高中数学必修5常考题型：等差数列
等差数列
【知识梳理】
1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．
2．等差中项
如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b 2.
3．等差数列的通项公式
已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d
【常考题型】
题型一、等差数列的判定与证明
【例1】 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{a n }中a n ＝3n ＋2；
(2)在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .
[解] (1)a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N *)．由n 的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
【类题通法】
.
定义法是判定(或证明)数列{a n }是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差a n ＋1－a n ；
(2)对差式进行变形；
(3)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．
【对点训练】
1．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋4，问：数列{b n }是否为等差数列并说明理由．
解：数列{b n }是等差数列．
理由：∵数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，
∴a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．
∴b n ＋1－b n ＝(3a n ＋1＋4)－(3a n ＋4)＝3(a n ＋1－a n )＝3d .
，
∴根据等差数列的定义，数列{b n }是等差数列.
题型二、等差数列的通项公式
【例2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求通项公式a n .
(2)已知数列{a n }为等差数列a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．
[解] (1)∵a 5＝10，a 12＝31，
则 a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，??????
a 1＝－2，d ＝3. ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5
∴通项公式a n ＝3n －5.(n ∈N *)
(2)法一：由???
a 3＝54，a 7＝－74，
得???
a 1＋2d ＝54，a 1
＋6d ＝－74. ￥
解得a 1＝114，d ＝－34.
∴a 15＝a 1＋(15－1)d
＝114＋14×(－34)＝－314.
法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ，
即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.
∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×(－34)＝－314.
【类题通法】
1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，
得????? a 1＋m －1d ＝a ，a 1＋n －1d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 则较为简捷．
）
【对点训练】
2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项如果是，是第几项
解：(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，
得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1，
由题意知，－401＝－4n －1.
得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．
《
题型三、等差中项
【例3】 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．
[解] 在等差数列{a n }中，
∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，
∴3a 3＝18，a 3＝6.
????? a 2＋a 4＝12a 2·
a 4＝11， 解得????? a 2＝11a 4＝1或????? a 2＝1，a 4
＝11. 当?????
a 2＝11a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5) ＝－5n ＋21.
[
当????? a 2＝1a 4＝11
时，a 1＝－4，d ＝5.
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.
【类题通法】
三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来进行等差数列的判定或有
关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．
【对点训练】
3．(1)已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.
(2)已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________. 解析：(1)因为8，a,2，b ，c 是等差数列，
所以????? 8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .∴????? a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.
(2)由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ·
∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.
答案：(1)5 －1 －4 (2)21
【练习反馈】
1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，公差d ＝3，则数列{a n }的通项公式为( )
A ．a n ＝3n －1
B ．a n ＝2n ＋1
C ．a n ＝2n ＋3
D ．a n ＝3n ＋2
解析：选A ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·3＝3n －1.
2．等差数列的前3项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )
A ．a n ＝2n －5
＝2n －3 C ．a n ＝2n －1
D ．a n ＝2n ＋1 }
解析：选B ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前3项，
∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.
∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，
∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.
3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a 1，公差为d ，
由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.
答案：3
4．已知：1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________． 解析：由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ①， {
y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10 ②，
由①，②可解得x ＝4，y ＝7.
答案：4,7
5．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；
(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.
解：(1)由题意，知????? a 1＋ 5－1d ＝－1，a 1＋8－1d ＝2.
解得?
???? a 1＝－5，d ＝1. (2)由题意，知????? a 1＋a 1＋6－1d ＝12，a 1＋4－1d ＝7.解得?????
a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
∴a 9＝2×9－1＝17.