(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结

()0A r A n A Ax A A οο??

=?=?????不可逆 有非零解

是的特征值

的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i n

A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ??=??=???

≠????

??

=??????∈=?可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵

总有唯一解

R

?

????→???

具有

向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ???：

①称为n ?的标准基，n ?中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.

√ 行列式的计算：

① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

(1)mn A A A A B

B

B

B

A

A B B οο

οοο

*

=

=

=*

*=-

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

③关于副对角线：

(1)2

1121

21

1211

1

(1)

n n n

n

n n n n n n n a a a a a a a a a ο

οο

---*

=

=-K N

N

√ 逆矩阵的求法:

①1

A A A

*

-=

②1()()A E E A -????→M

M 初等行变换

③11a b d b c d c a ad bc --????=????--???? T

T T T

T A B A C C D B

D ??

??=????????

④1

2

11

11

2

1n a a n a a a a -????

????

?

???=????

????

???

??

?

O

O

2

1

1

1

12

1

1n

a a n a a a a -????

????

?

???=????

??????????

N

N

⑤1

1111

2

21n n A A A A A A ----????

????

?

???=????

????

???

??

?O

O

1

112

1

211

n n

A A A A A A ----?

?

?

?????

?

???=????

????

??????

N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =

√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √

设

,,

m n n s A B ??A 的列向量为

12,,,n

ααα???,B 的列向量为

12,,,s

βββ???，AB 的列向量为

12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,)

,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=??

==++??

???L L L L 则：即 用中简

若则 单的一个提

即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：11

11

22

22

,kk kk A B A B A B A B οοο

ο

??

??

?

???

?

???==????????????

O

O

11112222

kk kk A B A B AB A B ο

ο

?????

?=??????

O

√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,

,B A B E X ????→M M 初等行变换

（当为一列时(I)的解法：构造()()

即为克莱姆法则） T T T T

A X

B X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，

用(I)的方法求出，再转置得

√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；

③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=. ⑨ ()0r A A ο=?=.

⑩ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法惟一. ? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ???=???%

A 经过有限次初等变换化为

B . 记作：A B =%

? 矩阵A 与B 等价?()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?1212(,,,,,,)n s r αααβββ??????12(,,,)n r ααα=????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关. 向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价.

? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

? 若A 是m n ?矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：

12,,,n ααα???线性无关.

Ax β=

1122n n x x x αααβ+++=L

111211121

2222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

????????????===??

?????

?????

??????L L M M M M M L 12,1,2,,j j j

mj j n αααα??????==????????

L M

1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A n

Ax Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα??==?????→=<<≠???==?????→≠?=?=<≠

=?L L M L 当为方阵时

当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ??

??????

??????

??????→??

?≠??

?=?

M

L M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解

线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+??=??

=??++?

==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解

211212112212112212,0(7),,,,1

00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??++=?++=?

?++=?++=?L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则

也是的解 是的解

√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.?

<方程个数未知数的个数

向量维数向量个数

,则该向量组线性相关.

m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质：

① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B

④ ()0

()00

r A k r kA k ≠?=?=? 若 若

⑤ ()()A r r A r B B οο??

=+????

⑥0,()A r A ≠若则≥1

⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则

,()()B r AB r A =若可逆则

⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:

0AB B AB AC B C

ο=?==?=

n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

(,)0αβ=

.

1α==.

√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=

③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c

c c αβαβαβ==

123,,ααα线性无关,

1121221113132331

21122(,)

()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??

?=--??

正交化

单位化：111βηβ= 222β

η

β= 333

βηβ= T AA E =.

√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ?的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；

② T T AA A A E ==；

③ A 是正交阵,则

T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

E A λ-.

()E A f λλ-=.

0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.

√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1n

i A λ=∑tr

√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ????

????????L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A

的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则:

① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；

② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为1

211

1,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A A

L .

√ 1122

,.m m A

k kA a b aA bE

A

A A

A A λλλλλλ-*??++?????????

是的特征值则:分别有特征值 √ 1122

,m m A

k kA

a b aA bE

A

x A x A A A λλλλλλ-*??++?????

????

是关于的特征向量则也是

关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B :

√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成

的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.

1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆

② T T A B :

③ k k A B : （k 为整数）

④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr

√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.

A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ: （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n P

A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ

??

????===?????

?

L L L L O

1442443144424443

. √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο????

????

????:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.

12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =

L

T B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =

√ 12(,,,)T

n f x x x X AX =L 经过正交变换

合同变换

可逆线性变换

X CY =化为2121

(,,,)n

n i i f x x x d

y =∑L 标准型.

√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{

()r A +正惯性指数负惯性指数

惟一确定的.

√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵1

11

1

00??????????-?

?

?

???-???????????

?

O O

O

合同.

√ 用正交变换法化二次型为标准形:

① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ；

④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n

n i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的

特征值.

12,,,n x x x L 不全为零，12

(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

① 正惯性指数为n ； ② A 的特征值全大于0；

③ A 的所有顺序主子式全大于0；

④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；

⑥ 存在正交矩阵，使1

2

1T n C AC C AC λλλ-????

??==

?????

?

O （i λ大于0）. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.