k－1＝0.| － k－ 3|圆心到直线的距离等于2，即＝2，k2＋ 1∴ k2－6k－7＝0，解得 k＝7或 k＝－1，故所求的切线方程为y＋1＝7( x－2)或 y＋1＝－( x－2)，即 7x－y－ 15＝0 或x＋y－ 1＝ 0.题组 3圆的弦长问题8．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1 的两个交点，则| AB| ＝ ()A．1 B. 2 C. 3 D．2分析：选 D直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝ 2.9．过点 ( －1，－ 2) 的直线l被圆x2＋y2－ 2x－ 2y＋ 1＝ 0 截得的弦长为 2 ，求直线l的方程．解：由题意，直线与圆要订交，斜率一定存在，设为k.设直线 l 的方程为 y＋2＝k( x＋1)．又圆的方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1，圆心为 (1,1) ，半径为 1，所以圆心到直线的距离 d|2k － 1－ 2|＝12－22＝ 2 17＝. 解得k＝ 1 或 .1＋ k2 2 2 717所以直线 l 的方程为 y＋2＝ x＋1或 y＋2＝7( x＋1)，即 x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.[ 能力提高综合练]1．已知a，b∈ R，a2＋b2≠ 0，则直线l: ax＋by＝0与圆x2＋y2＋ax＋by＝0的地点关系是()A．订交B．相切 C ．相离 D ．不可以确立x2＋y2＋ ax＋by＝ 0，分析：选 B联立ax＋by＝ 0，化简得 x2＋ y2＝0，则x＝ 0，y＝ 0.即直线 l 与圆只有一个公共点(0,0) ，所以它们相切，应选 B.2． (2015 ·安徽高考 ) 直线 3x＋ 4y＝b与圆x2＋y2－ 2x－ 2y＋1＝ 0 相切，则 b 的值是()A．－2 或 12 B．2或－12C．－2 或－ 12 D ．2 或 12|3 ＋4－ b| 分析：选 D由于直线3x＋ 4y＝b与圆心为 (1,1) ，半径为 1 的圆相切，所以32＋ 42＝1? b＝ 2 或 12，应选 D.3．(2014 ·浙江高考 ) 已知圆 x 2 ＋y 2＋ 2x － 2y ＋ a ＝ 0 截直线 x ＋y ＋ 2＝ 0 所得弦的长度为4，则实数 a 的值是 ()A ．－ 2B ．－ 4C ．－ 6D ．－ 8分析：选 B 圆的标准方程为 ( x ＋ 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2－ a ， r 2＝ 2－ a ，则圆心 ( － 1,1) 到直线 x ＋ y ＋ 2＝ 0 的距离为 | － 1＋1＋ 2|＝ 2. 由 22＋ ( 2) 2＝2－ a ，得 a ＝－ 4.24．若点 P (2 ，－ 1) 为圆 C ：( x － 1) 2＋ y 2＝ 25 的弦 AB 的中点， 则直线 AB 的方程为( )A ． x ＋y － 1＝ 0B ． 2x ＋y － 3＝ 0C ． 2x － y － 5＝ 0D ． x －y － 3＝ 0分析：选 D 圆心是点 C (1,0) ，由 CP ⊥ AB ，得 k AB ＝ 1，又直线 AB 过点 P ，所以直线 AB 的方程为 x － y － 3＝0.5．过点P ( － 1,6) 且 与 圆 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 2) 2＝ 4相切的直线方程是____________________ ．分析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝ ( ＋1)，则 d ＝k x|2 － 6－－3＋31＋ k2＝ 2，解得 k ＝ 4，此时，直线方程为：4 y － 3x －27＝ 0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－ 1，考证可知，切合题意．答案： 4y － 3x －27＝ 0 或 x ＝－ 16．直线 l: y ＝ x ＋ b 与曲线 C: y ＝ 1－ x2有两个公共点，则 b 的取值范围是 ________．分析：如下图， y ＝ 1－ x2是一个以原点为圆心，长度 1 为半径的半圆， y ＝ x ＋ b 是 一个斜率为 1 的直线， 要使两图有两个交点， 连结 ( －1,0) 和(0,1) ，直线 l必在以上A BAB的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界地点直线l 的 b 值，当直线 l 与AB 重合时， b ＝ 1；当直线 l 与半圆相切时， b ＝ 2. 所以 b 的取值范围是 [1 ， 2) ．答案： [1 ， 2)7．(1) 圆C与直线 2x＋y－ 5＝ 0 切于点 (2,1) ，且与直线2x＋y＋ 15＝0 也相切，求圆 C 的方程；(2)已知圆 C和 y 轴相切，圆心 C在直线 x－3y＝0上，且被直线 y＝ x 截得的弦长为2 7，求圆 C的方程．解： (1) 设圆C的方程为 ( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝r2.∵两切线 2x＋y－ 5＝ 0 与 2x＋y＋15＝ 0 平行，∴2＝|15 －－＝ 4 5，22＋ 12∴ r ＝2 5，|2a ＋ b＋ 15|＝ r ＝2 5，∴22＋12即 |2 a＋b＋ 15| ＝ 10，①|2a ＋ b－ 5| ＝r＝2 5，22＋12即 |2 a＋b－ 5| ＝10，②又∵过圆心和切点的直线与切线垂直，b－ 1 1∴＝，③a－ 2 2a＝－ 2，由①②③解得b＝－ 1.∴所求圆 C的方程为( x＋2)2＋( y＋1)2＝20.(2) 设圆心坐标为 (3 m，m) ．∵圆 C和 y 轴相切，得圆的半径为3| m| ，|2m|＝ 2| m|. 由半径、弦心距、半弦长的关系得 2 ∴圆心到直线 y＝ x 的距离为9m＝ 722＋2m，∴m＝± 1，∴所求圆 C的方程为( x－3)2＋( y－1)2＝9或( x＋3)2＋( y＋1)2＝9.8．已知P是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点，PA、PB是圆C: x2＋y2－ 2x－ 2y＋ 1＝0 的两条切线， A、 B是切点．(1)求四边形 PACB面积的最小值；(2)直线上能否存在点 P，使∠ BPA＝60°，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明原因．3 解：(1) 如图，连结PC，由P点在直线3x＋ 4y＋8＝ 0 上，可设P点坐标为x，－ 2－4x .1所以 S四边形PACB＝2S△PAC＝2× ×|AP|×|AC|＝| AP|.由于 | AP| 2＝ | PC| 2－ | CA| 2＝ | PC|2－ 1，所以当 | PC| 2最小时， | AP| 最小．2 2 1＋ 2＋3x25x＋ 12＋ 9.由于|PC| ＝(1 － x)＋ 4 ＝ 44所以当 x＝－5时，| PC|2min＝9.所以 | AP| min＝9－1＝ 2 2.即四边形 PACB面积的最小值为 2 2.(2)由 (1) 知圆心C到P点距离 3 为C到直线上点的最小值，若∠APB＝ 60°易得需PC＝2，这是不行能的，所以这样的点P 是不存在的．。
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切， 当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
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题型探究
重点难点 个个击破
2017-2018学年高中数学(人教A版必修二)课件：第四章 圆与方程 章末复习
求此圆的方程.
解析答案
跟踪训练1
若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C
2
3 25 2 x－2 ＋y＋ ＝ 2 4 的方程是___________________.
解析
因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0，0)和(4，0)，
在圆内.
注意：若 P 点是圆 C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离： dmax ＝
|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种： 代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判 断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 d ＋r，最小距离 为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三 角形.
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题型探究
重点突破
题型一
求圆的方程
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定
系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
(3)解出a，b，r(或D，E，F)；
(4)代入圆－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，
2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足 F(x ， y)>0 ，则该点在圆外；若满足 F(x ， y)<0 ，则该
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 422 423 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
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1 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理1 圆与圆位置关系的判定 阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题． 1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 d与r1、r2 的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0≤d＜
|r1－r2| 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆C1方程圆C2方程――→消元 一元二次方程 Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含
两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( ) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【解析】 两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半 2
径分别为3和4. 所以两圆的圆心距d＝42＋－32＝5. 又4－3<5<3＋4，故两圆相交． 【答案】 B 教材整理2 直线与圆的方程的应用 阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题． 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)． 【答案】 B
[小组合作型] 圆与圆位置关系的判定 3
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 【精彩点拨】 求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k 【自主解答】 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5. 当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切． 当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5， 即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[再练一题] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 4
【解】 圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝a－2a2＋1－12＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含． 两圆相交有关问题 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：
(x－1)2＋(y－1)2＝254所截得的弦长． 【精彩点拨】 联立圆C1、C2的方程――→作差得公共弦所在的直线 ―→圆心C3到公共弦的距离d―→圆的半径r―→弦长＝2r2－d2 【自主解答】 设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标是方程组
x2＋y2＝1，
x2＋y2－2x－2y＋1＝0
的解，
两式相减得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足 x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0， 即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝12，由条件知r2－d2＝254－12＝234，
所以直线AB被圆C3截得弦长为2×232＝23.
1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的 5
方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[再练一题] 2．求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
【解】 联立两圆的方程得方程组 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 x－2y＋4＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，解
得 x＝－4，y＝0或 x＝0，y＝2. 所以|AB|＝－4－02＋0－22＝25，即公共弦长为25. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，
半径长r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝25. [探究共研型] 直线与圆的方程的应用 探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？ 【提示】 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减
去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋－12－2＝722－2. 探究2 已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 6
千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．
【提示】 如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动． 则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－2022＝20(千米)． 所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．
为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图421)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
图421 【精彩点拨】 建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解． 【自主解答】 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角
坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.