第2讲平抛运动讲义
高中物理必修二 新教材 讲义 第5章 4 第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动[学习目标] 1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。
2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。
3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。
一、平抛运动的两个重要推论1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。
如图，即x OB ＝12x A 。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝v yv x ＝________①将速度v 反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ＝________＝________② 联立①②式解得x OB ＝12v 0t ＝12x A 。
2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝________① 位移偏向角的正切值 tan α＝y A x A ＝12gt 2v 0t ＝________②联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例1 (2023·廊坊市高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A ，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v 1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v 2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v 2>v 1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是( )A ．φ1>φ2B ．φ1<φ2C ．φ1＝φ2D ．无法确定例2 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。
现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A 与竖直墙壁成53°角，飞镖B 与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d ，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )A.97d B ．2d C.247d D.127d 二、一般的抛体运动如果物体被抛出时的速度v 0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。
第二讲 平抛运动 必修2
平抛运动重难点解析1. 平抛运动定义：将一个物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动，叫平抛运动。
特点是初速度沿水平方向只受重力。
2. 平抛运动的性质：加速度为g 的匀变速曲线运动。
由于只受重力运动的加速度恒为g 所以是匀变速，由于重力方向与初速度方向不在一条直线上，一定沿曲线运动，所以平抛运动是匀变速曲线运动。
还应注意：平抛运动的条件是初速度不太大（若太大就不落到地，而成为卫星了），抛出位置不太高（若太高则重力要变化）平抛运动轨迹是抛物线在竖直平面内。
3. 对平抛运动的研究方法平抛运动中重力方向与速度方向夹角变化。
运动速度也变化，比较复杂。
一般取分运动研究，从而确定合运动。
（1）理论分析：根据平抛物体初状态受力情况由牛顿运动定律确定状态变化，找到运动规律初状态：水平初速度0v （竖直方向无初速度）受力情况：重力。
∴ 在水平方向速度不变化，竖直方向无初速度做自由落体运动，是匀变速曲线运动。
方向与水平方向夹角为α，0tan v gt v v xy ==α方向与水平方向成0arctanv gt 角。
速度方向与水平方向夹角随t 增大而增大，即瞬时速度方向逐渐向竖直方向偏转。
（2）时间t 内的位移⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x 2220)21()(gt t v S +=220)21(gt v t +=，随t 增大而增大。
S 方向与水平方向夹角为β，tv gt 0221tan =β，02tan v gt =β，αβ<=02arctanv gt位移方向与末速度方向不相同5. 平抛运动轨迹，由x 、y 位移消去t 得到⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y tv x 0v x t =得222x v g y =方程轨迹是抛物线，这就是抛物线名称的由来。
6. 几个重要的推论（1）由于平抛运动的竖直运动是自由落体运动，当高度一定时，下落时间gh t 2=由h 来决定与0v 大小无关。
高中物理高考 2022年高考物理一轮复习 第4章 第2讲 抛体运动
37°＝0.8，则A和B两小球的运动时间之比为
A.16∶9
√B.9∶16
C.3∶4
D.4∶3
图14
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解析 小球 A 落到坡面上时，有 tan 37°＝12vg0ttAA2， 即 tA＝2v0tagn 37°， 小球 B 落到坡面上时，有 tan 53°＝12vg0ttBB2，即 tB＝2v0tagn 53°， 所以ttAB＝ttaann 3573°°＝196，B 正确.
推导：
tan tan
θθ＝＝vxvA0y＝－yA 2xxByAA→xB＝x2A
图3
例1 (2020·全国卷Ⅱ·16)如图4，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有
一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘
b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点.c与a的水
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考向2 与圆弧面有关的平抛运动 1.落点在圆弧面上的三种常见情景
图16
(1)如图16甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半 圆内的不同位置.由半径和几何关系制约时间t：h＝1 gt2，
2 R± R2－h＝2 v0t，联立两方程可求t.
(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨 道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的 偏向角相等. (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过， 此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向 角相等.
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考点二 平抛运动的临界、极值问题
1.平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、 最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向. 2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、 “刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周 相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题.
平抛运动知识点讲解
第二课时 抛体运动基础知识讲解1、平抛运动（1）定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动叫做平抛运动（2）条件：初速度沿水平方向，只有重力重力，初速度不为零（3）运动特点：由于速度方向与受力方向不在一条直线上，故平抛运动是曲线运动，又因为受力恒定，所以是匀变速曲线运动. 2、平抛运动的探究方向（1）将曲线运动分解为直线运动，即将平抛运动分解成水平和竖直方向的直线运动.（2）由力的独立作用原理推测平抛运动的物体在不同方向上的运动情况：水平方向不受力的作用，做匀速直线运动.竖直方向初速度为零，只受重力作用，做自由落体运动. 『探究思想』3、平抛运动的规律（1①位移公式：水平分位移：s x =s = 02tan v gt s xy ==α ②速度公式：水平分速度：0v v x =，竖直分速度：gt v y =，t 时间内的合速度v 的大小和方向：t v = 0tan v gt v v xy ==β （2）几个有用的结论： ①运动时间：t =即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度0v 无关.②相同时间内速度改变量相等,即△v =g △t,，△v 的方向竖直向下.③平抛运动的速度偏向角与位移偏向角的关系： 02tan v gts s x y==α，0tan v gt v v x y ==β 得：βαtan tan 2=④平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
例题讲解：【例1】平抛运动是（ ）A. 加速度不断变化的曲线运动B. 匀变速曲线运动C. 匀速率曲线运动D. 在任意相等的时间内速度变化量都相同的曲线运动 答案：BD【例2】 物块从光滑曲面上的P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q 点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到P 点自由滑下则（ ） A. 物块将仍落在Q 点B. 物块将会落在Q 点的左边C. 物块将会落在Q 点的右边D. 物块有可能落不到地面上解答:物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。
平抛运动(课堂PPT)
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三、小试牛刀
经典例题： 飞机离地面810米高度，以250千米/时的速度水平飞行， 应该在离轰炸目标的水平距离多远处投弹，才能击中地面目标。
O
x
y
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经典例题：飞机离地面810米高度，以250千米/时的速度水平飞行， 应该在离轰炸目标的水平距离多远处投弹，才能击中地面目标。
O
x
解： H=810m,v=250km/h
二、竖直方向的运动规律 受力情况：只受重力作用 初速度情况：无 结论：平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动．
三、水平方向的运动规律 受力情况：不受力 初速度情况：有 结论：平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动．
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本次课程结束，谢谢参与！
——你理解了吗？
14
H 1 gt2 2
Lvt
L v 2H
H
g
代入数据解得L=900Lm
y
你知道吗？
飞机以200m/s的速度水平飞行，某时刻让A球
从飞机上落下，相隔1s钟后又让B球落下，不计
空气阻力，关于A球和B球在空中的位置的关系，
正确的说法是：
（）
A. A球在Ｂ球的后下方
Ｂ. A球在Ｂ球的前下方
Ｃ. A球在Ｂ球的正下方 D. 无法确定
第三节 平抛运动
1.什么是平抛运动？ 2.平抛运动有什么规律？
主讲人：
XXX
1
复习回顾
生活中的实例
被运动员扔出去的 铁饼、标枪、铅球
足球比赛中被球员 踢起来在空中飞行 的足球；乒乓球比 赛中被球拍打出去 的乒乓球；
2
复习回顾
什么是抛体运动？
可以看出，生活中有许多这种运动的例子． 从这些例子中我们可以看出，所有这些物体都是 以一定的初速度被抛出，忽略空气阻力，在只受 重力的情况下做曲线运动，我们把这种运动称为 抛体运动．
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第2讲平抛运动见学生用书P056微知识1 平抛物体的运动1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
微知识2 平抛运动的规律以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则1．水平方向做匀速直线运动，速度v x＝v0，位移x＝v0t。
2．竖直方向做自由落体运动，速度v y＝gt，位移y＝12gt2。
(1)合速度v＝v2x＋v2y＝v20＋g2t2，方向与水平方向夹角为θ，则tanθ＝v yv0＝gtv0。
(2)合位移s＝x2＋y2＝(v0t)2＋(12gt2)2，方向与水平方向夹角为α，则tanα＝yx＝gt2v0。
微知识3 斜抛运动1．定义将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下方向抛出，物体仅在重力作用下所做的运动叫做斜抛运动。
2．斜抛运动的性质斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．处理方法斜抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。
一、思维辨析(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
)1．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度也时刻变化。
(×) 2．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同。
(√)3．斜抛运动和平抛运动都是匀变速曲线运动。
(√)4．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。
(×)5．平抛运动的时间由下落高度决定。
(√)二、对点微练1．(对平抛运动的理解)做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是()A．大小相等，方向相同B．大小不等，方向不同C．大小相等，方向不同D．大小不等，方向相同解析因为平抛运动的运动形式为匀变速曲线运动，其加速度是恒定不变的，即速度的变化率也恒定不变，再根据平抛运动的特点：水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，合外力为重力，合加速度为重力加速度，故每秒速度的增量大小恒定不变，方向沿竖直方向，A项正确。
答案A2．(对斜抛运动的理解)做斜上抛运动的物体，到达最高点时()A．速度为零，加速度向下B．速度为零，加速度为零C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D．具有水平方向的速度和加速度解析斜上抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。
因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C项正确。
答案C3．(平抛运动的规律)以速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出时刻开始计时，经t1时间小球到达竖直分速度与水平分速度大小相等的A点，经t2时间小球到达竖直分位移与水平分位移大小相等的B点，下列判断正确的是()A．t1、t2的大小与v0的大小无关B．t2＝2t1C．A、B两点速度大小之比为1∶2D．A、B两点的高度差为5v20 2g解析到达A点时，由v0＝gt1可得t1＝v0g，到达B点时，由v0t2＝12gt22可得t2＝2v0g；v0越大，t1、t2越大，且t2＝2t1，A项错误，B项正确；v A＝2v0，v B＝v20＋(2v0)2＝5v0，C项错误；h1＝v202g，h2＝2v20g，则两点的高度差为3v202g，D项错误。
答案B见学生用书P056微考点1平抛运动的规律和应用核|心|微|讲1．飞行时间：由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程：x＝v0t＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度：v＝v2x＋v2y＝v20＋2gh，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝v yv x＝2ghv0，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。
4．几个有用的结论(1)做平抛运动的物体，在相同时间内速度的变化量都相等，即Δv＝gΔt，方向竖直向下。
(2)做平抛运动的物体，在任一位置P(x，y)的瞬时速度的反向延长线与x轴交点A的横坐标为x2，如图所示。
(3)做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角θ与位移偏向角α的关系为tan θ＝2tan α。
典|例|微|探【例1】 如图所示，A 、B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h ，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是()A ．A 、B 两球的初速度之比为1∶4 B ．A 、B 两球的初速度之比为1∶2C ．若两球同时抛出，则落地的时间差为2h gD ．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(2－1) 2h g【解题导思】(1)做平抛运动的物体在空中运动时间由什么来决定？ 答：由t ＝2hg 知运动时间t 由高度h 决定，与初速度无关。
(2)做平抛运动的物体的水平方向的位移由什么决定？ 答：由x ＝v 02hg 知，水平位移x 由初速度v 0和高度h 共同决定。
解析 v 1＝x 4h g＝x 2 gh ，v 2＝2x 2hg＝2x gh ，因此两球的初速度之比为1∶22，A 、B 项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为 4h g －2hg ＝(2－1)2hg ，若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(2－1)2hg ，C 项错误，D 项正确。
答案 D“化曲为直”思想在平抛运动中的应用根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：(1)水平方向的匀速直线运动。
(2)竖直方向的自由落体运动。
题|组|微|练1.如图所示，在M 点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P 点、Q 点。
已知O 点是M 点在地面上的竖直投影，OP →∶PQ →＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是( )A ．两小球的下落时间之比为1∶3B ．两小球的下落时间之比为1∶4C ．两小球的初速度大小之比为1∶3D ．两小球的初速度大小之比为1∶4解析 两球的抛出高度相同，故下落时间相同，故A 、B 项错误；两小球的水平位移分别为OP 和OQ ，故水平位移之比为1∶4，故由x ＝v t 可知两小球的初速度之比为1∶4，故D 项正确，C 项错误。
答案 D2.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为( )A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2，对A 球：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21；对B 球：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得v 1v 2＝tan αtan α，C 项正确。
答案 C微考点 2 斜面上的平抛运动核|心|微|讲斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
常见的模型如下：续表【例2】 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O 点水平飞出，经过3 s 落到斜坡上的A 点。
已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg 。
不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8；g 取10 m/s 2)。
求：(1)A 点与O 点的距离L 。
(2)运动员离开O 点时的速度大小。
(3)运动员从O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。
【解题导思】(1)题中“经过3 s 落到斜坡上的A 点”，是要告诉我们什么条件？ 答：合位移方向沿OA 方向。
(2)第(3)问中“离斜坡距离最远”是已知了位移的方向还是速度的方向 ? 答：速度方向。
解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 L sin37°＝12gt 2，L ＝gt 22sin37°＝75 m 。
(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有L cos37°＝v 0t ， 即v 0＝L cos37°t＝20 m/s 。
(3)解法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v 0cos37°、加速度为g sin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v 0sin37°、加速度为g cos37°)。
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v 0sin37°＝g cos37°·t ，解得t ＝1.5 s 。
解法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有gtv 0＝tan37°，t ＝1.5 s 。
答案 (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s题|组|微|练3. (多选)将一小球以水平速度v 0＝10 m/s 从O 点向右抛出，经1.73 s 小球恰好垂直落到斜面上的A 点，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，B 点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )A ．斜面的倾角约是30°B ．小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC ．若将小球以水平速度v 0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在AB 的中点P 的上方D ．若将小球以水平速度v 0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在AB 的中点P 处 解析 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt ，解得θ≈30°，A 项正确；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2≈15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m ，B 项错误；若小球的初速度为v ′0＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P 、A 之间，C 项正确，D 项错误。
答案 AC4.如图所示，小球A 位于斜面上，小球B 与小球A 位于同一高度，现将小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的同一点，且小球B 恰好垂直打到斜面上，则v 1∶v 2为( )A ．3∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶2解析 两小球下落高度相同，故飞行时间相同，由平抛运动的规律可知，对于A 球：x y ＝v 1t 12gt 2＝1 ①，对于B 球：v 2gt ＝1 ②，由①②两式解得，v 1∶v 2＝1∶2，故应选D 项。