2018届九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似课件新版新人教版
人教版九年级下册数学27.2.1 两角分别相等的两个三角形相似教案与反思
27.2.1 相似三角形的判定古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春第4课时两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B ＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDDE，∴xx－3＝32，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】添加条件证明三角形相似如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝可以得出△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝AEAB.方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】相似三角形与圆的综合应用如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦E 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计 1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
人教版数学九年级下册(新) 说课课件：27.2《相似三角形》(共21张PPT)
∵∠C＝∠C′， ∠A＝∠A′
∠A=∠
∴△ABC∽△A′B′C′
,
如果两个三角形仅有一对角对应相
图 18.3.3 等的，那么它们是否一定相似？
例题解析：
判断题：
⑴所有的等腰三角形都相似。
⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 ⑶所有的等边三角形都相似。 ⑷所有的直角三角形都相似。
B B
E
C
随堂练习 p 73
通过练习１，得到要说明三角形相似需要证明
对应边，对应角的关系；通过练习２，强调相
似三角形中的对应问题．
若给定两个三角形,你有什么办法来判断它们是否相 似? １．通过定义
２．通过平行线
是否存在识别两个三角形相似的简便方法呢？
观察你与老师的直角三角尺,会相似吗？ 这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？ 三个内角对应相等。
注意：相似比具有顺序性噢！
３．全等三角形：形状和大小都相同的三角形称
为全等三角形。 全等三角形是相似三角形的特例。
如下图所示， △ ABC中，D为边AB上任一点，作 DE∥BC，交边AC于E，那么△ ADE与△ABC相似吗？ 为什么？
A D
平行于三角形一边的直线截其它 两边或两边的延长线，所得的三 角形和原三角形相似！
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
( 8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
其中，最为简单的相似图形是什么？
§18.３ 相似三角形
A
D C F
B
E
一、相似三角形
1、概念：三条边对应成比例，三个角对应 相等的两个三角形叫相似三角形。 A D
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
人教版九年级数学下册 第27章 相似 相似三角形 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定(1)
是( C )
A．23
B．1 C．32
D．2
平行线分线段成比例的基本事实及推论
DE
DE
2．(8分)如图，若l3∥l4∥l5，则有
AB BC
＝___E__F______，
AB AC
＝____D_F_____，
EF
BC AC
＝____D__F___.若a＝2，b＝3，则c∶d＝___2_∶__3____．
(变式)如图，已知AB∥CD∥EF，有如下说法：其中正确的有_③___． ①ADDF ＝BBCE ；②DAFF ＝EBCC ；③ABFE ＝ABDC ；④DCEF ＝ABDC .
4．(4分)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是( C )
3．(8 分)(教材 P34 练习 T1 变式)依据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相
似，并说明理由． (1)AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，A′C′＝8，B′C′＝16； (2)BC＝2，AC＝3，AB＝4，B′C′＝ 2 ，A′C′＝ 3 ，A′B′＝2.
解：(1)∵AA′CB′ ＝18 ，AA′CB′ ＝11.25 ＝18 ，BB′CC′ ＝126 ＝18 ，∴AA′BC′ ＝AA′BC′ ＝BB′CC′ ，
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5．(4分)如图，下面是四位同学用无刻度直尺在网格中画的钝角三角形，其中 会相似的两个三角形是( D ) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
6．(4 分)如图，在△ABC 和△ACD 中， AC＝ 6 ，AD＝2，AB＝3，BC＝ 3 ， 当 CD＝___2_时，△ABC∽△ACD.
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
九年级下期第27章相似三角形电子教材1(word版)
第27章图形的相似 (2)§27.1 相似的图形 (3)§27.2 相似图形的性质 (5)1.成比例线段 (5)2.相似图形的性质 (6)阅读材料 (10)§27.3 相似三角形 (11)1.相似三角形 (11)2.相似三角形的判定 (12)3.相似三角形的性质 (16)4.相似三角形的应用 (17)阅读材料 (20)§27.4 中位线 ................................................. 错误！未定义书签。
§27.5 画相似图形 (22)阅读材料 (23)§27.6 图形与坐标 (24)1.用坐标确定位置 (24)小结 (28)复习题 (28)第27章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§27.1 相似的图形观察图27.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的.尽管它们大小不同，但形状相同.图24.1.1图27.1.1图27.1.2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的.由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的.图27.1.2日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）.同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形.放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的.图27.1.3所示的是一些相似的图形.图27.1.3观察图27.1.4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形.图27.1.4试一试如图27.1.5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好.图27.1.5练习1.观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子.2.你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题27.11.试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大.（第1题）2.观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？（第2题）§27.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_______________.图24.2.1概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.此时也称这四条线段成比例.例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35.解 （1） ∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段. （2） ∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段. 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc. 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =. 以上结论称为比例的基本性质.例2证明：（1）如果d c b a =，那么dd c b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-.证明（1）∵dcb a =，在等式两边同加上1，∴11+=+d cb a ， ∴ ddc b b a +=+. （2） ∵dc b a =， ∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-.练习1.判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4. 2.已知： 线段a 、b 、c 满足关系式cbb a =，且b ＝4，那么ac ＝______. 3.已知23=b a ，那么b b a +、ba a -各等于多少？ 2.相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图27.2.2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形.设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离.图24.2.2图27.2.2AB ＝______cm ， BC ＝______cm ； A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm.显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了. 计算可得B A AB ''＝________，C B BC''＝________. 我们能发现B A AB ''＝CB BC''.上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段.实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的.这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？ 图27.2.3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图27.2.3再看看图27.2.4中两个相似的五边形，是否与你观察图27.2.3所得到的结果一样？图27.2.4概括由此可以得到两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似.例 在图27.2.5所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小.图27.2.5分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角.解 ∵ 两个四边形相似，∴ 181218x ， ∴ x ＝27.∴ α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°.思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1.（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD；（第1题）（2）试指出图中成比例的线段.2.等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？3.下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示.（第3题）4.根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由.（第4题）5.如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由.（第5题）习题27.21.所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2.在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3.判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1.5厘米，2.5厘米，4.5厘米，6.5厘米； （3） 1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米.4.两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？5.如图所示的两个矩形是否相似？（第5题）6.在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形.7.已知：53=-b b a ，求b a的值. 8.已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db db c a c a -+=-+.阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前408—前355年）发现： 将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP 、PB ），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB （此时线段AP 叫做线段PB 、AB 的比例中项），则可得出这一比值等于0.618….这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点.自然界中的黄金分割连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑物，它是世界上最美丽的建筑之一为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点.自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中.但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了.文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0.618.不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好.有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比.就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割. 去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！§27.3 相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles ）.图27.3.1相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”.如图27.3.1所示的两个三角形中， ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AC CAC B BC B A AB ''=''=''. 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作 △ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”. 如果记A C CAC B BC B A AB ''=''=''＝k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.做一做如图27.3.2，△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似.图27.3.2我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，而∠A ＝∠A.通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE ∽△ABC. 如果取点D 为边AB 的中点，那么上题中△ADE 和△ABC 的相似比就为k ＝21. 当k ＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.练习1.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形.2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？（第1题）（第3题）3.右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案.2.相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图27.3.3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例.你能得出什么结论？图27.3.3我们可以发现，它们的对应边成比例，即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________.而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等.于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 思考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？图27.3.4例1 如图27.3.4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′.证明∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.例2 如图27.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.图27.3.5证明∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.练习1.找出图中所有的相似三角形.（第1题）（第2题）2.图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形.观察图27.3.6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图27.3.6图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31.将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝________AC 时，△ADE 与△ABC 相似.此时ABAD=__________.探 索如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似.这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.例3证明图27.3.7中△AEB 和△FEC 相似.图27.3.7证明∵5.13654==FE AE ， 5.13045==CE BE ， ∴ CEBEFE AE =. ∵ ∠AEB ＝∠FEC ，∴ △AEB ∽△FEC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）.探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了.做一做在图27.3.8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？图27.3.8我们可以发现这两个三角形相似.即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.例4在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知： AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm.试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.证明∵31186==''B A AB ， 31248==''C B BC ， 313010==''C A AC ， ∴ CA ACC B BC B A AB ''=''=''， ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）.练习1.依据下列各组条件，证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似.（1） AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，AC ＝16cm ，A ′B ′＝16cm ，B ′C ′＝12.8cm ，A ′C ′＝25.6cm ；（2） ∠A ＝∠80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°；（3） ∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A ′＝40°，A ′B ′＝16，A ′C ′＝30.2.在第1题小题（3）中，若BC ＝a ，∠B ＝α，试求出B ′C ′的长与∠B ′、∠C ′的大小.3.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，在图27.3.9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？图24.3.9图27.3.9△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似.那么k B A ABD A AD =''='' 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比. 图27.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图27.3.10（2）与（1）的相似比＝__________， （2）与（1）的面积比＝__________； （3）与（1）的相似比＝__________， （3）与（1）的面积比＝__________.从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k .我们猜想： 相似三角形的面积比等于相似比的平方.例5已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC='''∆∆.证明∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′，∴k D A AD =''，k CB BC=''， ∴ 22121k C B D A BCAD S S C B A ABC=''⋅''⋅='''∆∆思考图27.3.11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？图27.3.11可以得到的结论是____________________. 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？ 可以得到的结论是____________________.练习1.如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2.相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______.3.如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比.(第3题)4.相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.3.12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB.图27.3.12解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′.∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米），即该金字塔高为137米.图27.3.13例7如图27.3.13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D.此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB.解∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴CDBDEC AB =， 解得CD EC BD AB ⨯=1006050120=⨯=（米）.答： 两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例8如图27.3.14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C.求证： AD ²AB ＝AE ²AC.图27.3.14证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.∴ABAEAC AD ， ∴ AD ²AB ＝AE ²AC.练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长.（第2题）习题27.31. 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） 如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ； （2） 如图，∠AED ＝∠C ，△ABC 与△ADE.（第1题）2. 已知： △ABC 的三边长分别为5、12、13，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数.3. 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形.4. 依据下列各组条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是不是相似，如果相似，请给出证明过程.（1） ∠A ＝70°，∠B ＝46°，∠A ′＝70°，∠C ′＝64°；（2） AB ＝10厘米，BC ＝12厘米，AC ＝15厘米，A ′B ′＝150厘米，B ′C ′＝180厘米，A ′C ′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC 上的高AD=7，∠B ′=35°，B ′C ′=5，B ′C ′上的高A ′D ′=3.5.5. 已知在等腰△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A 、∠A ′分别是顶角.试依据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） ∠A ＝∠A ′.（2） ∠B ＝∠B ′（或∠C ＝∠C ′）.6. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h.（第6题）阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分.你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线.现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段.如果你没有练习本，那也没有关系.让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情.图1图2如图2，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段1AA 、21A A 、32A A 、43A A 、54A A ，连结5BA ，再过1A 、2A 、3A 、4A 分别画5BA 的平行线，这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等分.你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了. 现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分.相似三角形与全等三角形“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言.就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等.相似是全等的拓展，全等是相似的特例.人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊.本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似.因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到. 例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.即在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，可以推出△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明: （1） 若AB ＝A ′B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，结论成立. （2） 若AB ≠A ′B ′.不妨设AB ＞A ′B ′.在△ABC 的边AB 、AC 上，分别截取AD ＝A ′B ′，AE ＝A ′C ′， 又∵ ∠A ＝∠A ′，∴ △ADE ≌△A ′B ′C ′， 于是∠B ′＝∠ADE.∠B ＝∠B ′， ∠B ＝∠ADE ， DE ∥BC.BC 边上的高AG 交DE 于点F ，于是AF ⊥DE. ∴ DBCE AD E ABC S S S 梯形+=∆∆，即)()(212121AF AG BC DE AF DE AG BC -⋅++⋅=⋅. 化简得 DE ²AG ＝BC ²AF ， 即AFAGDE BC =. 因此AFAGDE BC AF DE AGBC S S S S ADE ABC C B A ABC ⋅=⋅⋅==∆∆'''∆∆212122)()(CB BC DE BC ''==.同理可证22)()(C A AC B A AB S S C B A ABC ''=''='''∆∆.∴C B BC C A AC B A AB ''=''=''. 又∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.这里的证明，实际上就是将△A′B′C′运动变换到△ABC内的△ADE处，得到DE∥BC，再研究△ADE与△ABC的关系.试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！§27.4 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变.下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法.现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5.我们可以按下列步骤画出图27.4.1：图27.4.11.任取一点O；2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3.分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；4.连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′.探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图27.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图27.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′.图27.4.2 图27.4.3实际上，如图27.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便.练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍.习题27.4任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形. （1） 相似比为21；（2） 相似比为2.5.阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形.然后以其两腰代替底边.再将六角形的每边三等分，重复上述的作法.如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线.图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似.只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去.观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形.图2图3是五边形的一幅自相似图形.图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等.现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何.如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术.图5§27.5 图形与坐标1.用坐标确定位置图27.5.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图27.5.1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4， 5）、（0， 3）.目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点.利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地.请你在图中画出目的地的位置.试一试图27.5.2是某乡镇的示意图.试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图27.5.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置.现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等.右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置.例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方.根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：图27.5.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置.这种方式在军事和地理中较为常用.练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）.试借助刻度尺、量角器解决下列问题.（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米.2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图27.5.4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′.三个顶点的坐标有什么变化呢？图27.5.4解△AOB的三个顶点的坐标是A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）.平移之后的△A′O′B′对应的顶点是A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）.沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.思考在图27.5.5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB.对应顶点的坐标有什么变化？。
仙游县第四中学九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3课时由两
14．已知抛物线 y＝14 x2＋1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定 点 F(0，2)的距离与到 x 轴的距离始终相等．如图，点 M 的坐标为( 3 ，3)， P 是抛物线 y＝14 x2＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__5__．
15．(5 分)能否通过适当地上下平移二次函数 y＝13 x2 的图象，使得到 的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能， 说明理由．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
（三）解答题(共42分) 12．(12分)(杭州中考)如下图 , 在△ABC中 , AB＝AC , AD为BC边上的 中线 , DE⊥AB于点E. (1)求证 : △BDE∽△CAD ; (2)假设AB＝13 , BC＝10 , 求线段DE的长．
17．(10 分)如图，抛物线 y＝－34 x2＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与直线
y＝－34 x＋b 相交于 B，C 两点，连接 A，C (1)令 y＝0，则－34 x2＋3＝0， 解得 x＝±2，∴点 B 的坐标为(2，0)， 代入 y＝－34 x＋b 得 b＝32 ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝－34 x＋23
，∴AD＝2
5
（一）选择题(每道题6分 , 共12分) 9．(牡丹江中考)如下图 , 在矩形ABCD中 , AB＝3 , BC＝10 , 点E在BC 边上 , DF⊥AE , 垂足为F.假设DF＝6 , 那么线段EF的长为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
10．如下图 , AB为⊙O的直径 , BC为⊙O的切线 , 弦AD∥OC , 直线CD
届九年级数学下册 第27章 图形的相似 27.1 图形的相似课件 (新版)新人教版.ppt
18cm
78° B
83° C
F
α
G
16
新知讲解
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相等．由此可得
EHEF,即x =24, AD AB 21 18
解得 x＝28cm.
x
H
21cm
D
A
β
E 118°
24cm
18cm
78° B
83° C
F
α G
17
新知讲解
练一练
1.下列图形中能够确定相似的是（ ABDF） A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形
an
分析：已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应
角相等，以及对应边的比相等.
13
新知讲解
…
a1
a2
a3
an
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
问题：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
14
新知讲解
典例精析
例1.如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.
H x
21cm
D
A
β
E 118°
24cm
18cm
78°
83°
B
C F
α G
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新知讲解
解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得 ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118° 在四边形ABCD中，
∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.
H x
21cm
D
A
β
24cm
E 118°
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版
【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站 在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地 面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他 又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应 边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出 未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再 选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点 下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了 一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点， 若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小 明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．