浙教版数学八下4.1多边形(2)精品教学设计
2023八年级数学下册第4章平行四边形4.1多边形(1)教案(新版)浙教版
此外，我还将引导学生将多边形的知识应用于实际问题中，使其能够运用数学建模的方法，将实际问题抽象为多边形模型，并运用多边形的性质解决问题，从而提升其数学建模的能力。总之，通过本章节的教学，我希望学生能够提升其几何直观、逻辑推理和数学建模的核心素养。
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与多边形相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对多边形的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于多边形的短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够准确地定义多边形，理解多边形的概念和基本性质。
-学生能够识别和分类不同类型的多边形，并掌握它们的特征。
-学生能够运用多边形的性质解决一些实际问题，如计算多边形的面积、周长等。
2.过程与方法：
-学生能够通过观察、分析和推理，探索多边形的性质和规律。
重点难点及解决办法
本章节的重点是理解并掌握多边形的概念、性质及其分类，以及能够运用多边形的知识解决实际问题。难点主要是学生对于多边形的性质的理解和运用，以及如何将多边形的知识应用于实际问题的解决中。
为了解决这些重点难点，我将采用以下方法：
浙教版本初中八年级的数学下册的4.1多边形同步练习包括答案.docx
A 练就好基础4.1多边形 (2)基础达标1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(A)A ．四边形B．五边形C．六边形 D ．八边形2．十边形的内角和为 ( B)A ．1260°B． 1440°C． 1620° D ． 1800°3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( C)A ．270°B ． 630°C． 720° D ． 1920°4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( C )A ．6 B． 7C． 8 D． 95．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了 5 个三角形，则这个多边形是 ( C )A ．五边形B．六边形C．七边形 D ．八边形6．从多边形一个顶点出发共可画3 条对角线，这个多边形是__六 __边形．7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶ 3，则这两个多边形的边数分别是4， 8 ．8．如图所示，在五边形 ABCDE 中，∠ A＋∠ B＋∠ E＝ 300°， DP， CP 分别平分∠ EDC，∠ BCD ，则∠ P＝__60°__．9．如图所示，∠ 1 是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1＝65°，则∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠ D ＝ __425° __．10．如图所示，在五边形 ABCDE 中， AE⊥ DE，垂足为点 E，∠ D＝ 150°，∠ A＝∠ B，∠ B－∠ C＝ 60°，求∠A 的度数．【答案】∠ A 是 120° .B更上一层楼能力提升11．将图 1 中五边形纸片 ABCDE 的 A 点以 BE 为折线往下折， A 点恰好落在 CD 上，如图 2 所示，再分别以图 2 的AB，AE 为折线，将 C，D 两点往上折，使得 A， B，C，D，E 五点均在同一平面上，如图 3 所示，若图 1 中∠ A＝124°，则图 3 中∠ CAD 的度数为 ( D )A ．56° B． 60° C．62° D ．68°12． 2018 ·南京如图，五边形 ABCDE 各个内角的度数相等．若l 1∥ l2，则∠ 1－∠ 2＝ __72° __．13．已知 n 形木板的一个外角与其内角和的和 660°，当木工傅掉木板的一个角后，所得的多形的内角和__360°或 540°或 720° __．14．如所示，一精密的模板中， AB， CD 的延相交成 80°的角，因交点不在模板上，不便量，得∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°， AE⊥ EF ， CF⊥ EF ，此 AB， CD 的延相交成的角是否符合定？什么？第 14第 14 答解： AB 与 CD 的延交于点G，如．∠ A＋∠ E＋∠ F＋∠ C＋∠ G＝ 540° .∵AE⊥ EF， CF ⊥ EF，∴∠ E＝∠ F＝ 90° .∵∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°，∴∠ G＝ 540°－ (124°＋ 155°＋ 90°× 2)＝ 540°－ 459°＝ 81° .∵ 81°≠ 80°，∴不符合定．15．已知 n 形的内角和θ＝(n－2)× 180° .(1)甲同学，θ能取 360°；而乙同学，θ也能取630° .甲、乙的法？若，求出数n；若不，明理由．(2)若 n 形 (n＋ x)形，内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解： (1) ∵ 360°÷ 180°＝ 2， 630°÷ 180°＝ 3⋯⋯ 90°，∴甲的法，乙的法不．360°÷ 180°＋ 2＝ 2＋ 2＝4.∴甲同学的数n 是 4.(2)依意，有(n＋ x－ 2)× 180°－ (n－ 2)× 180°＝ 360°，解得 x＝2.故 x 的是 2.C开拓新思路拓展新16．和数学小的同学研究多形角的相关，邀你也加入其中．仔察下面的形和表格，并回答下列：多形的点数4567⋯n从一个点出的1234⋯①角的条数多形角的25914⋯②条数(1) 【察探究】自己察上面的形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；② ________；(2)【实际应用】 数学社团共分为 6 个小组，每组有 3 名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学 之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)【类比归纳】 乐乐认为 (1) 、 (2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你 的发现． 解： (1) 由题可得，当多边形的顶点数为 n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为n － 3，多边形对角线的总条数为 1n( n －3) ；21答案： n － 3， n(n －3) ；2(2)∵ 3× 6＝ 18，1× 18× (18－ 3) ＝135(个 )；∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话2(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有 n 个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n － 3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为12n(n － 3) ；数学社团有 18 名同学，当 n ＝ 18 时， 1× 18× (18－ 3)＝ 135.2。
数学八下《4.1 多边形》PPT课件 (10)
多边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的一
些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。
对角线：
连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做 多边形的对角线。
请画出下列图形的一条对角线：
……
三角形 四边形 五边形 六边形
n边形
……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形
对角线 是解决多边形问题的常用辅助线
例1、一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，
求∠A＋∠C＋∠E的度数。 解：如图所示，连结AD，
∵AB∥DE， CD∥AF（已知） ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 （两直线平行，内错角相等） F
E
1
D
2
C
4
3
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
A
B
P
1 D
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F ∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F =（6－2）×180°= 720° ∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360 3° 思考：有没有其它的解法？
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°
练一练
1、已知六边形的各内角相等，问各内角、外角分别 是多少度？
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角 线?
练一练
3、如图，点E，F，G，H在长方形ABCD的四条边上，
1440 °360 ° 1、求十边形的内角和与外角和。
2、已知一个多边形的内角和为900°，这个 多边形是几边形？ 七边形 3、已知一个多边形的内角和为1080° ，问 这个多边形是几边形？ 八边形 4、已知一个多边形的每一个外角都是72°， 求这个多边形的边数。 五边形 o 5、在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90 ,且 o 80 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
八年级数学下册 4_1 多边形 第1课时 四边形的内角和课件 (新版)浙教版
7 ． 如图 ， ∠ 1 ， ∠ 2 分别是四边形 ABCD 的外角 ， 且∠ B ＋∠ ADC ＝
140°，则∠1＋∠2＝( A ) A．140° B．40°
C．260° D．不能确定
8．如图①是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°.如果
将其右下角向内折出△PCR，如图②所示，恰使CP∥AB，RC∥AD， 则∠C的度数为( ) C
数； (4)在(3)的条件下，若延长BA，CD交于点F(如图④)，将原来条件“∠A
＝ 145° ， ∠ D ＝ 75°”改为“∠ F ＝ 40°” ， 其他条件不变 ， ∠ BEC 的
度数会发生变化吗？若不变 ， 请说明理由；若变化 ， 求出∠ BEC 的度 数．
解 ： (1)∠C ＝ 70 °
(2)∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠CBE ， ∵
解：(1)∵∠ADB＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠CBD＝90°，且 ∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC (2)∵∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝180°，∠EDC＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC＝∠EDC
11．一个长方形木块，截去一个三角形后不可能得到的多边形是( D )
A．105° B．100° C．95° D．90°
9．如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，r为半径作圆，则 图中阴影部分的面积是____ πr2 ．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BD平分∠ABC，E
是AD延长线上一点．
(1)求证：DB平分Байду номын сангаасADC； (2)求证：∠ABC＝∠EDC.
知识点1：多边形的有关概念
6 条对角线，它们将该九边形 1．从九边形的一个顶点出发一共能引____ 7 个三角形． 分割成____
5.1八下浙教版多边形(2)
这节课你学到了什么? 还有什么困惑？
小结:
1.“三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）
2. 一种重要数学思想方法（转化思想）
对角线是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问（已知）
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3) n边形共有对角线
CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
如图所示：可向两个方向分别延长AB， CD，EF三条边，构成△PQR。
P 1 D C
解：∵ DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R ∴∠1＝∠2， ∴∠CDE=∠FAB
E
F
Q 2 B
同理∠AFE＝∠BCD，∠ABC=∠DEF A
R
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE= （6-2）×180°=720°
6
… n
从上表中得到了什么结论？
结论：n边形的内角和为： （n－2）×180°(n≥3).
１、一个十边形的内角和是1440 度。 ２、如果一个多边形的内角和是900度，那么 这是 七 边形。
多边形的外角和
多边形 三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
1 ×720°=360° ∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 2
拓展一：一个六边形如图，已知 BA∥DE ， ∠B= ∠ E，∠C=∠F
（1）求证：CD∥AF
（2）求∠A＋∠C＋∠E的度数．
E
1 2
D C
F
4
3
A
B
拓展二：六边形ABCDEF的
浙教版初中数学八年级下册 4.1《多边形(1)》导学案
浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！4.1 多边形（1）导学案【学习目标】1．经历四边形内角和定理的发现过程，理解四边形内角和定理的证明．2．会四边形的内角和定理、外角和定理解决简单的图形问题．3．体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想．【重点难点】重点：四边形内角和定理．难点：如何找到四边形内角和定理的证明思路．课前导学—学有准备，轻松在课堂一、学前准备【问题1】如图1，指出四边形ABCD的四条边：，四个角：．【问题2】做一做（同桌的两个同学可以合作）：用直尺任意画一个四边形，然后剪下它的四个角，再把剪下的四个角拼在一起（让四个角的顶点重合），把你的发现概括成一个命题。
我发现了：．概括为命题：．【问题3】影视明星李连杰小时候有个习惯，每天清晨他都会沿一个四边形广场的街道跑步，这个习惯他一直坚持了11年．假设李连杰每次跑步时都是从A处出发，按逆时针方向跑的，如图2所示．（1）小李每从一条街道转到下一个街道时，身体转过的角是哪个角?请在图2中标出它们．（2）小李每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少?说说你的思路．课堂导学—合作、展示、交流，智慧之花结丰硕之果 例1．求证：四边形的内角和等于． o 360已知： 求证： 推理过程：例2．求证：四边形的外角和等于． o 360例3．四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ，且∠A ∶∠C ＝3∶1．求四边形ABCD 四个内角的度数．当堂小结—思维导图，所学内容你掌握了吗？！达标检测—认真谨慎，考虑周到是关键 【基础达标】1．已知四边形ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠D ＝，则∠B o 70＝．2．在四边形ABCD 中，∠A ＝，∠B ∶∠C ∶∠D ＝2∶3∶4，则∠C 的度o 90数分别是．3．四边形四个内角的度数之比是1∶2∶3∶4，则相对应的四外角的度数之比是．4．如图，以四边形ABCD 四个顶点为圆心，3为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．【拓展提高】5．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ，∠ABC 的平分线交于点O ． （1）若∠C +∠D ＝，求∠AOB 的度数． o 150（2）若∠C +∠D ＝n o ，求∠AOB 的度数．图3相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
浙教版八年级下测试题4.1 第2课时 多边形的内角和
第2课时多边形的内角和1．[2013·宁波]一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为(A)A．5B．6C．7 D．82．[2013·烟台]一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为(D) A．5 B．5或6C．5或7 D．5或6或7【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n－2)·180＝720，解得n ＝6，则原多边形的边数为5或6或7.3．[2013·泰安]如图4－1－4，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)图4－1－4A．90°B．180°C．210°D．270°【解析】∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝180°.根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.4．[2013·娄底]一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__6__．5．已知一个多边形的每个外角都相等，且每个外角比与它相邻的内角小100°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为n，则360°n＝（n－2）×180°n－100°，解得n＝9.答：这个多边形的边数为9.6．在一个多边形的内角中，锐角不能多于(B) A．2个B．3个C．4个D．6个【解析】内角是锐角，则外角是钝角，而外角和为360°，故外角是钝角的最多有3个，则内角是锐角的最多有3个．选B.7．凸n边形的对角线的条数记作a n(n≥4)，例如：a4＝2，那么：①a5＝__5__；②a6－a5＝__4__；③a n＋1－a n＝__n－1__(n≥4，用含n的代数式表示)．8．如图4－1－5，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．图4－1－5解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.第8题答图又∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＋∠ADC ＝150°. ∵CD ∥AF ，∴∠CDA ＝∠DAF .又∵∠CDE ＝∠BAF ，∴∠EDA ＝∠BAD . 在四边形ADEF 中，∠DAF ＋∠EDA ＋∠F ＋∠E ＝360°， ∴∠F ＋∠E ＝360°(∠ADC ＋∠BAD )＝210°. 又∵∠E ＝80°，∴∠F ＝130°.9. (1)如图4－1－6(1)，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数． (2)如图4－1－6(2)，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．(1) (2)图4－1－6解：(1)在四边形BCDM 中，∠C ＋∠B ＋∠D ＋∠2＝360°，在四边形MEFN 中，∠1＋∠3＋∠E ＋∠F ＝360°. ∵∠1＝∠A ＋∠G ，∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝360°＋360°－180°＝540°. (2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.。
八下数学第四章教学目标,教学重难点
4.1多边形（1）一.教学目标：1.使学生理解四边形的有关概念.2.使学生掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用. 3．体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想.二.教学重点：四边形内角和定理.三.教学难点：四边形内角和定理的证明思路.4.1多边形（2）一.教学目标：1.探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法,掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°.2.会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题.二.教学重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式.三.教学难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点.4.2平行四边形（1）一.教学目标：1.了解平行四边形的概念，会用符号表示平行四边形。
理解“平行四边形的对角相等”的性质，并初步运用性质进行有关的论证和计算。
了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.2.培养学生严谨、科学的学习态度，勇于探索、创新的精神，并对学生进行由一般到特殊的辨证唯物主义观点教育.二.教学重点：平行四边形的定义和定义在证明中的应用.三.教学难点：本节范例的证明方法思路不易形成.4.2平行四边形的性质（2）一.教学目标：1.掌握“平行四边形的两组对边分别相等”的性质定理,会用平行四边形的上述性质定理解决简单的几何问题.2.掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”,“夹在两条平行线间的垂线段相等”.二.教学重点：平行四边形的性质定理“平行四边形的两组对边分别相等”.三.教学难点：例1涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程.4.2平行四边形的性质（3）一.教学目标：1.掌握平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”,会应用平行四边形的上述定理解决简单几何问题.2.通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程.二.教学重点：平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”.三.教学难点：例3比较复杂，并要求一题多解.4.3中心对称一.教学目标：1.了解中心对称的概念,了解平行四边形是中心对称图形，掌握中心对称的性质,灵活运用中心对称的性质，会作关于已知点对称的中心对称图形.2.通过提问、讨论、动手操作等多种教学活动，树立自信，自强，自主感，由此激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心.二.教学重点：中心对称图形的概念和性质三.教学难点：范例中既有新概念，分析又要仔细、透彻，是教学的难点.4.4平行四边形的判定（1）一.教学目标：1.平行四边形的判定定理及应用;会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题；会根据条件来画出平行四边形.2.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二.教学重点：平行四边形的判定定理（一）及应用.三.教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.4.4平行四边形的判定（2）一.教学目标：1.掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形；会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.2.在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识.二.教学重点：平行四边形的判定定理.三.教学难点：例2的证明步骤较多，且要综合运用平行四边形的判定定理和性质定理.4.5三角形的中位线一.教学目标：1.了解三角形的中位线的概念,了解三角形的中位线的性质.2.探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用.二.教学重点：三角形的中位线定理.三.教学难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法.4.6反证法一.教学目标：1．通过实例，体会反证法的含义．2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法．二.教学重点：本节教学的重点是反证法的含义和步骤．三.教学难点：课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点．。
浙教版八下《多边形》课件
详细描述
多边形的内角和定理指出，一个n边形的内角和等于(n-2)×180°。这个定理可 以通过将多边形划分为三角形来证明，利用三角形内角和为180°的性质，可以 推导出多边形的内角和公式。
外角和定理
总结词
多边形的外角和定理是数学几何学中的基本定理之一，它指出多边形的外角和恒等于 360°。
详细描述
多边形的内角和与外角和定理在几何学中有着广泛的应用， 例如在计算角度、证明定理、解决几何问题等方面。这些定 理为解决各种几何问题提供了重要的工具，是数学几何学中 的基础知识点。
05
多边形的镶嵌与拼图
用多边形进行平面镶嵌
平面镶嵌原理
利用多边形的内角和特性，通过合理排列，使得每个多边形的内 角恰好拼接在一起，形成完整的封闭图形。
特殊多边形的性质
04 具有高度的对称性和规则性，各
边和内角相等，具有特定的几何
美感。
03
多边形的面积计算
面积公式推导
三角形面积公式
通过将三角形划分为两个 相同的小三角形，然后利 用矩形面积公式推导出三
角形面积公式。
矩形面积公式
直接利用定义进行推导， 即长度乘以宽度。
平行四边形面积公式
通过将平行四边形划分为 两个相同的小三角形，然 后利用三角形面积公式进
至少有一个内角大于180 度的多边形。
凸多边形
所有内角都小于180度的 多边形。
凸多边形的特性
所有内角都小于180度， 相对较为平直，没有明显 的凹陷或凸起。
凹多边形的特性
至少有一个内角大于180 度，形状相对较为弯曲， 有明显的凹陷或凸起。
浙教版数学八下第4章 平行四边形
第4章平行四边形4.1 多边形（1）重点提示：（1）利用对角线可以将四边形分割成两个三角形，从而将四边形的问题转化为三角形解决. （2）四边形的内角和等于360°，外角和等于360°.【夯实基础巩固】A．70° B．90°C．110°D．140°3．在四边形ABCD中，若∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，∠B比∠D大15°，5．如图所示，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC，∠DCB的平分线相交于点O，的度数为50°．7．如图所示，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2=140度．8．如图所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么∠EDF=105度．9．如图所示：AB∥CD，∠B=61°，∠C=35°．求∠1和∠A的度数．∵AB∥CD，∴∠1=∠B=61°．∴∠BDC=180°﹣∠1=119°.∵∠C=35°，∴∠A=360°﹣∠B﹣∠BDC﹣∠C=360°﹣61°﹣119°﹣35°=145°．10．一个四边形的周长是46，已知第一条边长是a，第二条边长比第一条边长的三倍还少5，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子.（2）当a=7还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？（1）56﹣8a（2）当a=7时不是四边形.理由如下：∵此时第四条边56﹣8a=0，∴只剩下三条边，三条边长分别为a=7，3a﹣5=16，4a﹣5=23. ∵7+16=23，∴图形是线段．∴当a=7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【能力提升培优】12．如图所示，在四边形ABCD中，点F，E分别在边AB，BC上，将△BFE沿FE翻折，喷水池面积和为106π（结果保留π）．15．如图所示，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠D=81°．若沿EF折叠四边形，使点A，B 分别落在四边形内部的点A′，B′处，则∠1+∠2=54°．16．如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，则∠ADO+∠ABO=135°．17．如图所示，四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD 的平分线交于点F．（1）若∠F=80，则∠ABC+∠BCD=，∠E=.（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由.（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F，你所添加的条件是．（1）200°100°（2）∠E+∠F=180°．理由如下：∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，又∵四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F，∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°.∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°.∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°.（3）AB∥CD．18．如图所示，在四边形ABCD中，点F为∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线的交点，设∠A=α，∠D=β.（1）如图1所示，若α+β＞180°，试用α，β表示∠F.（2）如图2所示，若α+β＜180°，请在图中画出∠F，并用α，β表示∠F.（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．【中考实战演练】19．若四边形的四个内角之比是1：2：3：4．则它的最大内角是144°．20．【安徽】在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（D）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【开放应用探究】21．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x，y的代数式表示）.（2）如图1所示，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由．（3）如图2所示，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x，y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x，y满足什么条件时，∠DFB不存在．②当x=y 时，DC ∥BF ，此时∠DFB 不存在．4.1 多边形（2）重点提示：（1）n 边形的内角和等于(n －2)×180°，外角和等于180°.（2）从n 边形的一个顶点出发可以作(n －3)条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形. 【夯实基础巩固】4．如图所示，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，5．如图所示，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，6．某正n边形的一个内角为108°，则n=5．7．如图所示是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°．8．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的内角和是1980度．9．已知一个多边形的内角和与外角和共为2520°，求这个多边形的边数．设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°+360°=2520°.解得n=14．∴这个多边形的边数为14．10．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A=135°，延长CD，AE交于点F，且∠DEF=105°，∠F=45°，∠C=60°．（1）求∠B的度数.（2）AB与CD之间是否存在某种关系，说出你的理由．（1）∵∠DEF=105°，∴∠DEA=75°．∵∠EDC=∠F+∠DEF，∴∠EDC=45°+105°=150°．由多边形的内角和公式可知∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠DEA=540°，∴∠B=120°.（2）∵∠B=120°，∠C=60°，∴∠B+∠C=180°．∴AB∥CD．【能力提升培优】12．机器人在一平面上从点A处出发开始运动，规定“向前走1m再向左转60°”为1次运还需( )个五边形.14．如图所示，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1=20°，则∠2=52°．15．一机器人以0.5m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所需时间为144s．16．如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，…，A11．从A1起每隔k个点顺次连结，当再次与点A1连结时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”，那么∠A1+∠A2+…+∠A11=1260°；当∠A1+∠A2+…+∠A11=900°时，k=2或7．17．如果一个多边形的各边都相邻，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图所示为一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：在，请说明理由．18．如图所示，在六边形ABCDEF 中，CD ∥AF ，∠CDE ＝∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C ＝120°，∠E ＝80°，试求∠F 的度数．FEDC BA连结AD ，在四边形ABCD 中，∠BAD ＋∠ADC ＋∠B ＋∠C ＝360°. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°. 又∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＋∠ADC ＝150°. ∵CD ∥AF ，∴∠CDA ＝∠DAF .又∵∠CDE ＝∠BAF ，∴∠EDA ＝∠BAD .在四边形ADEF 中，∠DAF ＋∠EDA ＋∠F ＋∠E ＝360°， ∴∠F ＋∠E ＝360°-(∠ADC ＋∠BAD )＝210°. 又∵∠E ＝80°，∴∠F ＝130°.【中考实战演练】36 度．【开放应用探究】21．观察图1~4，回答下列问题.（1）如图1所示，猜想：∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2= 度，并说明你猜想的理由．（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠E 1++∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2+∠E 2 ……请你猜一猜，2环n 边形的内角和为 度（直接写出结论）．（1）360°理由如下：连结B1B2，则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360°.（2）360（n﹣2）4.2 平行四边形及其性质（1）重点提示：（1）平行四边形的定义：有两组对边平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形的性质：平行四边形的对角相等、对边相等.【夯实基础巩固】1．已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(C).A．100°B．160°C．80°D．60°2．如图所示，在□ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则□ABCD的周长为(B)A．5 cm B．10 cm C．16 cm D．11 cm5．如图所示，□ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的6．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是120度．7．如图所示，用平行四边形纸条沿对边AB，CD边上的点E，F所在的直线折成V字形图案，已知图中∠1=68°，∠2的度数为44°．8．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，O （0，0），A （1，﹣2），B （3，1），则C 点坐标为 （2，3） ．9．如图所示，在□ABCD 中，BE=DF ．求证：AE=CF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC.∴∠ADE=∠CBF. ∵BE=DF ，∴DE=BF.∴△ADE ≌△CBF （SAS ）.∴AE=CF ．10．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD ，点F 在AD 上，AF=AB ， 求证：△AEF ≌△DFC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD 且AB ∥CD. ∴AF=CD ，∠EAF=∠ADC.又∵AF=AB ，∴AF=CD ，AE=DF.在△AEF 和△DFC 中，∵,,,AF DC EAF ADC AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△DFC ．【能力提升培优】11．如图所示，以□ABCD 的边CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使AD=DE=CE ，12．如图所示，在□ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在AB上，连结EF，CF，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；BE：EC=1：2，则∠BCD的度数为120°．15．如图所示，在□ABCD中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC 的平分线交CD于点F，则线段EF的长2cm．16．如图所示，在□ABCD中，M，N分别是边CD，BC的中点，AM=2，AN=4，且∠MAN=60°，则AB的长是．317．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG，DE.(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由.(2)求证：△BCG≌△DCE.(1)∠ACB＝∠GCD.理由如下：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ACB=∠ABC.∵CG∥AB，∴∠GCD=∠ABC. ∴∠ACB=∠GCD.(2)∵四边形CDFE是平行四边形，∴EF∥CD.∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.∵∠ACB＝∠GCD，∴∠GEC＝∠EGC.∴EC＝GC.∵∠GCD＝∠ACB，∴∠GCB＝∠ECD.∵BC＝DC，∴△BCG≌△DCE.18．如图所示，在□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于O．（1）求证：BO=DO.（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB. ∴∠ODF=∠OBE.在△ODF与△OBE中，∵,,,ODF OBEDOF BOE DF BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【中考实战演练】19．【河南】如图所示，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若20．【湖北】在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．【开放应用探究】21．如图所示，已知在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE，AB于点M，N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长.（2）求证：AB=CF+DM．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAE=∠DEA. ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠DEA.MGNFEDCBA∴DE=AD.∵DF ⊥BC ，∴DF ⊥AD ，∵M 为AG 中点，∴AG=2DM=4，（2）过点A 作AD 的垂线交DN 的延长线于点H ，则△DAH ≌△DFC ，∴AH=FC ，DH=DC. ∵DF ⊥AD ，∴AH ∥DF.∴∠HAM=∠DGM.∵∠AMH=∠DMG ，∠DMG=∠DGM ，∴∠HAM=∠HMA. ∴AH=MH.∴MH=CF.∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM ．4.2 平行四边形及其性质（2）重点提示：(1)夹在两条平行线之间的平行线段相等.(2)夹在两条平行线之间的垂线段相等，这个垂线段的长度为两条平行线之间的距离，利用两平行线之间的距离处处相等可实现等积变形. 【夯实基础巩固】1．如图所示，在□ABCD 中，若∠A ＝45°，AD ＝6，则AB 与CD 之间的距离为 ( B ). A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ．32．如图所示，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，则□ABCD 的面积为 ( D ) A ．24B ．36C ．40D ．483．如图所示，M 是□ABCD 的一边AD 上的任意一点，若△CMB 的面积为S ，△CDM 的H5．如图所示，已知AB∥CD，OA，OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且6．如图所示，E是直线CD上的一点．已知ABCD的面积为52cm，则△ABE的面积为26cm2．7．已知□ABCD中，AB=4，BC=8，∠D=60°，则S□ABCD=．8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在边AD上，且AE＝DF，连结BE，CA，CE，CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有__2__个．9．如图所示，在□ABCD中，点E是DC边上一点，连结AE，BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．（1）求证：AE⊥BE.（2）若AE=3，BE=2，求□ABCD的面积．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵BE，AE分别平分∠ABC和∠BAD，∴∠ABE+∠BAE=90°.∴∠AEB=90°，即AE⊥BE.（2）∵AE⊥BE，∴S△ABE=AE×BE÷2=3.∴□ABCD的面积=2S△ABE=6．【能力提升培优】10．如图所示，直线a∥b∥c，且a，b之间的距离为1，△ABC和△CDE是两块全等的直角三角形纸板，其中∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=∠DCE=30°，它们的顶点都在平行线上，11．如图所示，P为□ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线交平行四边形的边于12．在面积为60的□ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，3，如果△ABC的面积为6，那么△BCD的面积为9．14．如图所示，AB=BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12cm2，则△BCD的面积为12cm2．15．如图所示，在□ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连结DE并延长与AB的延长线交于点F，连结CF，若AB=2cm，则△CEF面积是cm16．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DE，求△DEC的面积．17．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE ∥CM，交AC的延长线于点F，交BM的延长线于点E．（1）求证：△ADF≌△BCM.（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC.∵AC∥BM，∴∠AFD=∠E.又∵CM∥DE，∴∠BMC=∠E.∴∠BMC=∠AFD.同理∠FAD=∠MBC.∴△ADF≌△BCM．【中考实战演练】18．【嵊州】若E是□ABCD内任意一点，且□ABCD的面积是6，则阴影部分面积是3．19．如图所示，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，【开放应用探究】20．如图1所示，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上.（1）写出图1中面积相等的各对三角形：.（2）如图1所示，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有△PAB 与△ABC的面积相等.（3）如图2所示，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BOP（2）∵m∥n，∴点C，P到直线n间的距离是相等的.∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等.∴总有△PAB与△ABC的面积相等.（3）如图所示，连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．4.2 平行四边形及其性质（3）重点提示：（1）平行四边形的对角线互相平分.（2）平行四边形的对角线可以将平行四边形分割成全等三角形，将四边形的问题转化为三角形解决.【夯实基础巩固】2．在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是6．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=20，△AOB的周长为15，则CD=5．7．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD 于E，BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则□ABCD的面积是32 ．8．如图所示，在□ABCD中，点C在x轴上，点A为（2，3），AC交OB于点D，□ABCO 的面积为18，则点D的坐标为（4，1.5）．9．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：BM∥DN.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AM＝CN，∴OA－AM＝OC－CN，即OM＝ON.在△BOM和△DON中，∵,,,OM ONAOB COD OB OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOM≌△DON.∴∠MBO＝∠NDO.∴BM∥DN.10．如图所示，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O的一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．（1）请直接写出有组全等三角形.（2）求证：∠EAM=∠NCF．（1）4（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠OAM=∠OCN.在△OAM和△OCN中，∵,,,OAM OCNOA OCAOM CON∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAM≌△OCN（ASA）.∴AM=CN，OM=ON.∴EM=FN.在△AEM和△CFN中，∵,,,AE CFAM CNEM FN=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AEM≌△CFN（SSS）.∴∠EAM=∠NCF．【能力提升培优】11．如图所示，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则12．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=6，AD=4，则13．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC所在直线翻折180°到其原来所在直线的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′14．如图所示，直线EF经过□ABCD的对角线的交点，若AE=3cm，四边形AEFB的面积cm．为15cm2，则CF=3cm，四边形EDCF的面积为15215．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是3．16．如图所示，在□ABCD中，对角线AC=8，BD=6，若∠DOC=45°，则S□ABCD的面积为．17．如图所示，已知点A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2），□ABCD 的对角线交于坐标原点O ． （1）请直接写出点C ，D 的坐标.（2）线段AB 经过什么样的变换可以得到线段CD. （3）直接写出□ABCD 的面积．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 关于O 中心对称. ∵A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2）， ∴C （4，﹣2），D （1，2）.（2）线段AB 绕点O 旋转180°（或向右平移5个单位），可以得到线段CD. （3）2018．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 为线段BC 上一点（除端点外），连结PO 并延长交AD 于点Q ，延长BC 到点E ，使CE=BC ，连结DE ． （1）求证：BP=DQ.（2）已知AB=5，AC=6，若CD=12BE ，求△BDE 的周长．∴△BDE 的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．【中考实战演练】 19．【绥化】如图所示，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC=60°，AB=12BC ，连结OE ．给出下列结论：①∠CAD=30°；②S □ABCD =AB •AC ；③OB=AB ；④OE=1BC ，其中正确的结论个数有（ C ）20．如图所示，□ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=． 6【开放应用探究】21．如图所示，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G. 求证：(1)∠1＝∠2.(2)DG＝B′G.（1）∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠2＝∠FEC.由折叠的性质得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2.(2)由(1)知∠1＝∠2，∴EG＝GF.∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF.由折叠的性质得EC′∥FB′，BF＝B′F，∴∠B′FG＝∠EGF.∴∠B′FG＝∠DEG.∵DE＝BF，∴DE＝B′F.∴△DEG≌△B′FG.∴DG＝B′G.4.3 中心对称重点提示：（1）将一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.（2）对称中心平分连结两个对称点的线段.（3）在直角坐标系中，点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）.【夯实基础巩固】1．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（D）BB3．下列说法中错误的是（ ）4．如图所示，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交边AD ，5．如图所示，将两张完全相同的正方形透明纸片完全重合地叠放在一起，中心是点O ，按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O 逆时针旋转15°，所得重叠部分的图形（）6．在等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有 2 个．7．如图所示是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是 3 ．8．如图所示是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB ′的长为 4 ．9．用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形.若移动AC，DE这两根，能不能也达到要求呢？（画出图形）能，图略10．如图所示分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形.（1）请问其中是中心对称图形的是.（2）依此类推，36角星（填“是”或“不是”）中心对称图形．（3）你怎样判断一个n角星是否是中心对称图形呢？谈谈你的见解．（1）六角星、八角星（2）是（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．【能力提升培优】11．如图所示，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，给出下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的结论个数有（D）.12．如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是（A）13．如图所示，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ A ）①②③②①14．如图所示，平面直角坐标系中，□OABC 的顶点A 坐标为（6，0），C 点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分□OABC 的周长，则m 的值为 ．1415．如图所示，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P 1．使得点P 1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P 2，使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P 3，使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P 4，使得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P 5，使得点P 5与点P 4关于点B 成中心对称……照此规律重复下去，则点P 2015的坐标为 （﹣2，0） ．16．如图所示，在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，已知AC=4，BC=6，（1）画出△BCD 关于点D 的中心对称图形.（2）根据图形说明线段CD 的长度的取值范围．（1）如图所示，△ADE 就是所作的图形．（2）由（1）知，△ADE ≌△BDC ，则CD=DE ，AE=BC ，∴AE ﹣AC ＜2CD ＜AE+AC ，即BC ﹣AC ＜2CD ＜BC+AC.∴2＜2CD ＜10，解得1＜CD ＜5．17．如图所示，正方形ABCD 于正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称，已知A ，D 1，D 三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．（1）对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4﹣2=2.∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2）.∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1）.∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3）.综上可知，顶点B，C，B1，C 1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【中考实战演练】18．【甘孜州】下列图形中，是中心对称图形的为（B）B19．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【开放应用探究】20．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由.（2）现有如图所示的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．如图所示，□ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，经过点O与对边相交的任何一条线段都以O为中点（如图所示中线段PQ），因此点O是各条线段的公共重心，也是□ABCD的重心．（2）把模板分成两个矩形，连结各自的中心.把模板重新分成两个矩形，得到连结各自中心的第二条线段，指出重心．4.4 平行四边形的判定定理（1）重点提示：（1）根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【夯实基础巩固】1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是从点A出发以3cm/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的5．如图所示，由9个全等的等边三角形拼成一个几何图案，这个图案中共有平行四边形6．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连结DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=5cm，BC=12cm，则CD的长是7cm．8．如图所示，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为添加的条件可以是∠F=∠CDE(答案不唯一)．9．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D. （2）证明四边形ABCD是平行四边形．略10．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF ∥BE．求证：四边形ABCD为平行四边形．∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC.∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC.∴∠AEB=∠DFC.在△AEB和△CFD中，∵,,,DCF EABAE CFDFC AEB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB≌△CFD（ASA）.∴AB=CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．【能力提升培优】11．如图所示，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造A．（3，1）B．（12．如图所示，在□ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（C）13．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，给出下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是④四边形ACEB的面积是16．14．如图所示，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF ∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=8．15．如图所示，六边ABCDEF中，AB∥＝ED，AF∥＝CD，BC∥＝FE，对角线FD⊥BD．若FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积是4322cm．16．在平面直角坐标系中，直线y=kx+x+1过一定点A，坐标系中有点B（2，0）和点C，要使以A，O，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为（﹣2，1），（2，﹣1）或（2，1）．17．如图所示，将□ABCD的AD边延长至点E，使DE=12AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．18．如图所示，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE．（1）求证：四边形BCED′是平行四边形.（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．（1）∵将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′.∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.∴∠DAD′=∠DED′.∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥＝DC，∴CE∥＝D′B，∴四边形BCED′是平行四边形.（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°.∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°.∴∠AEB=90°.【中考实战演练】19．【泉州】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在20．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4），（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有3个．【开放应用探究】21．如图所示，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF，BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明.（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由.（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．4.4 平行四边形的判定定理（2）重点提示：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（2）平行四边形至少有四种判定方法，解题时要根据条件灵活选择方法，并注意判定与性质的区别和联系.【夯实基础巩固】1．如图所示，在四边形ABCD中，E是BC边上的一点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，且DE=EF，AB=EF．再添加一个条件，你认为下面四个条件中能使四边形ABCD 是平行四边形的是（D）2．如图所示，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E，F在直线AC上（不同于A，C），当E，F的位置满足AE=CF的条件时，四边形DEBF是平行四边形．6．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：BD∥FC使得四边形BDFC为平行四边形．7．如图所示，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE=CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB=CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是互相平分．8．如图所示，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）AE=CF（1）连结AC交BD于O，易得OA=OC，OE=OF∴四边形AECF 是平行四边形．（2）∵四边形AECF 是平行四边形，∴AE=CF.9．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且DE=BF ，过E ，F 两点作直线，分别与CD ，AB 的延长线相交于点M ，N ，连结CE ，AF ． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形. （2）△MEC ≌△NFA ．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥=BC. 又∵DE=BF ，∴AE=CF.∴四边形AFCE 是平行四边形. （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠MCB=∠NAD ，CD ∥AB.∴∠M=∠N.∵四边形AFCE 是平行四边形，∴EC=AF ，∠ECF=∠EAF. ∴∠MCE=∠NAF.∴△MEC ≌△NFA （AAS ）．10．如图1所示，在□ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连结EG ，FG ，FH ，EH ． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形.（2）如图2所示，若EF ∥AB ，GH ∥BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD 除外）．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC. ∴∠EAO=∠FCO.在△OAE 与△OCF 中，∵,,,EAO FCO AOE COF OA OC∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△OAE ≌△OCF.∴OE=OF.同理OG=OH.∴四边形EGFH 是平行四边形. （2）与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有□GBCH ，□ABFE ，□EFCD ，□EGFH.【能力提升培优】11．已知四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么可以判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）①再加上条件“BC=AD ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形;②再加上条件“∠BAD=∠BCD ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形; ③再加上条件“AO=CO ”，则四边形ABCD 一定是平行四边形;①BE=DF ；②BE ∥DF ；③AB=DE ；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤S △ADE =S △ABE ；13．若以A （﹣0.5，0），B （2，O ），C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在第 三 象限．14．如图所示，在□ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，OB ，CD ，OD 的中点．有下列结论：①AD=BC ，②△DHG ≌△BFE ，③BF=HO ，④AO=BO ，⑤四边形HFEG 是平行四边形，其中正确结论的序号是 ①②③⑤ ．15．如图所示，□ABCD 的对角线交于点O ，直线EF 过点O 且EF ∥AD ，直线GH 过点O 且GH ∥AB ，则在图中，能用图中的已知的字母表示的平行四边形，共有 18 个． 16．如图所示，四边形ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E 是边CD 的中点，连结BE 并延长与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形.（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．（1）∵∠A=∠ABC=90°，∴BC ∥AD.∴∠CBE=∠DFE.在△BEC 与△FED 中，∵,,,CBEDFEBEC FEDCEDE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.1《多边形的内角和》教学设计
教学目标分析
1、理解多边形的定义及其相关概念；
2、主动探索、归纳及掌握多边形内角和定理，并熟练地运用定理解决相关问题；
3、通过多边形内角和定理的推导，感悟“从特殊到一般”的“化归”思想，激
发学习兴趣，形成合作的团队精神。
教学重点是探索多边形内角和定理及定理的运用。
教学难点是探索多边形内角和定理。
根据以上分析，本节课的教学设计围绕以下五个环节：
1、创设情境，引入新课；
2、合作交流，探索新知；
3、应用新知，尝试练习；
4、归纳总结，形成体系；
5、布置作业，巩固提高。
第一环节：创设情境，引入新课。
1、情境与导入
（1）多媒体展示——上海世博会工作人员要对世博会中国馆旁的一块长方形草
坪进行改建，想利用草坪的一角划分出一块直角三角形草坪，问：划分后剩下的
草坪是什么图形？
（2）类比三角形的定义得出多边形的定义，学习多边形的边、顶点、内角概念。
（3）例举世博园里各国会馆建筑中的多边形实例，引出凸多边形与凹多边形的
概念。
2、说明
（1）通过现实情境的展示，调动学生的情绪，激发进一步学习的兴趣。
（2）培养学生的动手能力。
（3）对于边角这些能在图形中识别而又不要求学生掌握的描述性定义，采取学
生类比三角形的表示方法来归纳，渗透类比的数学思想。
（4）借助于自制的直观教具来说明多边形定义中“在平面内”这一条件，以及
世博会中各参展国家的会馆建筑图片中的各式各样形状的平面图形来突出“线
段”、“首位顺次连接”等这些概念中的关键词，易于学生理解，也达到了化解难
点的目的。同时，也利用两张图片，自然引出凹凸多边形的概念及如何区分的方
法，也进一步规范认识：今后如教材中没有特殊说明的话，所指多边形都是凸多
边形。
（5）把学生的注意力自然引入本课研究方向，为探索多边形的内角和作铺垫。
第二环节：合作交流，探索新知。
1、合作与探究
（1）定义：联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
（2）观察图形并回答
四边形、五边形、六边形分别从一个顶点出发可以画多少条对角线？类比归纳得
到从n边形的一个顶点出可以画多少条对角线？类比归纳得到：从n边形的一个
顶点出发可以引)3(n条对角线，这些对角线把这些多边形分别分成了)2(n个
三角形。请计算四边形、五边形、六边形、n边形的内角和。
多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n (n3的整数)。
（3）探究
我们知道，可以通过把多边形分成几个三角形，从而推出多边形的内角和公式，
那还有其他的划分方法吗？请以四边形为例小组合作交流。
2、说明
（1）通过学习了解什么叫做多边形的对角线后自然过渡到如何求多边形的内角
和。
（2）小组交流合作可以激发每个学生参与，落实面向全体学生，学生可以主动
地、富有个性地学习，形成知识辐射。
（3）鼓励学生敢于在课堂发表自己的不同见解，培养探索精神。
（4）通过几何画板，动态展示多种分割方法，发散学生的思维。
（5）从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓
励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质—
—四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样
性。通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言
表达能力。利用几何画板的动态演示，达到教学的更优化效果。
第三环节：应用新知，尝试练习。
1、应用与尝试
（1）例题讲解一
例1.求十边形的内角和。
口答：五边形、六边形、十二边形的内角和分别是多少度？
例2.已知一个多边形的内角和是2160，求它的边数。
（2）尝试练习
1）n+1边形的内角和比n边形的内角和大 度；
2）一个多边形的内角和不可能是（ ）
A、1800° B、360° C、1000° D、900°
3）在四边形ABCD中，5:4:3::,120DCBA，
则B 度
4）如图DF是边CD的延长线，则图中x= 度
5）一个多边形的内角和是1800°，它是 边形。
（3）例题讲解二
例3.一个多边形的各个内角都是120°，求它的边数。
（4）巩固与应用
1）一个多边形的各个内角都是90°，则它是几边形？
2）小明和妈妈参观世博园时正好看见建筑工人在铺设绿地人行道，小明发现他
们选用的是每条边和每个内角都相等的六边形地砖，于是他问妈妈：能不能选用
每条边和每个内角都相等的五边形地砖呢？你能回答小明的问题吗？
2、说明
（1）例题1是已知多边形的边数求内角和；例题2是已知多边形的内角和求边
数。这两题是教师板书，学生口答一起完成，达到熟悉多边形内角和定理的定理，
并熟练应用的目的。
（2）尝试练习1）中的练习比较简单，其中前2道比较基本，可采用抢答的形
式完成，目的是复习当天所学，了解学生学习效果。
（3）安排例题3的目的是为后面的巩固应用设计好铺垫。
（4）在巩固与应用2）中的小题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，
也起到首尾呼应，让课堂气氛活跃。
（5）第5）题让学生感受数学的趣味性，以及与实际生活的联系。
第四环节：归纳总结，形成体系。
1、提问与总结
教师提问：这节课你学到了哪些知识？你还学到了哪些解决数学问题的方法呢？
2、说明
鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会，有利于培养归纳、总结的习惯和
能力，让学生自主建构知识体系。
第五环节：布置作业，巩固提高。
1、练习与提高
（1）编题与解题：围绕 n边形的内角和公式 (n－2)·180°，自编自解3道习
题。
（2）练习册：练习册22.1。
（3）选做题：一同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，可
能吗？当他发现错了之后，重新检查，发现少算了一个内角，你能求出这个内角
是多少度？它的边数是几呢？
2、说明
适当的对作业进行分层设计，让学有余力的学生得到拓展。
四、教法特点与预期效果
本节课本人采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程贯穿了师生之间，生生
之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才
是学习的主体。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，
鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节
课的内容。合理地利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认
识，增强直观效果，提高课堂效率。
本节课把学生熟悉的世博会场景引入课堂，为学生提供丰富多彩的学习素材，在
教学上充分发挥小组合作的优势，力求使每个学生都积极参与，都有所收获。学
生能主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等探索实践活动，并能应
用所学数学知识去分析和解决实际问题。在教师的指导下，他们利用已有的知识、
经验、背景材料等，通过自主探究、合作交流，进行“再创造”、“再发现”而获
得所学数学知识。在教学中我注重了知识学习的结果，但更注重探索过程，并在
这个过程中培养学生的独立思考、大胆创新的个性品质。同时也做到了学习途径
和手段多样性，学习评价多元性。
板书设计：
多边形内角和 3、例题1：（略）
1、多边形定义： 例题2
多边形的相关概念：对角线、 边、角、顶点
2、多边形内角和定理：
n边形内角和等于（n-2）×180°(n≥3的整数)