2011高一数学必修五---学案

合集下载

苏教版高中数学必修五学案第三章不等式第课时(8)

第3课时【学习导航】知识网络学习要求 1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法. 2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力．【课堂互动】自学评价１．线性条件与线性约束条件２．目标函数与线性目标函数：３．可行域：４．线性规划：【精典范例】例1．在约束条件410432000x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî 下, 求P=2x+y 的最大值与最小值.【解】变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值变式２．在例１条件下，求P=2x-y 的最求P=4x+3y 的最约束条件下求目标函数的最大值或最小值的求解步(2)作出直线l 0:ax+by=0；0使其过最优解对应点；(4)解相求出最优解从而求出目标函数最值．2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l 0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置．３. 最优解有时会有无数个．追踪训练一 1. 已知222x y x y ì£ïïï£íïï+?ïïî , 则目标函数Z=x+2y 的最大值是___________ . ２．已知1224a b a b ì-??ïïíï??ïî, 则4a －2b 取值范围是__________３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a 值为 ( ) A.41 B. 53 C. 4 D. 35学习札记例 2.设变量x , y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈≤+≤+0,0,1141023y x Z y xy x y x , 求S=5x+4y 的最大值.思维点拔：求整点最优解的方法：(1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值．(2)作网格线，确定整点，然后设作l 0让其平移确定最优整点解，再求最值．追踪训练二设变量x , y 满足条件23827,x y x y x y Nì+?ïïï+?íïïÎïïî ,求S=3x+2y 的最值.学习札记。

人教版高中数学必修五学案5：1.2 应用举例

1.2 应用举例学习目标：1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．学习重难点：1．求解距离、高度和角度问题．(重点)2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)学习过程：自学导引测量中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如下图①.(2)方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示．试一试：如图所示，OA，OB的方位角各是多少？如何表示OA，OB的方向角？名师点睛1．解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．这一思路可描述如下：2．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．规律方法：解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．变式训练1：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．题型二测量高度问题例2：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.规律方法：依题意画图是解决三角形应用题的关键．在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．变式训练2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型三测量角度问题例3：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题后反思：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．变式训练3：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？课堂小结：利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．课堂检测：1．若a，b，c是△ABC的三边，且ca2＋b2>1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于() A. 6 B．2C. 3D. 24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案学习过程：自学导引试一试：OA 的方位角为60°，OB 的方位角为330°，OA 的方向角为北偏东60°，OB 的方向角为北偏西30°.课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°.∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°， ∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 变式训练1：解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.题型二测量高度问题例2：解：由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.变式训练2：解：在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝s sin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s . 题型三测量角度问题例3：解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．变式训练3：解：如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．课堂检测：1．【答案】D 【解析】∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0. ∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．2．【答案】B【解析】设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12. 而0<B <π，∴B ＝π3. ∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°. 3．【答案】D4．【答案】A【解析】由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 5.解：如图，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102， A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．。

高中数学新人教A版必修5学案3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第1课时)

二元一次不等式( 组 ) 与平面地区 ( 第 1 课时 )学习目标1. 认识二元一次不等式的几何意义.2.能用平面地区表示二元一次不等式( 组 ).合作学习一、设计问题 , 创建情境问题 1: 你会求二元一次方程 x+y-1=0 的解吗 , 它的解有多少个 ?请你写出几个 . 这些解能够用如何的几何图形表示 ?问题 2: 二元一次方程x+y-1=0 能够用如何的几何图形表示?二元一次方程x+y-1=0 与表示它的直线l 有如何的关系?问题 3: 你会解二元一次不等式x+y-1>0 吗 ?你能写出该不等式的几个解吗?在平面直角坐标系中 , 这些解对应的点与直线l:x+y-1=0有什么关系?你能找到二元一次不等式x+y-1>0 表示的几何图形吗?请研究并解答以上问题.二、信息沟通 , 揭露规律问题 4: 在平面直角坐标系中, 直线 l:x+y-1=0右边的点的坐标都能使x+y-1 的值大于 0 吗,为何 ?直线 l:x+y-1=0上方的点的坐标都能使x+y-1 的值大于0 吗 ?练习 : 请大家画出二元一次不等式2x-y- 2≥0表示的平面地区.问题 6: 在平面直角坐标系中, 二元一次不等式Ax+By+C>0表示的几何意义是什么呢?问题 7: 二元一次不等式Ax+By+C>0 表示直线Ax+By+C=0 哪一侧的地区呢?请大家达成下表 .A B区区不等式不等式域域A>0B>0Ax+By+C>0Ax+By+C<0A>0B<0Ax+By+C>0Ax+By+C<0A<0B>0Ax+By+C>0Ax+By+C<0A<0B<0Ax+By+C>0Ax+By+C<0三、运用规律, 解决问题【例 1】画出不等式x-2y>4 表示的平面地区.【例 2】用平面地区表示不等式组的解集.问题 8: 大家先察看一下这个不等式组中各个不等式的特点, 再考虑一下如何绘图.四、变式训练 , 深入提升变式训练 :(1) 求例 2 中 , 不等式组表示的平面图形的面积;(2) 当 x∈ Z,y ∈ Z 时 , 我们把点 (x,y)称为“整点” ,求例 2 中知足不等式组的整点的个数.五、反省小 , 点提9: 二元一次不等式一代数中的“数目关系”是怎与平面地区一“几何形式”合起来的 ?一程体了怎的数学思想?如何作二元一次不等式表示的平面地区?参照答案一、, 情境1: 无数个 ; ⋯,( -2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1), ⋯; 能够用平面直角坐系中的点表示 .2: 平面直角坐系中的直; 方程 x+y-1=0 的解与直l 上点的坐一一.3: 二元一次不等式x+y-1>0 的解有无数多个, 每个解在平面直角坐系中的点都在直 l:x+y-1=0的右上方.4: 因直上各点P(x,y)的坐都使x+y-1 的等于0, 而直右与P(x,y) 在同一水平上的点P1(x 1,y) 的横坐x1>x, 故 x1+y-1>0;, 道理一 .:5: 不等式包含相等种状况, 因此不等式表示的地区包含界.因 , 直上的点向右移,x 大 , 因此 2x 会大 , 就使得2x-y-2 的大 ; 同理 ,直上的点向右移,y 小 , 可是 -y 会大 , 就使得2x-y-2的大.6: 一般地 , 在平面直角坐系中, 二元一次不等式Ax+By+C>0 表示直Ax+By+C=0某一侧全部点构成的平面地区, 我们把直线画成虚线, 以表示地区不包含界限 .不等式 Ax+By+C≥0表示的平面地区包含界限, 把界限画成实线 .问题 7: 二元一次不等式Ax+By+C>0 表示直线Ax+By+C=0 哪一侧的地区呢 ?请大家达成下表 .A B不等式地区不等式地区A>0B>0Ax+By+C>0右上Ax+By+C<0左下方方右下左上A>0B<0Ax+By+C>0方Ax+By+C<0方A<0B>0Ax+By+C>0左上Ax+By+C<0右下方方A<0B<0Ax+By+C>0左下Ax+By+C<0右上方方三、运用规律, 解决问题【例 1】解 : 先作出界限x-2y=4, 画成虚线 .由于 ,A>0,B<0,因此 , 不等式 x-2y>4 表示的平面地区在直线x-2y=4 的右下方 ( 如下图 ).问题8: 能够先将各个不等式整理成一般形式, 也能够先做出每个不等式对应的界限, 而后在界限一侧取一个特别点, 将其坐标代入考证, 若知足这个不等式, 则该点坐在一侧就是不等式表示的地区, 不然 , 另一侧即是 . 简单地说 , 就是“直线定界, 特别点定域”.【例 2】解 : 先作出界限x=y+1, 取原点 (0,0) 代入不等式x≤y+1,由于 0<0+1, 因此原点 (0,0)在x≤y+1表示的地区内;后边两个不等式表示的平面地区同理可作.取三个地区重叠的部分, 图中暗影部分就表示原不等式组的解集.四、变式训练 , 深入提升变式训练 : 解 :(1)将三个不等式对应的直线方程分别联立, 解得暗影部分, 即三角形的三个极点坐标分别为(-1,2),(-1,-2),(1,0),故三角形的面积为× =4.(2)由 (1) 的解答知 , 暗影部分点的横坐标 x∈ , 分别令 x=-1,0,1, 代入不等式组 , 求出 y 的范围后知道,整点挨次为(-1,2),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1)共9个.五、反省小结 , 看法提炼问题9: 经过二元一次不等式的解与平面直角坐标系中的点的坐标的对应关系, 再联合二元一次方程的几何意义; 数形联合思想 ; 直线定界 , 特别点定域 .。

新编【人教A版】高中数学必修五学案设计(含答案)第三章 3.1

新编人教版精品教学资料[学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系与不等式1．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y 的和不超过2 000元．2．不等式(1)不等式的定义用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．知识点二比较大小的依据(1)比较实数a，b大小的文字叙述①如果a－b是正数，那么a＞b；②如果a－b等于0，那么a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．(2)比较实数a，b大小的符号表示①a－b＞0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a<b.思考(1)x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”)．(2)(6＋2)2____10＋43(填“＞”或“＜”)．答案(1)＞(2)＜解析(1)x2－x＝x(x－1)x＞1时，x－1＞0，x＞0，∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.(2)(6＋2)2＝8＋212＝8＋43＜10＋4 3.知识点三常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0⇒a n>b n)(n∈N，n≥1；(8)a>b>0n∈N，n≥2.题型一用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，身高超过1.4米可表示为h＞1.4，身高不足1.1米可表示为h＜1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．不等式是不等关系的符号表示．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范．如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号．跟踪训练1如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L ＞4W ，L ＞0，W ＞0.题型二比较实数(式)的大小例2 (1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 (1)∵x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2.综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号． (2)∵(5x 2＋y 2＋z 2)－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．反思与感悟比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论．(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论．(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断．跟踪训练2 设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 a a b ba b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，当a ＞b ＞0时，ab ＞1，a －b ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，当b ＞a ＞0时，0＜ab ＜1，a －b ＜0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a＞1，又∵a a b b ＞0，a b b a ＞0，∴a a b b ＞a b b a . 题型三不等式性质的应用例3 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞e b －d .证明 ∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0， ∴0＜1a －c ＜1b －d ，又∵e ＜0， ∴ea －c ＞eb －d . 反思与感悟利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．跟踪训练3 已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp . 证明 ∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp . ∴－ap ＜－bp ，又m ＞n ，即n ＜m . ∴n －ap ＜m －bp .忽视性质成立的条件导致错误例4 已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．错解 1≤a －b ≤2，① 2≤a ＋b ≤4，②由①＋②，得3≤2a ≤6， ∴32≤a ≤3，③ 由②＋①×(－1)，得0≤2b ≤3， ∴0≤b ≤32，④由③×4＋④×(－2)，得3≤4a －2b ≤12.错因分析由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时，3≤4a －2b 才取等号，而此时a －b ＝0，不满足①式，因此4a －2b 是不能等于3的．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的．正解令a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，则2≤u ≤4,1≤v ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝u ＋v 2，b ＝u －v 2.∴4a －2b ＝4·u ＋v 2－2·u －v 2＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵2≤u ≤4,3≤3v ≤6， ∴5≤u ＋3v ≤10. ∴5≤4a －2b ≤10.误区警示把条件中的a －b 和a ＋b 分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解，可以得到正确的结论．1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y ≤200答案 D解析据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D. 2．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax 答案 B解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>xa >a 2.3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．与x 有关答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N .4．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x 1＋x 2≤12 解析 x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x1＋x 2≤12.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．一、选择题1．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－b ＞－a ＞bC ．a ＞－b ＞b ＞－aD ．a ＞b ＞－a ＞－b答案 C解析方法一 ∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又b ＜0，∴a ＞0，且|a |＞|b |， ∴a ＞－b ＞b ＞－a .方法二设a ＝3，b ＝－2，则a ＞－b ＞b ＞－a . 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案 C解析设a ＝23，b ＝13，验证即得A 、D 错误；结合y ＝log 12x ，y ＝2x 的单调性得B 错误，C正确．3．已知a ，b ∈(0,1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不确定答案 B解析 M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1 ＝(a －1)(b －1)．∵a ，b ∈(0,1)，∴a －1＜0，b －1＜0 ∴M －N ＞0，∴M ＞N .4．已知四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 ①中，a ＜0＜b ，∴1a ＜1b ，②中，b ＜a ＜0，∴1a ＜1b，④中a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，故①②④三个均可推得1a ＜1b.5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －a c ＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －c ac＜0 答案 C解析 ∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由a ＞0，得1a ＞0，又b ＞c ，∴b a ＞ca，故A 恒成立；∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －ac ＞0，故B 恒成立；∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立；当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，又c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立．故选C.6．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a ＞b ，且1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0B ．若a ＞b ，b ≠0，则ab＞1C ．若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，则c ＞dD ．若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＞d 答案 A解析对于A ，∵1a ＞1b ，∴b －a ab＞0，又a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＜0，∴a ＞0，b ＜0，故A 正确；对于B ，当a ＞0，b ＜0时，有ab＜1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1＞2＋3，但1＜3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D 错．故选A. 7．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断答案 B 解析设路程为S ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1＝12S v 1＋12S v 2，乙用时t 2＝2S v 1＋v 2， t 1－t 2＝S 2v 1＋S 2v 2－2S v 1＋v 2＝S ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2 ＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·S ＝(v 1－v 2)2·S2v 1v 2(v 1＋v 2)＞0 ∴甲用时多．二、填空题8．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立．②一定成立．③当a ＞b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2＞0成立． ④当b ＜0时，不一定成立．如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.9．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．答案 8(x ＋19)＞2 200 8x x －12＞9解析由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8xx －12＞9. 10．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是______．答案 [－6,9]解析设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.三、解答题11．(1)若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知a ，b ，m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋m b ＋m ＞a b. 解 (1)方法一 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad .∵bd ＞0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b＋1，即a ＋b b ≤c ＋d d. 方法二作差比较，a ＋b b －c ＋d d ＝ad ＋bd －bc －bd bd ＝ad －bc bd， ∵ad －bc ≤0，bd ＞0，∴ad －bc bd ≤0，∴a ＋b b ≤c ＋d d .(2)a ＋m b ＋m －a b ＝ab ＋bm －ab －am b (b ＋m )＝(b －a )m b (b ＋m )， ∵a ＜b ，∴b －a ＞0，又m ，b 均为正数，∴(b －a )m b (b ＋m )＞0， ∴a ＋m b ＋m ＞a b. 12．若二次函数f (x )的图象关于y 对称，且1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋c ，f (2)＝4a ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝f (2)－f (1)3，c ＝4f (1)－f (2)3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f (1)－f (2)3＝8f (2)－5f (1)3，因为1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，所以5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32，所以－10≤－5f (1)≤－5，所以14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以143≤8f (2)－5f (1)3≤9，即143≤f (3)≤9. 13．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4，(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； (2)当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。

人教A版高中数学必修五 1.1.1正弦定理学案

1.1正弦定理-----学案一、学习目标1．掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)二、自主学习教材整理1 正弦定理阅读教材P 2～P 3探究下面第5行，完成下列问题．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形．( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(3)在△ABC 中，若A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)×教材整理2 解三角形阅读教材P 3“思考”上面倒数第二行～P 4例2，完成下列问题．1．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．三、合作探究探究1. 已知两角及一边解三角形1. (1)在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( )A.322B.322C.32D.62 (2)在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.【精彩点拨】 (1)可先由角A ，B 求出角C ，然后利用正弦定理求b .(2)直接利用正弦定理求解．【自主解答】 (1)因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝3×3222＝322. (2)由正弦定理知：AC sin B ＝BC sin A ，则AC sin 45°＝12sin 60°，解得AC ＝4 6. 【答案】 (1)A (2)4 6归纳总结：已知两角及一边的三角形解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．探究2.已知两边及一边的对角解三角形(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B ，C 和c .【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解．注意三角形解的个数问题．(2)先利用正弦定理求角B ，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c .【自主解答】 (1)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B .把A ＝π6，a ＝1，b ＝3代入，解得sin B ＝32.因为b ＞a ，所以B ＞A ，结合题意可知B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π3(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ，∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. 综上B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.归纳总结：已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．探究3. 正弦定理的主要功能（1）已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．【提示】如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD ·sin ∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . （2）由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【提示】由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R 可以得到的变形：sin A ＝a 2R，a ＝2R sin A ；sin B ＝b 2R ，b ＝2R sin B ；sin C ＝c 2R，c ＝2R sin C ，由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．（3）在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【精彩点拨】解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解．【自主解答】法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1，∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰直角三角形．归纳总结：1．判断三角形的形状看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等．2．已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断．四、学以致用1．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.2．在△ABC 中，c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状.五、自主小测1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则有( )A ．a <bB ．a ≥bC ．a >bD ．a ，b 的大小无法判定2.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形3．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，B ＝60°，则BC ＝________.4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.参考答案1.【解析】因为a sin A ＝b sin B ，所以a b ＝sin A sin B.，因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，所以a b ＝sin A sin B>1，所以a >b . 【答案】 C2.【解析】由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，所以A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．【答案】 B3.【解析】利用正弦定理BC sin A ＝AB sin C，而C ＝180°－(A ＋B )＝75°，故BC ＝AB ·sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3. 【答案】 3－ 34.【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝33，∵b <a ，∴B <A . 故角B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 【答案】 63。

高中数学必修五全套学案,DOC

§1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c=，sin b B c=，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==． (探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=，同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B =B .cos cos a A b B = C .sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于． [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B=，sin a A =sin c C ．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b =． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C =．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ※典型例题例1.在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2.在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在3,60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升 ※学习小结1.正弦定理：sin sin a bA B =sin c C= 2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． ※知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形2.已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶3 3.在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）. A.A B > B.A B <C.A ≥BD.A 、B 的大小关系不能确定4.已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c =．5.已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．课后作业1.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 ※探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC =， ∴AC AC ∙= 同理可得：2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=，，．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C =，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，33a =，2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ． ※典型例题例1.在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2.在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、总结提升 ※学习小结1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围： ①已知三边，求三角； c abA B C②已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）. A.342 B.34C.222D.22 2.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）. A ．60B ．75C ．120D ．1503.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（）. A ．513x <<B ．13＜x ＜5 C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜54.在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足 222b a c ab +-=，则∠C 等于．课后作业1.在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值． 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.§1.1正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习过程一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC 中，已知A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、新课导学 ※学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502； ② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b ＝502. 思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．试试：1.用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ ※典型例题例1.在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2.在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升 ※学习小结1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3.已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）． ※知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（）. A.13B.23C.43D.532.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120°D ．150°3.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）. A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4.在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5.已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．1.在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2.在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．§1.2应用举例—①测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝232+，c ＝22，则∠A 为. 复习2：在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学 ※典型例题例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒.求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ). 提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边. 新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60°，∠ACD =30°，∠CDB =45°，∠BDA =60°.练：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升 ※学习小结1.解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（）. A ．5cm B ．52cm C ．5(21)cm + D ．6cm2.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时3.在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是．5.一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km ．课后作业1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离.2.某船在海面A 处测得灯塔C 与A 相距103海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B 与A 相距156海里，且在北偏西75︒方向.船由A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向.这时灯塔C 与D 相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2.测量中的有关名称. 学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是怎样？复习2：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c =1:1:3，求A:B:C 的值.二、新课导学 ※学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角； P AC仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：选择基线HG ，使H 、G 、B 三点共线，要求AB ，先求AE在ACE ∆中，可测得角，关键求AC 在ACD ∆中，可测得角，线段，又有α 故可求得AC※典型例题例1.如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A 处的俯角β=501'︒.已知铁塔BC 部分的高为27.3m ，求出山高CD (精确到1m ) 例2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD . 问题1：欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升 ※学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.※知识拓展在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()h αβαβ+-.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（）. A ．sin a b A >B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥2.在∆ABC 中，AB =3，BC =13，AC =4，则边AC 上的高为（）. A ．322B ．332C ．32D ．33 3.D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（）米． A ．100B ．503C ．50(31)-D ．50(31)+4.在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5.在∆ABC 中，22b =，2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是．课后作业1.为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？2.在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 学习过程一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学 ※典型例题例1.如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5nmile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0nmile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01nmile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ，然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .例2.某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ ※动手试试出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东练1.甲、乙两船同时从B 点航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角. 练2.某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？三、总结提升 ※学习小结1.已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. ※知识拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数，所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（）. A ．α>βB ．α=βC ．α+β=90D ．α+β=1802.已知两线段2a =，22b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（）. A ．(,)63ππB ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π3.关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（）. A ．b ac =B ．a bc = C ．c ab =D ．2b ac =4.△ABC 中，已知a :b :c =(3+1):(3-1):10，则此三角形中最大角的度数为.5.在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解其中正确说法的序号是.课后作业1.我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2.§1.2应用举例—④解三角形学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3.能证明三角形中的简单的恒等式．学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c =_____．复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD =，三角形面积=．二、新课导学 ※学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S =，同理S =．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． ※典型例题例1.在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒；（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ， c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）例2.在∆ABC 中，求证：（1）222222sin sin sin a b A Bc C++=；（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． ※动手试试练1.在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是．练2.在∆ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-．三、总结提升 ※学习小结1.三角形面积公式：S =12ab sin C ==．2.证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． ※知识拓展三角形面积()()()S p p a p b p c =---，这里1()2p a b c =++，这就是着名的海伦公式．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（）. A.23B.32 C.3D.322.三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（）. A.3和5B.4和6C.6和8D.5和73.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（）三角形． A.等腰B.直角C.等边D.等腰直角4.ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是．5.已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是．课后作业2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c =63，求a 及∆ABC 的面积S ． 2.在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.§1.2应用举例（练习）学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式．学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中； ③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学 ※典型例题例1.某观测站C 在目标A 的南偏西25方向，从A 出发有一条南偏东35走向的公路，在C 处测得与C 相距31km 的公路上有一人正沿着此公路向A 走去，走20km 到达D ，此时测得CD 距离为21km ，求此人在D 处距A 还有多远？例2.在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．例3.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =60°，AC =7，AD =6，S △ADC =1532，求AB 的长． ※动手试试练1.为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？练2.两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升 ※学习小结1.解三角形应用题的基本思路，方法；2．应用举例中测量问题的强化. ※ 知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：学习评价 600 21 ADBC※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.某人向正东方向走x km 后，向右转150，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，则x等于（）.A ．3B ．23C ．3或23D ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（）米．A ．2003B ．20033C ．4003D ．400333.在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为2203，那么BC 的长度为（）.A ．25B ．51C ．493D ．494.从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30o 和45o ，且∠BAC ＝45o ，则这两个景点B 、C 之间的距离．5.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度．课后作业1.3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（3,1-），n ＝（cos A ，sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .第一章解三角形（复习）学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学习过程一、课前准备复习1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题， ③角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.则斜坡长变为___．二、新课导学 ※典型例题例1.在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？例3.在∆ABC 中，设tan 2,tan A c bB b-=求A 的值． ※动手试试练1.如图，某海轮以60nmile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2.在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升 ※学习小结1.应用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题.（边角转化）．※知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（）. A ．9 B ．18C ．9 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（）. A ．60° B ．90° C ．150°D ．120°3.在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（）. A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4.在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC S =△_______5.在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =_______.课后作业1.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求A ；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2.在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，22285bca cb -=-，a =3，△ABC 的面积为6，（1）求角A 的正弦值；（2）求边b 、c .§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 学习过程一、课前准备 60°30°60°A BC P北（预习教材P 28~P 30，找出疑惑之处）复习1：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学 ※学习探究探究任务：数列的概念⒈数列的定义：的一列数叫做数列.⒉数列的项：数列中的都叫做这个数列的项. 反思：⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ ⑵同一个数在数列中可以重复出现吗？3.数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项.4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？ ⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？ 5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分数列和数列； 2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列. ※典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴1，－12，13，－14；⑵1，0，1，0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴12，45，910，1617； ⑵1，－1，1，－1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn +=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项. ※动手试试练1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴1，13，15，17；⑵1，2，3，2.练2.写出数列2{}n n -的第20项，第n ＋1项.三、总结提升 ※学习小结1.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；。

人教A版高中数学必修五第二章2.2 等差数列学案

2.2等差数列【知识要点】：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数a ，b ，c 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则b 称为a 与c 的等差中项．若2ca b +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 3、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则n a = ． 4、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-； ②11n a a d n -=- ③n ma a d n m-=-； 5、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．【课堂精讲】1、等差数列基本量的计算 1.1.1 简单表示基本量例1、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2、已知等差数列{}n a 中，首项51=a ，公差为2=d ，则17a 的值是（） A 、35 B 、37 C 、39 D 、41 例3、在等差数列{}n a 中，7,37362=+=+a a a a ，则公差=d （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例4、已知等差数列{}n a 中，863=+a a ，则=+745a a （） A 、32 B 、27 C 、24 D 、16例5、已知数列{}n a 满足)2,(2,211≥∈+==*-n N n a a a n n ，则=3a （）A 、5B 、6C 、7D 、8例6、已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？题组训练1、（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2、在等差数列{}n a 中，若7,10673==+a a a ，则公差=d （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .4、在等差数列{}n a 中，若56a =，815a =，求公差d 及14a .5、等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.6、在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==，求数列的首项与公差.7、已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？1.1.2 数学文化中的等差数列基本量例1、《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十棵，人别加三颗。

高中数学人教A版必修5 3.3.2 简单的线性规划问题学案

高中数学人教A版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题学案【课前自主学习】预习课本P87～91，思考并完成以下问题(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？【新知探究•夯实知识基础】线性规划的有关概念次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( )(4)线性规划问题一定存在最优解( )解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6 解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z 2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤2，y ≥|x ＋1|，若可行域内存在点使得x ＋2y －a ＝0成立，则a 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．5解析：选D 作出不等式对应的可行域如图所示，由x ＋2y －a ＝0可得y ＝－12x ＋a 2，平移直线y ＝－12x ＋a 2，当直线y ＝－12x ＋a 2经过点A 时，直线y ＝－12x ＋a 2的截距最大，此时a 最大，由⎩⎨⎧ y ＝2，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故A (1,2)，此时a 的最大值是a ＝x ＋2y ＝1＋2×2＝5. 4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，则x x ＋y 的取值范围是________．解析：由约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，作出可行域如图所示，所以y x 即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得y x ∈[0,2]，所以x x ＋y ＝11＋y x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1【学以致用•探究解题方法】题型一求线性目标函数的最大(小)值[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎨⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)， ∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.[解题规律总结]解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[活学活用] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －12t 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，a －22处取得最大值，即t max ＝2－2×a －22＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 2x －y ≤2，x －y ≥－1，x ＋y ≥1，若目标函数z ＝2x ＋ay 仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式对应的平面区域如图所示，若a ＝0，则目标函数为z ＝2x ，即此时函数在A (3,4)时取得最大值，不满足条件．当a ≠0，由z ＝2x ＋ay 得y ＝－2a x ＋z a ，若a ＞0，目标函数斜率－2a ＜0，此时平移y ＝－2a x ＋z a ，得y ＝－2a x ＋z a 在点A (3,4)处的截距最大，此时z 取得最大值，不满足条件．若a ＜0，目标函数斜率－2a ＞0，要使目标函数y ＝－2a x ＋z a 仅在点A (3,4)处取得最小值，则－2a <k AB ＝1 ，∴a <－2.答案：(－∞，－2)题型二求非线性目标函数的最值命题点一：距离型最值[典例] 1．设x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x 2＋y 2＝u (除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大．取(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.命题点二：斜率型最值2．在题点一的条件下，求v＝yx－5的最大值与最小值．解：v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，k BD最大，k CD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以v max＝－33－5＝32，v min＝83－5＝－4.[解题规律总结]非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离.②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．题型三线性规划的实际应用[典例]某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：克) 量110千克预计收益(万元)8060最大收益是多少？[解]设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为⎩⎨⎧20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，即⎩⎨⎧2x＋3y≤30，2x＋y≤22，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解⎩⎨⎧2x＋3y＝30，2x＋y＝22，得M(9,4)，所以z max＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．[解题规律总结](1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．(2)寻找整点最优解的两个方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．[活学活用]一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件解析：选D 设甲商品x 件，乙商品y 件，所赚钱数为z ，则目标函数为z＝x ＋1.8y ，约束条件为⎩⎨⎧ 4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x ＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，507时，z 取得最大值．又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.高中数学人教A 版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题同步检测基础达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．18 D ．402．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40y B.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40y C.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定5．已知⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________． 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．能力达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，322．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－13．已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，54．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．1或－12 C ．2或1D ．2或－15．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.6．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．7．某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？8．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b－2a－1的取值范围．高中数学人教A版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题同步检测解析基础达标题1．1．设变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为()A．3B．4C．18D．40解析：选C由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()A.⎩⎨⎧x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈Nz＝20x＋40yB.⎩⎨⎧x＋y≥10，2x＋y≥10，x＋y≤6，x，y∈Nz＝20x＋40yC.⎩⎨⎧x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6z＝20x＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞)C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，yx 可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，A (1,6)，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2,4 B ．3,3 C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．5．已知⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.6．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.5622(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎨⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．能力达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 解析：选A 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u ＝－53，则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．1或－12 C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－12时，z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.答案：3 26．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎨⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10,40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元．则⎩⎨⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎨⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．8．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围．解：b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2b必满足f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧ b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0，画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM, ∵A (－3,1)，B (－1,0)，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。

人教版高中数学必修五学案7：1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解决解三角形的两类基本问题.3.从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中,边与其对角的关系.4.通过观察、推导、比较,经历由特殊到一般的思维过程归纳出正弦定理.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在Rt△ABC中,角C为直角,我们知道sin A=,sin B=,sin C=1=.这三个式子中都含有哪个边长?问题2:那么通过这三个式子,边长c有几种表示方法?c=此关系式能不能推广到任意三角形?二、信息交流,揭示规律同学们猜想:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.通过实验后,猜想成立,即有下面的结论:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.问题3:正弦定理如何表述?问题4:观察正弦定理,我们可以解决什么问题?三、运用规律,解决问题【例1】在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形(边长精确到0.1cm).【例2】在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).四、变式训练,深化提高【例3】已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【例4】在△ABC中,c=,A=45°,a=2,求b和B,C.五、限时训练(一)选择题1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于()A.10+B.10(-1)C.+1D.102.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°4.△ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定5.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<D.2<x≤(二)填空题6.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=.7.在△ABC中,a=5,B=135°,C=15°,则此三角形的最大边长为,外接圆半径为.8.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=;b=.(三)解答题9.在△ABC中,已知AB=10,A=45°,在BC边的长分别为20,,5的情况下,求相应的角C.10.在△ABC中,b=,B=60°,c=1,求a和A,C.六、反思小结,观点提炼通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会.(1)在本节课中,学习了哪些知识?(2)包含了哪些数学思想和数学方法?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:都含有边长c.问题2:二、信息交流,揭示规律问题3:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.问题4:①已知任意两个角和一边,可以求出另一角和另外两边.②已知两边和其中一边的对角,可以求出另一边和另外两角.三、运用规律,解决问题【例1】解:根据三角形内角和定理,C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°根据正弦定理,b=≈80.1(cm);根据正弦定理,c=≈74.1(cm).【例2】解:根据正弦定理,sin B=≈0.8999.因为0°<B<180°,所以B≈64°,或B≈116°.(1)当B≈64°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=≈30(cm);(2)当B≈116°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=≈13(cm).四、变式训练,深化提高【例3】解:∵c=10,A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由,得a==10;由,得b==20sin75°=20×=5+5.【例4】解:∵,∴sin C=.∵a<c,∴C=60°或120°.∴当C=60°时,B=75°,b=+1;∴当C=120°时,B=15°,b=-1.∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.五、限时训练1.B2.B3.D4.C5.C6.1∶∶27.5 58.12(3-)12(-2)9.解:由正弦定理,得sin C=.(1)当BC=20时,sin C=,∵BC>AB,∴A>C,∴C=30°;(2)当BC=时,sin C=.∵AB·sin45°<BC<AB,∴C有两解,∴C=60°或120°;(3)当BC=5时,sin C=2>1,∴C不存在.10.解:∵,∴sin C=.∵b>c,B=60°,∴C<B,C为锐角,∴C=30°,A=90°,∴a==2.六、反思小结,观点提炼。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组 0 目录

1、正弦定理-----------------------------------------------------------------------1 2、余弦定理-----------------------------------------------------------------------9 3、数列-----------------------------------------------------------------------------17 4、等差数列-----------------------------------------------------------------------21 5、等比数列-----------------------------------------------------------------------36 6、数列的通项--------------------------------------------------------------------52 7、数列求和-----------------------------------------------------------------------54 8、不等关系-----------------------------------------------------------------------57 9、二元一次不等式表示的平面区域-----------------------------------------59 10、简单的线性规划问题------------------------------------------------------63 11、一元二次不等式------------------------------------------------------------69 12、基本不等式------------------------------------------------------------------75 13、本章复习---------------------------------------------------------------------81 高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

1 B C A

D 100m

第一章解三角形 1.1 正弦定理(1) 【学习目标】 1、掌握正弦定理及其证明； 2、能运用正弦定理解决简单的解三角形问题. 【重点难点】正弦定理的证明. 【自主学习】一、知识回顾 1、三角形的三边关系____________________________; 2、三角形的三个内角的关系是__________________________; 3、确定一个三角形的条件有哪些？

二、问题情境如图，某人在山脚A处测得山顶B的仰角为30，沿直线AC前进了100米后到达D处，又测得山顶的仰角为45，求山的高度BC.

30 45

三、数学建构本题的解决要求研究三角形的边角关系，为了探索任意三角形中的边角关系，先回忆直角三角形中的边角关系.

ccCcbBcaA1sin,sin,sin 即 CcBbAasinsinsin 证明对于任意三角形ABC，都有CcBbAasinsinsin

阅读课本中的两个证明方法，回答下列问题： 1、证明法1中为什么要对角C分锐角、钝角讨论？

2、证明法2与法1的共同之处是________________________________________；不同之处是_________________________________________.

A B C c a

b 高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

2 正弦定理：在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，那么 sinsinsinabcABC

【典型例题】例1、已知.,,20,45C,30AcbaABC求中，

【小结】：例2、已知.ABC,45,2,3,解三角形中BbaABC

变式1、.ABC,45,2,1,解三角形中BbaABC 变式2、.ABC,45,2,4,解三角形中BbaABC 高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

3 【小结】：1、已知A,和ba，解三角形时完成下表:

2、利用正弦定理能解决的两类有关的三角形问题：

3、在解三角形的过程中，真正取舍的依据是：

【巩固练习】

1、__________::1,:1:4C::AcbaBABC则中，在.

2、__________1,c,60C,45则最短边的长度是中，在BABC.

3、__________,334b,22c,45ABABC则中，在. 4、不解三角形，确定下列判断是否正确 ○1有两解,30,14,7Aba （） ○2有一解,150,25,30Aba （） ○3有两解,45,9,6Aba （） ○4无解,60,10,9Bcb （）【回顾小结】

【作业布置】

A为锐角 A为钝角或直角图形

关系式

①Abasin

②ba baAbsin Abasin ba ba

解的个数高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

4 b c a D A

a c b C B A

D B

1．1正弦定理（2）【学习目标】 1、了解正弦定理的第三种证明方法； 2、进一步学习正弦定理，会利用正弦定理证明简单三角形问题和判断三角形的形状； 3、会利用正弦定理求解简单的实际问题. 【重点难点】正弦定理的变形及应用. 【自主学习】一、知识回顾：正弦定理 .

问题：你还有其他方法来证明正弦定理吗？二、问题情境在RtABC中，斜边c的等于RtABC外接圆

的直径2R，故有2sinsinsinabcRABC，这一关系对任意三角形都成立吗（如图）？探索并证明你的结论.

三、建构数学正弦定理： .

变形（1）2sinaRA，b ，c .

（2），sin2bBR， . （3）sin:sin:sinABC .

【典型例题】例1、在△ABC中，已知coscoscosabcABC，试判断△ABC的形状. 高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

5 C B

B D C A

例2、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明ABBDACDC. 例3、某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，求山的高度BC.

【巩固练习】（1）在△ABC中，若60A,3a，则sinsinsinabcABC . (2)根据下列条件，判断△ABC的形状： ①222sinsinsinABC； ②coscosaAbB；③sincoscosABCabc.

（3）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B.要测算出A,B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得80BCm，75B，45C，试计算AB的长.

【回顾小结】【作业布置】

C D B A 河高一数学必修五学案沅江市第三中学高一数学备课组

6 1．1正弦定理（3）【学习目标】 1、会利用正弦定理解决简单的三角形问题； 2、掌握三角形的另一种面积公式及其应用。【重点难点】 1、正弦定理应用. 2、正弦定理在解三角形时应用思路. 【自主学习】一、知识回顾

1、正弦定理：__________________________________________ 2、三角形面积公式：______________________________

二、问题情境问题：在△ABC中，3a，1b，60C，则?ABCS

三、建构数学三角形的面积公式：ABCS   ______ 证明：

【典型例题】例1、∠ABC的两边长分别为3cm和5cm，交角的余弦是方程25760xx的根，求△ABC的面积。

例2、在△ABC中，12b，30A，45B，解此三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积.