(完整版)初中圆题型总结

圆的基本题型

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。

一、圆的性质及重要定理的考查

基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质

【例1】（江苏镇江）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ． （1）OCD ∠的平分线CE 交⊙O 于E ，连结OE ．求证：E 为弧ADB 的中点； （2）如果⊙O 的半径为1，3CD =， ①求O 到弦AC 的距离；

②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为1

2

． 【解析】（1）OC OE =Q ，E OCE ∴∠=∠ 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠． OE CD ∴∥．

又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=o ． E ∴为弧ADB 的中点．

（2）①CD AB ⊥Q ，AB 为⊙O 的直径，3CD =

13

22CH CD ∴==．又1OC =，3

32sin 1CH COB OC ∴∠===．

60COB ∴∠=o ， 30BAC ∴∠=o ．

作OP AC ⊥于P ，则11

22OP OA ==．

②3.

A

B

D

E O C

H

【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD 的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,⊙O 的半径为r ,弦心距为d ,弦长a 之间

的关系为2

222a r d ??

=+ ???.根据此公式,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可

以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形. 【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E 是圆O 上的点，

B 、

C 分别是劣弧A

D 的三等分点， 46BOC ∠=o ， 则AED ∠的度数为 ．

【解析】由B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又46BOC ∠=o ，所以∠AOD=138o.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED ∠＝69o. 点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 【强化练习】

【1】.如图，⊙O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=?，AD ，CE 分别是BC ，AB 上的高，且AD ，CE 交于点H ，求证：AH=AO

(1)如图，在⊙O 中，弦AC ⊥BD ，OE ⊥AB ，垂足为E ，求证：OE=1

2

CD

(2)如图，AC ，BD 是⊙O 的两条弦，且ACBD ，⊙O 的半径为12

，求AB 2＋CD 2

的值。

【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4. 和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆

（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠==o ，，求BD 的长．

【解析】（1）证明：连接OA ，DA Q 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠． OA OD ODA OAD =∴∠=∠Q ，．OAD EDA ∴∠=∠． OA CE ∴∥．

AE DE ⊥Q ，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=o o ，． AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD Q 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=o

． 3060DBC BDC ∠=∠=o o Q ，，120BDE ∴∠=o ． DA Q 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=o ． 30ABD EAD ∴∠=∠=o ．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=o o ，，

． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==o o ，，

． DE Q 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且

D

E C

B

O

A

D E C

B

O

A

O

E

D

C

B A

O

F

C

B

A

垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例2】（广东茂名）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E

，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ；

（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分） 【解析】（1）在△ABC 中，∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ．

∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ， ∴∠E =∠C ． 又∵∠ADB =∠C ， ∴∠ADB =∠E ．

（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线．

理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ． 又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ． ∴ DE 是⊙O 的切线．

（3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ，

则AF ⊥BC ，且BF =21

BC =3．

又∵AB =5，∴AF =4．

设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r 2＝32＋（4－r ）2 解得r ＝

825，∴⊙O 的半径是8

25． 【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.

【例4】 已知：如图7，点P 是半圆O 的直径BA 延长线上的点，PC 切半圆于C

点，CD ⊥AB 于D 点，若PA ：PC ＝1：2，DB ＝4，求tan ∠PCA 及PC 的长。

O

E

D

C B A

图7

证明：连结CB

∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B

∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB

∴AC：BC＝PA：PC

∴

∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°

又∵CD⊥AB

∴

∴AB＝AD＋DB＝5

∵

∴

【例5】已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

求证：（1）AC是⊙D的切线；

（2）AB＋EB＝AC

分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F

（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD ≌△CFD。

证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足

∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF

∴点D到AC的距离等于圆D的半径

∴AC是⊙D的切线

（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，

∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF

∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC

∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类

【例6】已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切

于点E，C为中点，连CE交AB于点F。求证：

分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。

即证∠PFE＝∠PEF。

证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，

∴∠CED＝90°

∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

∵PE为⊙O切线，E为切点

∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

证明二：如图9－1，连结AC、AE

图9－1

∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC

∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C

∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

【例7】（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O 于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

图10 图10－1 求证：①∠BAD＝∠CAG；

②AC·AD＝AE·AF

（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果

不成立，请说明理由。

证明：（1）①连结BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠AGC＝∠ADB＝90°

又∵ACDB是⊙O内接四边形

∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

②连结CF

∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB

∴∠DAE＝∠FAC

又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC

∴，∴AC·AD＝AE·AF

（2）①见图10－1

②两个结论都成立，证明如下：

①连结BC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AGC＝90°

∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC

∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

②连结CF

∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）

说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

【强化练习】

【1】（第22题）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

【2】（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

【3】（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．

（1）求证：△ABD≌△CDB；

（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．

【4】（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．

（1）求∠D的度数；

（2）若CD=2，求BD的长．

【5】（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

三、圆与圆的位置关系的考查

基础知识链接： 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．

【例1】 （甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）

A ．内含

B ．相交

C ．相切

D ．外离

【解析】 图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.

【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：

如果设两圆的半径为 1r 、

2r ,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表

【例2】（赤峰市）如图（1），两半径为r 的等圆⊙O 1和⊙O 2相交于M N ，

两点，

且⊙O 2过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交⊙O 1和⊙O 2于A B ，两点，连结NA NB ，．

（1）猜想点2O 与⊙O 1有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想NAB △的形状，并给出证明；

（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点

M 的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

【解析】解：（1）2O 在1O e 上 证明：∵⊙O 2过点1O ，12O O r ∴=． 又⊙O 1的半径也是r ，∴点2O 在⊙O 1上． （2）NAB △是等边三角形

证明：MN AB ⊥Q ，90NMB NMA ∴∠=∠=o ． BN ∴是⊙O 2的直径，AN 是⊙O 1的直径， 即2BN AN r ==，2O 在BN 上，1O 在AN 上． 连结12O O ，则12O O 是NAB △的中位线． 1222AB O O r ∴==．

AB BN AN ∴==，则NAB △是等边三角形． （3）仍然成立．

证明：由（2）得在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角为60o ．

在⊙O 2中弧MN 所对的圆周角为60o ．∴当点A B ，在点M 的两侧时， 在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角60MAN ∠=o ，在⊙O 2中弧MN 所对的圆周角

O 2

O 1

N

M

B

A 图（1）

O 2

O 1

N

M

B

A

图（2）

O 2

O 1

N

M

B

A

图（1）

O 2

O 1

N

M

B

A

图（2）

60

MBN

∠=o，

NAB

∴△是等边三角形．

注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙O

2过点

1

O，构建对称性知，

⊙O

1过O

2

，再证△NAB是等腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的

开放性．

四、圆与多边形的计算考查

基础知识链接：

1、圆与正多边形的关系的计算；

2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.

【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是

【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为π，易算得正方形的边长为2，正方形

面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是2

π

.

【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.

【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为

【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8π，图中的阴影面积为圆环面积的一半4π.

【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.

五、圆的综合性问题的考查

基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相

交于()()8006A B --，、，两点． （1）求出直线AB 的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得

ABC PDE S S ??=

10

1

？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=

∵()(),6,0,0,8--B A ∴???=-+-=.6,80b b k ∴?????

-=-=.6,

43b k

∴直线AB 的函数表达式为3

64

y x =--．

（2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。又设对称轴与x 轴相交于点N ，在直角三角形AOB 中，

.10682222=+=+=OB AO AB

因为⊙M 经过O 、A 、B 三点，且为AB AOB ∴=∠,90ο⊙M 的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO 的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC -MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为c bx ax y ++=2

则?

???

???

-=-=-=∴???

????=-+-=-=-.6,4,21.6,4162,42c b a c c b a a b ∴所求抛物线为21

462

y x x =---

（3）令，0.6421

2=---x x 得D 、E 两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以

DE=4．

又AC=∴=,54,52BC 直角三角形的面积.2054522

1

=??=?ABC S 假设抛物线上存在()1,2010

1

21101,±=∴?=??=??y y DE S S y x p ABC PDE

，即使得．

当.641;241±-=-=±-==x y x y 时，当时，故满足条件的存在．它们是

()()()()

123442,1,42,1,46,1,46,1P P P P -+---+----．

【点评】 本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图

形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式； 【例2】（第27题）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是

上异于A ，C 的一个动点，

射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ． （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，

=

，求PD 的长；

（3）在点P 运动过程中，设

=x ，tan∠AFD=y，

求y 与x 之间的函数关系式．（不要求写出x 的取值范围）

圆的综合题

（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．

（2）求PD 的长，且此线段在上问已证相似的△PDF 中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD 可求．

（3）因为题目涉及∠AFD 与也在第一问所得相似的△PDF 中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB 得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G 点作AB 的垂线，若此线过PB 与AC 的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC 相似可用AG 表示∠PBG 所对的这条高线．但是“此线是否过PB 与AC 的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P ，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB 与AC 的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的

辅助线作法，先做垂线，得交点H ，然后连接交点与B ，再证明

∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C 、D 关于AB 对称，可以延长CG 考虑P 点的对

称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路． （1）证明：∵

，

∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣

所对的圆周

角=

所对的圆周角=∠APC．

在△PAC 和△PDF 中，

，

∴△PAC∽△PDF．

（2）解：如图1，连接PO，则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、

△AEF都为等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，

∵AC=2BC，

∴AB2=BC2+AC2=5BC2，

∵AB=5，

∴BC=，

∴AC=2，

∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2，

AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴EF=AE=4，

∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．

∵△APO为等腰直角三角形，AO=?AB=，

∴AP=．

∵△PDF∽△PAC，

∴，

∴，

∴PD=．

（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，

∵HC⊥CB，GH⊥GB，

∴C、G都在以HB为直径的圆上，

∴∠HBG=∠ACQ，

∵C、D关于AB对称，G在AB上，

∴Q、P关于AB对称，

∴，

∴∠PCA=∠ACQ，

∴∠HBG=∠PCA．

∵△PAC∽△PDF，

∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，

∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．

∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，

∴y==x．

本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，

但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，

学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．

【例3】（第24题）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD 交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG 与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求证：四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

第3题图

考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有

专题：压轴题．

分析：（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得

BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．

（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．

（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S

△EGF

，只需求出FG，就可得到S与x之间的函

数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S

△GEF ﹣S

△SGR

，只需求出SG、RG，就可得到

S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S．

解答：解：（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．

∵HP∥AB，

∴∠ANH+∠BAD=180°．

∴∠ANH=90°．

∴H N=PN=HP=．

∵OH=OA=，

∴sin∠HON==．

∴∠HON=60°

∵BD与⊙O相切于点H，

∴OH⊥BD．

∴∠HDO=30°．

∴OD=2．

∴AD=3．

∴BC=3．

∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．

∴tan∠BDA===．

∴AB=3．

∵HP=3，

∴AB=HP．

∵AB∥HP，

∴四边形ABHP是平行四边形．

∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，

∴BA与⊙O相切于点A．

∵BD与⊙O相切于点H，

∴BA=BH．

∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△E FG的直角顶点G能落在⊙O上．

如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，

∴∠FEC=∠CDB．

∵∠CDB=90°﹣30°=60°，

∴∠CEF=60°．

由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．

∴∠GED=60°．

∵CE=x，

∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．

∴cos∠GED===．

∴x=2．

∴GE=2，ED=1．

∴GD=．

∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．

∴OG=OM．

∴点G与点M重合．

此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．（3）①如图①，

在Rt△EGF中，

tan∠FEG===．

∴FG=x．

∴S=GE?FG=x?x=x2．

②如图③，

ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，

GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．

∵tan∠SRG===，

∴SG=（x﹣2）．

∴S

△SGR

=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）．=（x﹣2）2．

∵S

△GEF

=x2，

∴S=S

△GEF ﹣S

△SGR

=x2﹣（x﹣2）2．

=﹣x2+6x﹣6．

综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．

当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°

∴∠AQF=∠CFG=60°．

∵OT=，

∴OQ=2．

∴AQ=+2．

∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，

∴四边形ABFK是矩形．

∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．

∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．

在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．

∴FK=QK．

∴3=（2﹣2+x）．

解得：x=3﹣．

∵0≤3﹣≤2，

∴S=x2=×（3﹣）2

=﹣6．

∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．

点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．

【例4】（第23题）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C 与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．

（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

圆的综合题．.

（1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径

定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，

则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所

以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与

⊙O相切；

（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，

于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）如图2，连结OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，

根据勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）

2=（r）2，利用等式的性质得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，则HE=r

﹣r=r，在Rt△OAH中，根据勾股定理计算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，

而F是AB的四等分点，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可计算出

EF=r，然后利用（2）中的结论可计算出EC．

（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，

∵E是弧AB的中点，

∴OE⊥AB，

∴∠EHF=90°，

∴∠HEF+∠HFE=90°，

而∠HFE=∠CFD，

∴∠HEF+∠CFD=90°，

∵DC=DF，

∴∠CFD=∠DCF，

而OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，

∴OC⊥C D，

∴直线DC与⊙O相切；

（2）解：连结BC，

∵E是弧AB的中点，

∴弧AE=弧BE，

∴∠ABE=∠BCE，

而∠FEB=∠BEC，

∴△EBF∽△ECB，

∴EF：BE=BE：EC，

∴EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）解：如图2，连结OA，

∵弧AE=弧BE，

∴AE=BE=r，

设OH=x，则HE=r﹣x，

在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，

在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，

∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，

∴HE=r﹣r=r，

在Rt△OAH中，AH===，

∵OE⊥AB，

∴AH=BH，

而F是AB的四等分点，

∴HF=AH=，

在Rt△EFH中，EF===r，∵EF?EC=r2，

∴r?EC=r2，

∴EC=r．