初中九年级圆切线知识点

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人教版版九年级上册24.圆的切线的性质和判定定理PPT课件

24.2.2 圆的切线的性质和判定O
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数公共点名称直线名称圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个交点
割线
d<r
Or d
l A
1个切点切线
d= r
Or d
l
没有
d> r
本节专门讨论直线与圆相切的情形.
相
交
.
相切
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
人教版版九年级上册24.圆的切线的性质和判定定理 PPT课件
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定理的数学语言表达：
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
O r l A
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〖规范板书〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
O
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC(三线合一) ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
分享
一切优秀的品质都源于自制，不管是勤奋还是奋进，都必须以自制为前提，奋进必为落后所占据。只有管得住自己的人，才能管得住别人，管好别人的人不一定管好自己。但管得住自己的人一定能管好别人。世界上的名臣良将都是首先从自己做起，做三军之表才能服人，希望同学们加强自制力，万事首先从自己想起，管住心灵的羁荡，才能管住苍穹。

初中数学教案圆的切线与切线定理

初中数学教案圆的切线与切线定理一、引言在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，而与圆相关的切线与切线定理也是我们应该掌握的重要知识之一。

掌握圆的切线与切线定理的概念及相关性质，能够帮助我们更好地理解圆的特性与性质，为解决相关问题奠定基础。

本教案将从切线的定义、性质入手，引出切线定理，并通过实例演练来巩固学生的理解。

二、教学目标1. 理解切线的概念及性质；2. 掌握切线与圆的关系；3. 理解并应用圆的切线定理解决相关问题。

三、教学内容1. 切线的定义及性质1.1 定义：在平面几何中，切线是一条与圆内一点相切且与圆的半径垂直的直线。

1.2 性质：（1）切线与半径的关系：切线与半径的切点相连，构成直角三角形。

（2）切线的长度：切线的长度相等。

（3）切线与半径的夹角：切线与半径的夹角为90度。

2. 切线定理的引入2.1 定义：在平面几何中，切线定理指出，如果一个直线与圆相交于两个点，那么这条直线所对应的两条切线与两个位置不同的半径相交。

2.2 推导：（1）如图1所示，直线AB与圆O相交于点C和D，则AC、BC分别为切线。

（2）如图2所示，直线CD与圆O相交于点E和F，则CE、DE分别为切线。

四、教学过程1. 导入通过一个生活实例引入切线的概念。

例如，引导学生观察轮子滚动时与地面接触的点，解释这个点是切线与圆相切的观察现象。

2. 引出切线的定义在黑板上画一圆并在圆上选择一个点P，在P点外引一条直线，观察与圆相交的点，引导学生发现与圆相交于一点且与圆的半径垂直的直线。

3. 探索切线的性质让学生尝试连接切点与圆心的线段，发现切线与半径的关系，并讨论切线的长度和切线与半径的夹角。

4. 引入切线定理通过具体的几何形状和图示，引导学生观察直线与圆的相交特点，并引出切线定理。

5. 实例演练解答以下问题：（1）已知圆O的半径为8cm，点A为切点，线段OA=15cm，求切线的长度。

（2）在一个圆上，点B与点C分别在直径的两侧，若线段AB=4cm，BC=6cm，求BC的两个切线的长度。

专题切线长定理课件

∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
A
∠OPA=∠OPB
P
O
B
A
要点归纳
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆
P
O
的两条切线，它们的切线长
相等.这一点和圆心的连线
B
平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
若△PCD的周长为18，则PA的长度为（
）
A．7 B．9 C．12
D．14
【答案】B
【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，CA=CE，
DE=DB，再利用△PCD的周长为18得到
PC+CE+DE+PD=18，然后利用等线段代换得到
PA+PB=18，从而得到PA的长．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线
【答案】8
【分析】根据切线长定理可知AE=CE、BE=CF，
进而可求出结果；
【详解】解：∵PA，PB分别与○O相切；
∴ PA=PB=4 （cm）
∵EC、EA分别与○O相切
∴AE=CE
同理：BF=CF
∴ C△PEF=8
故答案为：8
6．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O
的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.

初中数学切线长定理(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)

第26课切线长定理目标导航课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点02 切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即1Pr2S (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．∴是⊙O 的切线．【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D AC G DF AC ⊥F CB E EFDFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥EF 能力拓展【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD ，即AD=2．x=AD=2.x xx（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵∠A=30°∴OA=∴x=AD=2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确；由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D 正确．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在△O外，PA、PB分别与△O相切于A、B两点，△P=50°，则△AOB等于（）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°【答案】B 【详解】试题分析：根据切线的性质可得：△OAP=△OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：△AOB+△P+△OAP+△OBP=360°，则△AOB=360°－90°－90°－50°=130°．考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，△O 的外切梯形ABCD 中，如果AD△BC ，那么△DOC 的度数为( )A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°【答案】B 【分析】由于AD 、DC 、CB 都是△O 的切线，根据切线长定理知：△ADO=△CDO ，△DCO=△BCO ；而AD△BC ，则2△ODC 和2△OCD 互补，由此可求得△DOC 的度数．【详解】△DA 、CD 、CB 都与△O 相切， △△ADO=△ODC ，△OCD=△OCB ； △AD△BC ，△△ADC+△BCD=180°；△△ODC+△OCD=90°，即△DOC=90°；故选B ．【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，，则O ⊙的半径为A ．1B.3C.2D.4 【答案】C【解析】解：连接AO ，则△OAP=90°，又因为△APO=30°，所以AO=1/2PO ，设AO=x ，则PO=2X ，根据勾股定理，(2X)² -X² =(23）² 解得x=2，即半径为2，故选C 。

初中九年级上册数学课件圆切线的性质

( 1) 求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D
C
E
l
A
O
B
6、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F.
(1) 求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 a的距离小于半径OA，于是直

a
线a就要与圆相交，而这与直线
O
a是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线a垂直。
MA
a
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言 ∵ 直线a是圆O的切线,切点为A
∴ OA ⊥ a
练习1
AC是直径，AB和CD
是切线，判断AB和CD
的位置关系
3、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E, 过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
4、已知的半径为R，AB是⊙O的直径，D是 AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30o, 求BD的长.
A
O
B D
C
5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E．
圆的切线的性质
知识回顾证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。
无交点，作垂直，证半径。

九年级数学圆这一章知识点

九年级数学圆这一章知识点数学是一门实用的学科，其中的几何学更是贯穿在我们日常生活中。

而在几何学中，圆是一个重要的图形，它有着广泛的应用。

本文将为大家介绍九年级数学圆这一章的知识点，帮助大家更好地理解和掌握。

一、圆的定义和性质圆是由平面上到一定点的距离都相等的点的轨迹，常用字母O表示圆心，字母r表示半径。

圆的性质包括：1. 圆心角：指的是以圆心为顶点的角，在圆上的弧所对的圆心角是不变的。

2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，弦是圆上连接两点的线段。

3. 弦长公式：弦长等于半径长度乘以圆心角的正弦值的两倍。

4. 切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆有两个交点的直线。

二、圆的相关定理1. 圆的半径垂直于弦：如果半径垂直于弦，那么这条弦的中点一定在圆的直径上。

2. 在同一个圆或等圆中，弧相等的弦相等。

3. 在圆内，直径是最长的弦。

4. 圆内接四边形的内角和为360度。

5. 在圆上，相交弦的垂线互相垂直，垂直于弦的直径通过弦的中点。

三、圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界上的长度，即所有弧长的总和。

圆的周长等于直径乘以π（pi）。

圆的面积是指圆内部的区域面积，它等于半径的平方乘以π。

四、圆锥圆锥是由一个圆与一个共面点外的一条线段组成的几何体。

圆锥的性质包括：1. 顶点到圆的距离等于顶点到圆心的距离减去顶点到底面的距离。

2. 顶点到底面的垂线是在底面上的圆的直径上的垂线。

五、圆柱圆柱是由两个平行且相等的圆与它们的公共平行面上所有的线段组成的几何体。

圆柱的性质包括：1. 侧面积等于底面周长乘以高。

2. 体积等于底面积乘以高。

六、圆锥与圆柱的应用在现实生活中，圆锥和圆柱的应用非常广泛。

例如，喷水池常常采用圆锥形状，汽车的油箱常常是圆柱形状。

通过对圆锥和圆柱的研究，可以更好地理解和应用这些几何图形。

总结：九年级数学圆这一章的知识点主要包括圆的定义和性质、圆的相关定理、圆的周长和面积、圆锥和圆柱等内容。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用圆这一重要几何图形。

圆的切线知识点总结

圆的切线知识点总结
圆的切线知识点总结
圆的切线定理知识包括了切线长定理、切割线定理和割线定理。

圆的切线
垂直于过切点的半径;经过半径的`一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB
割线定理：与切割线定理相似两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点
则pA1·pB1=pA2·pB2。

圆知识点总结切线的判定(整理)

N M A O 知识点二、切线的判定定理：（1）定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线有交点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线。

即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线例题精选例1：如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°．求证：DC 是⊙O 的切线．例2．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC ．例3．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果∠POA=90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB=OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．例4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=12AB ；（3）点M 是AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN•MC 的值．习题巩固1．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出下列4个结论：①CE=CF ；②∠ACB=∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD BD ．其中一定成立的是（）2．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（）①AD ⊥BC ；②∠EDA=∠B ；③OA= 21AC ；④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下4 个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④弧AD=弧BD其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，连接AD，下列结论：①CD=BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE•AC，其中正确结论个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、、如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确结论的序号是6、．如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=22，求BC的长．7、．已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）已知PA=3，BC=1，求⊙O的半径．9、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．10、如图所示，△ABC的外接圆圆心0在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．（1）求证：△ABC≌△DNC：（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．12、已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE ⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．13、如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE 于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．。

圆的性质与切线知识点总结

圆的性质与切线知识点总结圆是几何学中常见的一个形状，它的性质和构造一直是学习者关注的重点。

本文将对圆的性质以及与之相关的切线知识进行总结和介绍。

一、圆的性质1. 圆的定义圆是平面上一组到定点距离相等的点的轨迹。

其中，定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的要素圆包括圆心、半径、直径、弦和弧等要素。

- 圆心：圆的中心点，用O表示。

- 半径：圆心到圆上任一点的距离，用r表示。

- 直径：穿过圆心的线段的长度，等于两倍的半径，用d表示。

- 弦：连接圆上任意两点的线段。

- 弧：连接圆上两点的曲线段。

3. 圆与角度的关系- 圆心角：以圆心为顶点的角，角的度数等于所对弧所对应的角度。

圆心角的度数范围是0度到360度。

- 弧度：圆心角所对应的弧长与半径的比值。

一圆的弧度等于2π。

4. 圆的正交与切线- 圆的正交：两个圆相切于一点，切点到两圆圆心的线段互相垂直。

二、切线的性质与定理1. 切线的定义切线是与圆相切于一点且与半径垂直的直线。

2. 切线与半径的关系切线与半径的交点为切点，切点与圆心和切点所在直径的端点共线。

3. 切线的长度切线长度是一个常数，且与半径和切点的位置有关。

切线长度等于切点到圆心的距离。

4. 切线的判定定理- 第一切线判定定理：如果一条直线与圆相交于两点，且圆心到这条直线的距离等于半径的长度，那么这条直线就是该圆的切线。

- 第二切线判定定理：如果两个圆相交于两点，且切点连线过两个圆心，那么这条连线就是两个圆的公共切线。

总结：本文对圆的性质和切线的知识进行了总结，包括圆的定义、圆的要素、圆与角度的关系，以及切线的定义、切线与半径的关系和切线的判定定理。

这些知识点对于理解圆的性质和切线的特点至关重要，能够帮助我们进一步掌握圆的相关知识，应用到实际问题中。

通过学习和掌握这些知识，我们能够更好地解决与圆相关的几何问题，并且在解题过程中能够灵活运用各种定理和性质。

在日常应用中，圆的性质与切线的知识点也有很多实际应用，例如在工程、建筑、制图等领域都有广泛运用。

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初中九年级圆切线知识点
在初中九年级的数学中，圆的知识是一个重要的部分。

而其中
一个重要的概念就是圆与切线的关系。

本文将详细介绍初中九年
级圆切线的知识点。

1. 圆的定义与性质
圆是由平面上一点到另一点距离保持不变的所有点的集合。

圆
的所有点到圆心的距离相等，这个距离称为半径。

圆的直径是通
过圆心且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。

圆的
弦是连接圆上两点的线段，弦的长度可以小于或等于直径的长度。

2. 切线的定义与性质
切线是与圆只有一个公共点的直线。

切点是切线和圆的交点。

切线与半径的关系是：切线与半径的垂直线垂直相交。

3. 切线的判定定理
如果一条直线与圆相交且过相交点的切线方向与与圆心连线的
方向一致，那么这条直线就是圆的切线。

4. 圆切线的性质
（1）切线与半径的垂直性：切线与半径的垂直线垂直相交；
（2）切线与切点的判定：切线只与圆上切点相交；
（3）切线与切点的角：切线与过切点且垂直于切线的直径的夹角为直角；
（4）切线与弦的夹角：切线与通过切点的弦所对的圆内角相等。

5. 切线定理
（1）切线长定理：切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方；
（2）切线与切点关系定理：圆内任意一点到切点的距离等于这个点到切线的距离。

6. 圆与切线的应用
切线的性质和定理可以应用于解决一些与圆相关的几何问题。

例如，在求解圆的切线长度时，可以利用切线长定理进行计算；在解决直角三角形的问题时，可以利用切线与切点关系定理来求解。

综上所述，初中九年级的圆切线知识点包括圆的定义与性质、切线的定义与性质、切线的判定定理、圆切线的性质、切线定理以及圆与切线的应用。

熟练掌握这些知识点能够帮助同学们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。

在学习过程中，同学们应当多做一些相关的练习题，提高自己的解题能力和应用能力。