一次函数及其应用

1 / 9'.一次函数及其应用一、知识回顾1、定义：若两个变量y x 、间的关系可以表示成)0,(≠+=k b k b kx y 为常数、的形式，则称y 是x 的一次函数（x为自变量，y 是因变量）。

特别地，当0=b ，y 是x 的正比例函数。

一般形式：（1）一次函数：)0,(≠+=k b k b kx y 为常数、 （2）正比例函数：)0,(≠=k k kx y 为常数 （3）定义域、值域 关系：正比例函数是特殊的一次函数。

2、一次函数的图象画法：一次函数的图象都是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时只需要描出两个点，再连成直线即可。

解读：（1）一次函数b kx y +=是经过点),0()0,(b kb、-的一条直线。

（2）正比例函数kx y =是经过原点),1()0,0(k 、的一条直线。

（3）一次函数的性质①当0>k 时，y 随x 的增大而增大；②当0<k 时，y 随x 的增大而减小。

（4）位置关系（11b x k y +=；22b x k y +=表示两条直线） ①当2121b b k k ≠=且时，11b x k y +=与22b x k y +=平行；2 / 9'.②当121-=⋅k k 时，11b x k y +=与22b x k y +=相互垂直。

（5）一次函数图像过哪些象限。

①当0>k 时，函数图像过一、三象限；当0<k 时，函数图象过二、四象限。

①b 表示函数图象与y 轴的交点，也叫截距。

当0>b 时，函数图象与y 轴正半轴相交；当0<b 时，函数图象与y 轴负半轴相交。

具体图象位置关系如下：3、确定一次函数解析式 方法：待定系数法4、函数与函数间的交点问题。

方法：将两函数的解析式联立解方程组。

5、在平面直角坐标系下，任意两点间的距离若),(,,A2211yxByx）（；则221221)()(AB yyxx-+-=考点精析例1 （1）试着判断53,15321+=--=-=+-=xyxyxyxy、、一定不过那些象限？（2）若2-y与x成正比例，当3=x时，4-=y则求y与x的函数表达式。

变式练习1、当____=k时，3222-+=k xkky）（是正比例函数。

2、已知my+与）为常数，（0,≠⋅+nmnmnx成正比例，试说明（1）y是x的一次函数。

（2）在什么情况下，y是x的正比例函数。

3、已知两条直线bxyaxy--=+=、2的交点坐标在第一象限内，试着判断两直线分别过那些象限。

3 / 9'.例2 （1）已知，在直角坐标系中，)4,3(,2,1A B）（求直线AB的解析式并求出直线AB要过的两个定点。

（2）若a为任意实数，则一次函数aaxy41-+=的图象必过一定点，求此定点的坐标。

变式练习1、若一次函数5+=xy的图象经过点),(,,A dcBba）（，则)()(dcbdca---的值为___________。

2、若一次函数)44(--=mmxy的图象经过原点，则m的值为___.3、一次函数)44(--=mmxy，恒过的定点为________。

4、已知，在直角坐标系中，)6,3(,2,1A B）（求直线AB的解析式并求出直线AB要过的两个定点。

试着求出AB的长度？4 / 9'.5 / 9'.例3 已知一条直线解析式为32+=x y ，A （1，2）为直线外一点。

试求（1）过A 点与已知直线垂直的直线的解析式；（2）过A 点与已知直线平行的直线的解析式；例4 已知A （1,1）B （2,，3）C （2，5）D （-1,3）四点；试求（1）直线AB 、BC 、CD 、BD 的解析式；若所求直线均过（-1， a ），（1，b ）试着比较a 、b 的大小？（2）直线AB 与BC 、CD 与BD 的交点坐标。

变式训练： 1、若n x y +=21与1-=mx y 交于一点)21(-，，则m 的值为____。

2、若2m x y +-=与14-=x y 相交于x 轴上一点，则m 的值为____。

3、若直线m x y +-=2经过),1(),1(b a 、-两点，试比较b a ____。

4、若直线b kx y +=与直线12+-=x y 平行，且与另一直线3+=x y 相交于y 轴上一点，则此直线的表达式为___________。

6 / 9'.5、若直线b kx y +=与直线12+-=x y 垂直，且与另一直线3+=x y 相交于y 轴上一点，则此直线的表达式为___________。

拓展练习1、若直线12+-=x y 与函数12+=x y 有交点，则交点坐标为____. 2、若函数22x y =与函数x y 2=有交点，则交点坐标为_______.3、已知正方形Λ,C C B A ,O C B A 23331222111C C B A ，按如图所示的方式放置。

点Λ321A A A ，，和点Λ321C C C ，，分别在直线b kx y +=和x 轴上，若点）（）、，（2,3B 11B 21则点______B n =。

4、已知直线b kx y +=过点），（025且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求该直线的函数表达式。

用函数观点看方程组与不等式知识点归纳一、一元一次方程与一次函数的联系（1）从“数”的方面看，当一次函数的值为0时，相应自变量的值即为方程的解；（2）从“形”的方面看，函数与x轴交点的横坐标即为方程的解。

解读：例：一元一次方程42=+x与一次函数42+=xy的联系，从“数”的方面看，当一次函数42+=xy的函数值为0时，相应的自变量2-=x即为方程042=+x的解；从“形”的方面看，一次函数42+=xy的图象与x轴的交点）（0,2-的横坐标2-=x，即为方程42=+x的解。

二、一元一次不等式与一次函数的关系（1）从“数”的方面看，任何一个一元一次不等式都可以转化为0>+bax或0<+bax的形式，所以解一元一次不等式可以看做当一元一次函数函数值大于0（或小于0），求自变量相应的取值范围。

（2）从“形”的方面看，不等式>+bax的解可以当成是一次函数baxy+=的图象在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围；<+bax的解可以当成是一次函数baxy+=的图象在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围。

解读：例：已知一次函数12-=xy，当x取何值时，函数值大于零？求不等式12>-x的解集。

7 / 9'.8 / 9'.⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 三、二元一次方程与一次函数的关系关系：一般地，一个二元一次方程有无数个解，以这些解为坐标的点所组成的图形，是一条直线，也就是说，以一个二元一次方程的所有解为坐标的点所围成的图形可以看做是一个一次函数的图象。

解读：例：以方程42=+y x 的解为坐标的所有点组成的图形就是一次函数x y 24-=的图象。

四、二元一次方程组与一次函数的关系（1）一般地，一个二元一次方程组（两个二元一次方程组成）的解为坐标的点，可以看做是两个一次函数所组成的图象的交点（即两条直线的交点）。

（2）两个一次函数所组成的图象的交点（即两直线的交点），可以看成某个二元一次方程组的解。

（3）两直线2211,b x k y b x k y +=+=的交点与方程组的解的关系。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧≠==轴上一点，方程组有解两直线交于不在轴上一点，方程组有解两直线交于解两直线平行，方程组无无数组解两直线重合，方程组有y y b b b b k k b b b b k k 212121212121注意：在比较时，必须化简成上述标准的直线表达式b kx y +=。

9 / 9'.。