一个简单分式不等式的三种解法

一个简单分式不等式的三种解法

例：解不等式：

对于此不等式，曾有学生作出如下解法：

对于此种解法，其思路是将原不等式两

边同时乘以，然后移项、变形。其思路好像没什么问题。但细心的同学马上会发现，这个解集里面有0，而0显然不是原不等式的解，也就是说，这个答案是有问题的。那这种解法的问题出在哪里呢？回顾一下初中的知识，我们便知道：不等式两边同时乘（或除）以一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘（或除）以一个负数，不等号的方向要改变。这种解法在对原不等式两边同时乘以时，没有考虑到的正负。

从题目来看，显然不可能为0。如此一来，

就可能为正也可能为负。当为正时，原不等式的不等号方向不变；当为负时，原不等式的不等号方向要改变。所以应该对的正负进行讨论。其正确解法如下：

解法一：（分类讨论）

解法一对进行了讨论。这种方法属于

分类讨论法，是高中数学的一个重要的方法，

也是高中数学考试中的重难点。学生需要逐渐理解并掌握此方法。另外，对于此不等式，除了解法一的方法外，还可以用其他的方法进行解答。

解法二：（等价变形）

解法三：（数形结合）

原不等式即，由图可得：的取值范围是 ∴原不等式的解集为：

三种解法各有特色，其中解法三充

分运用了函数图象的直观性，展现了数形结合的优点。

32

->x

⎪⎭

⎫

⎝⎛∞+-∴-

>∴->->∴->，

原不等式的解集为即323

2233232

x x x x

x x x x x x x x ()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-∞--<-<-<<>∴->>≠，，原不等式的解集为：综上，，解得即时，原不等式等价于当此时显然成立时，原不等式等价于当由题可知，032.

3

223320.

0.320.

0x x x x x x x x x ()()∞+⋃⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-∞-∴-

<>>+>+>+⇔->，，

原不等式的解集为：或解得：即即0323

2

00320

32032

32

x x x x x

x x

x ()()的图象如下：

，则

设x f x

x f 2

=()3->x f x

03

2

>-

⎫ ⎝⎛

-∞-，，032