不等式高考考点梳理及真题分类突破
第六章 不等式 （2021年文科数学高考备考专题）
第一节 不等式性质及一元二次不等式
一、高考考点梳理
（一）、两个实数比较大小的方法
1．作差法???
a －
b ＞0?a ＞b ，
a －
b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ；
2．作商法?????a
b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），
a b
＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.
（二）、不等式的性质
1．对称性：a ＞b ?b ＜a ； 2．传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； 3．可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； 4．可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； 5．可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； 6．可开方：a ＞b ＞0?
n
a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2).
（三）、三个“二次”间的关系
二、历年高考真题题型分类突破
题型一 分段函数与不等式综合的问题
【例1】（2014全国Ⅰ卷）设函数()11
3,1,
,1,
x e x f x x x -?
解析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由1
3
2x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，
综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞. 故答案为(,8]-∞.
题型二 一元二次不等式
【例2】 (1)解不等式 x 2
-5x+6>0.
(2)解不等式 -2x 2+3x+5>0.
解析：(1)解方程 x 2-5x+6=0,得x 1=2,x 2=3,所以不等式 x 2-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}.
(2)原式化为 2x 2-3x-5<0,解方程2x 2-3x-5=0,得x 1=-1,x 2=2.5,所以原不等式的解集为{x|-1 第二节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 一、高考考点梳理 （一）、二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线. 2．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相 同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0. y x O 2x+y -2=0 y+1=0 x -y -1=0 A B C 2 3．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分. （二）、线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x ，y 的约束条件 目标函数 关于x ，y 的解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 二、历年高考真题题型分类突破 题型一 求线性目标函数的最值问题 【例1】（2020全国Ⅰ卷）若x ,y 满足约束条件220, 10,10,x y x y y +-≤?? --≥??+≥? 则 z =x +7y 的最 大值为 . 解析：作出可行域，如图. 画出直线l 0： x +7y =0，平移l 0到l ， 当l 经过点A (1,0)时z 最大, 所以，z max =1. 故答案为1. 则 【例2】（2020全国Ⅲ卷）若，满足约束条件，的最大值为________． 解析：先根据约束条件画出可行域，由 解得 ， 如图，当直线 过点 时，目标 函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值， 即当 ， 时， ． 故答案为7． 【例3】（2019全国Ⅱ卷）若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ?? ??? +-≥+-≤-≤， ，，则 z =3x – y 的最大值是_______. 解析：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值9, 故答案为9. 【例4】（2017全国Ⅱ卷）设x ,y 满足约束条件???? ? 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0， y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A .－15 B .－9 C .1 D .9 解析：不等式组表示的可行域如图所示,易求得A (0,1),B (－6,－3), C (6,－3).目标函数可化为 y ＝－2x ＋z ,由图可知目标函数在 点B 处取得最小值,最小值 为2×(－6)＋(－3)＝－15.故选A. 题型二 求线性目标函数的取值范围 5.【例5】（2017全国Ⅲ卷）设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤?? ≥??≥? 则z x y =-的 取值范围是（ ） A. []3,0- B.[]3,2- C.[]0,2 D []0,3 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值 . 在点 处取得 最大值 ，故选B ． 第三节 基本不等式 一、高考考点梳理 （一）、基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 1．基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3．其中 a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． （二）、几个重要的不等式 1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 2．ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3． a 2＋ b 22≥? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 4．b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. （三）、利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则 1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积 定和最小). 2．如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积 最大). 二、历年高考真题题型分类突破 题型一 基本不等式的应用 【例1】（2019全国Ⅲ卷）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222 (1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若222 1 (2)(1)()3 x y z a -+-+-≥ 成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 解析：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++ 222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++- 222 3(1)(1)(1)x y z ??≤-++++??， 故由已知得222 4 (1)(1)(1)3 x y z -++++≥， 当且仅当x = 53，13 y =-，1 3z =-时等号成立． 所以222 (1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43 ． （2）由于 2[(2)(1)()]x y z a -+-+- 222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+-- 222 3(2)(1)()x y z a ??≤-+-+-??， 故由已知得2 2 2 2 (2)(2)(1)()3 a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -= ，13a y -=，22 3 a z -=时等号成立． 因此2 2 2 (2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2 (2)3a +． 由题设知2(2)1 33 a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-． 【例2】（2017全国Ⅱ卷）已知a ＞0,b ＞0,a 3＋b 3＝2.证明: (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2. 解析：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2＋b 2)2≥4. (2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )3 4, ∴(a ＋b )3≤8,∴ a ＋b ≤2. 【例3】（2014全国Ⅰ卷）若,0,0>>b a 且ab b a =+1 1 （1）求33b a +的最小值； （2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 解析：（11 1 a b =+≥ ，得2ab ≥，且当a b ==. 故33a b +≥≥a b ==. 所以33a b +的最小值为. （2）由（1）知， 23a b +≥≥ 由于 6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.