指数对数与幂函数(思维导图)

指数对数与幂函数(思维导图)

指数函数

对数函数

解析式

定义域

图像

1、底数对图像的影响

2、平移变换对图像的影响 1、底数对图像的影响

2、

平移变换对图像的影响 单调性

1、先观察底数a 与1大小，不确定时要分类讨论

2、复合函数类型的单调性 1、先观察底数a 与1大小，不确定时要分类讨论

2、复合函数类型的单调性

3、会利用单调性解指数不等式3、会利用单调性解对数不等式

比较大小1、底数相同，指数不同

2、底数不同，指数相同

3、底数指数都不同1、底数相同，指数不同

2、底数不同，指数相同

3、底数指数都不同

过定点值域

（六）指数函数 1.幂的有关概念

正整数指数幂：=⋅⋅43

421Λn

a a a a n

a ； 零指数幂：0a =1( ) ；

负整数指数幂：p a -= (0,a p N +≠∈)； 正分数指数幂：m n

a =

(0,1a m n N n +>∈>、且); 负分数指数幂：m n

a

-=

(0,1a m n N n +>∈>、且);

0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则（0,0,a b r s Q >>∈、）

r s a a = ；()r s a = ；()r ab =

3.指数函数图像及性质 定义 ()0,1x y a a a =>≠ 图象

定义域 值域 定 点 单调性

4.指数函数()x f x a =具有性质：

()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠ （七）对数函数

1.定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是b a N =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作

log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln

2.基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =， ③log 1a a =，

④对数恒等式：log a N a N =.

3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则 ①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log log a a a M M N N

=-；

③log log n

a a M n M =. 4.换底公式：

log log log m a m N

N a

=

(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠> ①log log 1a b b a ⋅=， ②log log m n a a n

b b m

=

. 5. 对数函数x y a log =具有性质： )()()(xy f y f x f =+ 6.函数的图像与性质

（八）幂函数：

,y x =2

y x =3

,y x =1

y x

=1

2y x =的图像

1.当0a >时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)在第一象限内，1α>时图像为

型抛物线，图像下凸,01α<<时图像为 型抛物线,图像上凸. (2)图像都通过点 ； (3)在第一象限内，随x 的 ； 2.当a<0时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：

(1)在第一象限内，函数图像为 型，函数值随x 的增大而 ，图像是向下凸； (2)图像都通过点 ；

(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；

定 义

图 象

定义域 值 域 定 点 单调性 定义域