矩阵理论答案(上海交大版)

求证。 7．设其逆为 aij ，则当 I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程

Baidu Nhomakorabea
ai1 ai 2 w j 1 ai 3 w j 1 ain w j 1
1
n1
ij ， j 1, 2, n ，
j 1 nl
其中 ij 为 Kronecker 符号。对这里的第 l 个方程乘以 w
然后全加起来得
nw
j 1 n1
aij w
j 1 ni
，即得 aij
1 j 1 n1i w 。 n
m
注：同一方程式的全部本原根之和为 0，且 w 也是本原根（可能其满足的方程次数小于 n） 。
习题 二 1． 因 x 1 x 1 x ，所以 V 中零元素为 1，x 的负元素为 分配律。 2． 归纳法：设 W1 W2 Ws1 V ，则下面三者之一必成立： （1） W1 W2 Ws1 Ws ； （2） W1 W2 Ws1 Ws 。 （3） 存在 W1 W2 Ws 1 \ Ws 及 Ws \ (W1 W2 Ws1 ) 。 如果是（1） （2）则归纳成立，如果是（3）则选 s 个不同的数 k1 , k2 ,, k s ，则必有某 一个 ki W1 W2 Ws 。
E 0 Er 0 0 0 r （2） r=n-1 时， ， B* 0 0 0 0 0 1 0
*
*
0
Bn1 Bn 2
Bnn
，但
b11b12 b1n b11b12 b1n Er 0 b21b22 b2 n b21b22 b2 n ，故 0 0 0 0 0 bn1bn 2 bnn
a cos b sin 0 a b 0 f 0。 a cos b sin 0 2 2
|| h(t ) ||
3cos7 4sin 9 4cos9 3sin 7
2
2
5。
习题 四
1． 设 AB 的特征值及其对应的特征向量为 i , X i ，即 ABX i iX i ，如 BX i 0 ， 则 i 0 （注意到只能有一个特征值为 0） 。故由 BABX i i BX i 知 BA 与 AB 特征值勤全相同，所以它们都相似于 dig 1, 2 ,n 。 2． 对应的矩阵为
2
2 ，经验证 A E A 2E ，故最小多项式为
习题 一
1． （1）因
cos nx sin nx sin nx cos nx
cos x sin x cos(n 1) x sin(n 1) x sin x cos x = sin(n 1) x cos(n 1) x ，故由归纳法知
（2）成立 3． （1） （3）显然
a b 2 为正定矩阵 a 0, ac b 0 。 b c
（2） ( f , f ) 0 且等号成立当且仅当 ( f , f ) 0
f 2 0 f 2 0 f 0 f 0 2 2
3．V 的一组基为
1 0 0 0 0 1 ， ， ，分别记为 e1 , e2 , e3 ，则 0 1 1 0 0 0
e1 e2 e3 , e2 e2 e3 , e3 e3 e2 ，故
0 0 0 e1 , e2 , e3 e1 , e2 , e3 1 1 1 = e1, e2 , e3 A ， 1 1 1
0 2 2 2 ， 3 1 2 1 3
即
T
e1, e2 , e3 e1, e2 , e3 A,
作
基
变
换
e1,
e2 , e3 '
'
,e1
'
,e 则 2
e3 .
P
' ' e1' , e2 , e3 e1, e2 , e3 PAP 1. 故使为对角形的基 e1, e2 , e3 P1 即可。
cos nx sin nx An 。 sin nx cos nx
4 n 4k r k r （2）直接计算得 A E ，故设 n 4k r ( r 0,1, 2,3) ，则 A A A (1) A ，即
只需算出 A , A 即可。
2
3
0 1 01 ，则 （ 3 ）记 J= 1 0
2 2
通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。 an an1 a1 0
4．分别对（A B）和
A 作行（列）初等变换即可。 C
* * * * * *
5． 先证 A 或 B 是初等到阵时有 AB B A ， 从而当 A 或 B 为可逆阵时有 AB B A 。 考虑到初等变换 A 对 B 的 n 1 阶子行列式的影响及 A A 即可得前面提到的结果。
* 1
下设 PAQ
Er 0 （这里 P，Q 满秩） ，则由前讨论只需证下式成立即可： ， 0 0
0 E B B* r 0 0
*
Er 0
0 ， 0
*
（1） r<n-1 时，因秩小于 n-1 的 n 阶方阵的 n-1 阶子式全为 0，结论显然；
求出使 PAP 为对角形阵的 P，基取为 e1 , e2 , e3 P
1
1
4．令 P
1 2 0 0 , 则P 1 AP ， 2 1 0 1 0 。 5
0 0 0 tr A 1,| A | 0, A P P 1 0 1 0
Bn1 Bn 2 Er 0 B 0 0 0 Bnn
*
0
2
* E 0 * r B 。 0 0
6 ．由 r ( A) r ( A )及 AX 0 ( AX ) AX 0 ，即 AX 0 与 A AX 0 同解，此即所
U 为B在空间 Z XA x F n 上的核空间，故
n
dim U dim Z XA X F r AB r A r AB 。
习题 三
1．略 2． x, y x1 , x2
a b y1 （3）显然；而 ，故内积定义的（1） b c y2
i j i 0 i i
j 1
i
线性组合，由基定义知其为一组基。
（2）由
ai xi bi x 1 及 x j ( x 1 1) j C ij x 1 得 b j Ckj ak 。
i i 0 i 0 i 0 k 0
j
n
n
j
j
注：当 k<j 时， Ck 1 。
5． | Em AB |
mn
， En BA 知除 0 外 AB 与 BA 的特征值全相同（包括代数重数）
而迹为矩阵特征值之和。
2 6． （1）特征多项式 x 8 x 7 为最小多项式，可能角化
（2） | E A | 1 2 3 为最小多项式，可对角化 （ 3 ）特征多项式为 1
数非 0 且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 5． 记 U= u1, u2 , u3 ， W w1, w2 ，把 U,W 放在一起成 4 行 5 列的矩阵，其 Hermite 标 准形为
1 0 0 0
4 5 1 2 1 5 1 1 3 9 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
1 n 1 2 n 2 a n Cn a Cn a n 1 n 1 Cn a a an n Cn
，
i i n i An (aE J ) n Cn aJ i 0
n
n 1 Cn a 。 1 n 1 Cn a an
其中 P 为任意满秩矩阵，而
1 B1 0
2
0 1 0 1 0 , B2 , B3 。 1 0 1 0 1
n
注： A E 无实解， A E 的讨论雷同。 3．设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA，即把 X 看作 n 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，
u1 ； w1 ； 故 U W 的基为 3w1 w2 ， U 的基为 3w1 w2 ， W 的基为 3w1 w2 ， U W
的基为 3w1 w2 ， u1 ， w1 。 6． U W ( x, y, z, w)

1 1 1 1 x y z w 0 ， r 2， 1 1 1 1 x y z w 0
2．设 A P
1 a 1 P (a 1,0), 则由A2 E得 0 2
2 1 1 1 1 21 不可能。 a 1时, 1 2 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 而由 a 0时, 知 i 1 所以所求矩阵为 PBi P ， 0 2 0 2 2 0 2
8．由 j为1 , 2 ,, t 的线性组合知存在矩阵 A 使得 1,2 ,, s 1, 2 , , t A ， 由 i 线性无关可知 r A s 故 s t ， 把 A 的 Hermite 标准形非 0 行的第一个非 0 元所在列 对应的 i 全替代为 i 即为所求。 9．易证为子空间；
故 dim U W 2,dim U W dimU dimW dim U W 4 ；
U W的基为方程组的解向量 0,1,1,-1 和1,1, 1, 1 。
7． （1）由 x ( x 1)
j j
a X 知x 可表示为(x 1)
2 3． U 是满足方程 tr(A)=0 解向量空间，其维数为 n 1 ，故其补空间为一维的，可由任一迹
1 ，再证结合律、交换律和 x
非 0 的矩阵生成。 4． 易证线性封闭。又设 V 中元素为 f an x
n 1
an1 x n2 a1 ，则 U 是满足方程
an an1 a1 0 的子空间。故 U 的维数为 n-1，其补空间为一维的，故任取一系