中值定理

第二章 一元微分学

第二节 中值定理

有关知识： （1）费马定理．

（2）罗尔定理，拉氏中值定理，柯西中值定理。

（3）达布定理：设)(x f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f '≠'，则对于介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数c ，都存在),(b a ∈ξ，使得 c f =')(ξ。

本节中的题需要一定的技巧，主要体现上：找一个合适的函数（大多数情况下需要我们去构造，称之为辅助函数）在合适的区间上（有时就是题中给出的区间，有时需我们构造新的区间，称之为辅助区间），使用合适的中值定理。 例1：设)(x f 在]1,0[上连续，)(x f 在)1,0(内可导，且1)2

1

(,0)1()0(===f f f ，求证：

)1,0(∈∃ξ，使得1)(='ξf 。

分析：欲证的结论实际上是：)1,0(∈∃ξ，使得 0|])([='-=ξx x x f ，即0)(='ξF （x x f x F -=)()(），容易想到作辅助函数x x f x F -=)()(，并考虑对)(x F 用罗尔定理。但

)1()0(F F ≠，故)(x F 在]1,0[上用罗尔定理行不通。应重新找一个区间，使得)(x F 在该区间

上满足罗尔定理的条件。易见1)1(,21)21

(,0)0(-==

=F F F ，故存在)1,2

1

(0∈x ，使得0)(0=x F ，因此)(x F 在],0[0x 上满足罗尔定理的条件。那么对)(x F 在],0[0x 上用罗尔定理

便可得结论。具体的证明过程学生自己完成。

注：本题中构造了辅导函数x x f x F -=)()(，也构造了辅导区间],0[0x 。这是本问题解决的关键，同时也是解决此类问题（称之为介值问题）常用的思路和技巧。

例２：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x f 在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f 且曲线)(x f y =与拋物线))((b x a x y --=有一个交点)( ))(,(b c a c f c <<，求证：),(b a ∈∃ξ，使得2)(=''ξf 。 分析：欲证的结论为 0|])()([=''-=ξx x g x f ，其中)(x g 为满足2)(=''x g 的某个函数，由题设容易想到：))(()(b x a x x g --=。作辅助函数))(()()(b x a x x f x F ---=，则有

)0)(()()(===b F c F a F ，进而可证明结论。具体的证明过程学生自己完成。

注：欲证0)()

(=ξk F

时,下面两种情况是常见的

(1) 由)(1x F )(2x F === )(1+k x F (121+<<

(=ξk F

(2) 由)(a F )(b F ===''='= )()(b F b F 0)()1(=-b F k （或

)(a F ==''='= )()(a F a F )()1(a F k -0)(==b F ）

，得0)()(=ξk F 。 例3. 设)(x f 在]1,1[-上三阶可导，且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ，证明存在)1,1(-∈ξ，使得

3)(=ξ'''f 。

分析：欲证的结果化为03)(=-ξ'''f ，由此想到找一个3次多项式)(x P ，使得3)(='''x P ，再作

辅导函数)()()(x P x f x F -=，那么)(x P 如何找呢？首先易见C Bx Ax x x P +++=23

2

)(，为证得结论我们希望)(x F 满足条件：0)1(=-F ，0)1(=F ，0)0(=F ，0)0(='F (当然由四个条件确定三个待定系数可能办不到,但本题办得到.)由0)0(='F 可得0=B ,由0)0(=F 可得

)0(f C =,再由0)1(=-F 得)0(21f A -=,从而)0())0(2

1

(2)(23f x f x x P +-+=.容易验证

0)1(=F .至此,问题得以解决.

证明:令)]0())0(2

1(2[)()(2

3f x f x x f x F +-+-=,则

0)1(=-F ，0)1(=F ，0)0(=F ，0)0(='F , 由罗尔定理知 )1,0(),0,1(21∈ξ-∈ξ∃,使得 0)(1=ξ'F ,0)(2=ξ'F 从而)()0()(21ξ'='=ξ'F F F ,

由罗尔定理知 ),0(),0,(2211ξ∈ηξ∈η∃,使得 0)(1=η''F ,0)(2=η''F

由罗尔定理知 )1,1(),(21-⊂ηη∈ξ∃,使得 0)(=ξ'''F , 即3)(=ξ'''f .

例4. 设b a <<0,)(x f 在],[b a 上可导，证明：),(b a ∈∃ξ，使得

)()())()((222ξξf a b a f b f '-=-。

分析：欲证的结论变形为

ξξ2)

()()(2

2f a b a f b f '=-- 这正是柯西中值定理的结论．具体的证明过程学生自己完成。

注：这里无须技巧，关键一点是作恒等变形．

介值问题中构造辅助函数是解题的关键也是难点，下面通过举例重点说明如何构造辅助函数． 例.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且1)1(=f ,证明在在)1,0(∈ξ,使得 )()1

1()(ξξ

-=ξ'f f

分析:为构造辅导函数并纳入罗尔定理的框架,先将目标等式变形 )()()(ξ-ξξ=ξ'ξf f f ,

为方便，把ξ换成x ,则上式为)()()(x f x xf x f x -=',再变形为)()()(x xf x f x f x =+',即 0)())((=-'x xf x xf

由此想到应当辅导函数)]([)(x xf e x F x -=.

以上构造的辅助函数是通过观察、分析后找出来的，技巧性较强．下面介绍一个方法（称为积分还原法），可以比较容易地找出辅助函数，无需太多技巧而且比较程序化． 欲证的结论)()11()(ξξ-=ξ'f f 中的ξ换成x 得)()1

1()(x f x

x f -

='，再将其变形为

x

x f x f 1

1)()(-=' 对上式两边积分得

c x x x f +-=ln )(ln

变形得, x

e C x

f x

=)(,再变形得

C x f xe x

=-)( 那么)()( x f xe

x F x

-=便是要找的辅助函数．

总结：这种方法的一般过程是这样的：把欲证的结论中的介值ξ换成x ，并且必要时要作恒等变形（以利于方便积分）．然后等式两边求不定积分，再移项、化简、整理得如下形式的等式