矩阵的逆的研究及应用
矩阵的逆的研究及应用
摘要
本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。
关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信
Research and application of inverse matrix
Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two
aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples.
Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure communication.
一矩阵的逆的一些背景
在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
而矩阵的逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一。然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多
大的用处。为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。
二 矩阵的逆的定义、定理及性质
2．1 矩阵的逆的定义
利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组
11112211211222
221122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??++
+=? (1)
令
1112
121
22212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=??
?
?
?? 12n x x X x ??????=?????? 12n b b B b ??
????=??????
则方程组可写成AX B =。
方程AX B =是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A 称为方程组的系数矩阵，X 称为未知矩阵，B 称为常数项矩阵。
这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X 的问题。类似于一元一次方程()0ax b a =≠的解可以写成1x a b -=，矩阵方程AX B =的解是否也可以表示为1X A B -=的形式如果可以，则X 可求出，但1A -的含义和存在的条件是什么呢下面来讨论这些问题。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得
AB BA E ==
（2）
这里E 是n 级单位矩阵。
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2）；其次，对于任意的矩阵A ，适合等式（2）的矩阵B 是唯一的（如果有的话）。事实上，假设12,B B 是两个适合（2）的矩阵，就有
()()11121222B B E B AB B A B EB B =====
定义2 如果矩阵B 适合（2），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -。 定义3 设ij A 是矩阵
1112
121
22212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=???
???
中元素ij a 的代数余子式，矩阵
1112121
222*1
2
n n n n nn A A A A A A A A A A ??????=??????
称为A 的伴随矩阵。
由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：
**
000
0==0
d d AA A A dE d ?????
?=??????
（3）
其中d A =
如果0d A =≠，那么由（3）得
**11A A A A E d d ????
==
? ?????
（4）
矩阵的逆的定理和性质
定理1 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而
()1*
10A A d A d
-=
=≠ 证明：当0d A =≠，由（4）可知A 可逆，且
1*
1A A d
-=
（5）
反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=，两边取行列式，得
11A A E -==
（6）
因而0A ≠,即A 非退化。
由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下： 1、11A A
-=
2、设A 是n 级矩阵，则A 可逆的充要条件是存在n 级矩阵B ，使AB E =
3、()1
1A A --=
4、设A 和B 都是n 级矩阵且可逆，则AB 也可逆，且()1
11AB B A ---= 5、若0k ≠，A 可逆，则kA 也可逆，且()1
1
1kA A k
--=
6、如果A 可逆，则T A 也可逆，且()()1
1T
T A A --=
7、如果A 可逆，则*A 也可逆，且()1
*1A A A
-=
定理2 A 是一个s n ?矩阵，如果P 是s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵，那么()()()=A PA AQ =秩秩秩
证明：令B PA =，则
()()B A ≤秩秩
但是由
1A P B -=
又有
()()A B ≤秩秩
所以
()()()=A B PA =秩秩秩
另一个等式可以同样地证明。
三 矩阵的逆的求法
定义法
例1.设方阵A 满足方程23100A A E --=，证明：,4A A E -都可逆，并求它们的逆矩阵。
证明：由23100A A E --=，得到()1
310A A E E ??-=????
。 故A 可逆，而且()11
310
A A E -=-。 又由
23100A A E --=，得到
()()46A E A E E +-=，即
()()1
46
A E A E E +-=。 故4A E -可逆，而且()()1
1
46
A E A E --=
+。
公式法
定理3 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 非奇异矩阵，而且
2121
1122221*1211n n n
n
nn A A A A
A A A A A A A A A -??????==?
?????
. 例2.已知101020305A -??
??=????-??
，求1A -
解：由题可解得
40A =≠
所以A 可逆，且
*1002020602A ??
??=??
????
故
*
152012012032012A A A
-????==??????
经检验
1AA E -=
初等变换法
定义4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换：
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；
(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)上，即用某一个数乘矩阵某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。
定义5 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 (1)初等行变换
如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ?的矩阵(),A E ，然后对此矩阵进行初等行变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即(),A E 经过初等行变换变为()1,E A -。
例 用初等行变换求矩阵111210110A -??
??=????-??
的逆矩阵。
解：
()1
111001
11100,2
100100-12-210110001021-1011
01-1101
0001130
-12-21001001-230
0-33-210
01-123-1A E --????
????=→???
?????--????
????????→→???
?????????
所以
10131=013-23-123-1A -??????
????
。
(2)初等列变换
如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ?的矩阵A E
??
???
，然后对此矩阵进行初
等列变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即A E
??
???
经过
初等行变换变为-1E A ??
???
。 例 用初等列变换求矩阵111210110A -??
??=????-??
的逆矩阵。
解：
1111
012100101103210100120001011000110110
11000100100132001001201313011013231011231A E --????????????????
--??=→?
??? ???????
????-????-????
-????????????????-→→????
????????--????---????
所以
10131=013-23-12-13A -??
????
????
分块矩阵法
分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式
1
1111
2
21S S A A A A A A ----??
??
????
?
???=????
????
?????? 1
1111
2
21S
S
A A A A A A ----?
?
??????
?
???=????
????
??????
其中()1,2,,i A i s =均为可逆矩阵。
例：已知005
2002
1=1-200110
0A ?????
????
???
，求-1A 解：将A 分块如下：
1200520021==1-2
001
1
0O A A A O ????????
????????
??????
其中12521-2==2111A A ????
????????
，
而
-1*-1*
112212
1212111=
,=2511det det 3A A A A A A -????==????--????
从而
1-1211
1
00
13
23
00
131=120025
00O
A A A O --??
??-?
?
????=???
?
??-????-??
四 矩阵的逆的应用
无论是矩阵的逆的性质还是矩阵的逆的求法，都是数学领域中的一个研究方向。接下来我们将分析矩阵的逆的应用，探索矩阵的逆的巨大作用。
在解线性方程组的应用
求解线性方程组是数学中的一大热点，也是难点。 给定方程组
11112211211222221122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++
+=??+++=????++
+=? (7)
把给定的线性方程组的系数按n 行n 列排成数表，称为n n ?矩阵，记作：
1112
121
22212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=???
???
为了利用矩阵乘积的性质，我们把线性方程组()7式中的系数项、变量项、常数项以矩阵的形式表示出来：
111212122212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=??
?
?
??
12n x x X x ??????=?????? 12n b b B b ??
????=??????
矩阵方程AX B =在形式上与最简单的代数方程ax b =非常类似，分析代数方程ax b =的求解过程，对于求解矩阵方程会有很大的帮助。
当0a ≠时，存在着a 的倒数()11
1a a a a
--=
也可以叫做的逆元素，以1a -乘方程ax b =的两端。由于111aa a a --==，所以得到方程的解：1x a b -=。
如果对n 阶方阵A 也定义它的逆方阵1A -，使之满足11AA A A E --==，那么，用1A -乘矩阵方程AX B =的两端就得到方程的解1X A B -=。
那么，只要求出系数矩阵A 的逆方阵1A -，线性方程组()7的解也就出来了。根据逆矩阵的性质，得到逆矩阵的条件及表达式。
n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且A 可逆时，A 的逆矩阵
可表
示为1*
1A A A
-=
。 在保密通信中的应用
加密保密通信模型
保密通信是新时代一个非常重要的话题，越来越多的科学研究者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型。其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的一种。
基于加密技术的保密通信模型如下：
()
↓
→→ 密钥 明文串加密盒密文串 发送方
()
↓
→→ 密钥 密文串加密盒明文串 接收方
发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。
在保密通信中的应用
从模型中可以看出，一种加密技术是否有效，关键在于密文能否还原成明文。
设有矩阵方程C AB =，其中B 为未知矩阵。我们知道，如果A 为可逆矩阵，则方程有唯一解-1B A C =，其中-1A 是A 的逆矩阵。因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术。
设A 为可逆矩阵，B 为明文矩阵，C 为密文矩阵。
()1加密算法
加密时，采用下面的矩阵乘法：
C AB C BA ==或
例如，设加密密钥矩阵A 为3-20-102211-2-320121A ????
?
?=??????，明文矩阵B 为32114252154-34-2612337B ??
??
?
?=??????
，则密文矩阵C 等于 3-20-13211446-4
-2-502212521513615129=1-2-324-34-26-15-3-21-101211233711113
0??????
???????????
???????
????????????
38 24 ()2解密算法
解密时，采用下面的矩阵乘法：
-1-1B CA B A C ==或
其中，-1A 是A 的逆矩阵。
例如，针对上面的加密密钥矩阵A ，解密密钥矩阵-1A 为
11
-2
-4010-1-1-1362
1-6-10??
??????
??
??
如果密文矩阵C 为778965
7669132121
2111?????
???
??
??
，则相应的明文矩阵B 应等于 11
-2
-47
789660697010-157********=-1-1361
3212-37-2-6-32
1-6-101
21113-1708-1??????
?????????
?????????
???
???
??????
()3加密矩阵的生成
初等矩阵是可逆的，而且初等矩阵的矩阵也是可逆的。因此，通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的成绩乘积作为编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复利用第一类和第三类初等变换去乘它，而其中的乘数必须取整数。这样得到的矩阵将满足1A =+，而1A -也将具有整数元素。
()4应用实例
例：小明的朋友给小强发来一封密信，他有一个三阶矩阵：
207210125231318135244161175??
????????
，他们约定：消息的每一个英文字母用一个整数来表示： 1,2,
,25,26a b y z →→→→
约好的密码矩阵是：4379010076??
????????
，试求小明的朋友发来的密信的内容。
解：试求密信内容，先假设密信内容矩阵为X ，则：
4372072101259010231318135076244161175X ????????=????????????
或
4372072101259010231318135076244161175X ????
????=????????????
即
1
4372072101259010231318135076244161175X -????
????=????
????????
或
1
2072101254372313181359010244161175076X -????
????=????
????????
然后利用Matlab 软件求解此题，容易得到满足题意的只有一个矩阵：
912152252515210X ??
??=??
????
由英文字母与整数间的对应可得到密信内容为“I LOVE YOU ”。
参考文献
[1]高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.-3
版.-北京：高等教育出版社，2003,9重印)
[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社.
[3]张贤科等.高等代数.清华大学出版社.
[4]王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学院学报,2007,23(2):82-84.
[5]郭亚梅.可逆矩阵的几种案例分析[J].安阳工学院学报,2006,3(21):55-59.