2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大,全国)精练十 统计与统计案例
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文)(北师大,全国)精练三 导数及其应用
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测三 导数及其应用第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·赣州联考)函数f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3在点(3，f (3))处的切线斜率是( )A ．－2 3 B. 3 C ．2 3 D ．4 32．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln23．(2015·黑龙江双鸭山一中期中)若函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，则函数g (x )＝x 2＋f (x )的图像在点(1，g (1))处的切线方程为( )A ．5x －y －3＝0B ．5x －y ＋3＝0C ．x －5y ＋3＝0D ．x －5y －3＝04．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．05．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.126．(2015·河北衡水中学调考)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <127．(2015·辽宁丹东五校协作体期末)若曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a 等于( )A ．－2B.12 C ．1 D ．28．设函数f (x )＝ax 3＋3x ，其图像在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．3C ．9D ．129．(2015·淄博一模)曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为( ) A.55 B. 5 C.255D ．2 5 10．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 11．(2015·广东阳东一中摸底)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝12x －3C ．y ＝2x ＋3D ．y ＝3x －212．(2015·西安模拟)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图像关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．15．(2015·豫东、豫北十所名校联考)若0<x <1，a ＝sin x x ，b ＝sin x x ，c ＝sin x x，则a ，b ，c 的大小关系为__________．16．(2015·湖南雅礼中学5月一模)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 在(0，＋∞)上存在公共点，则a 的取值范围为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·河北保定第一中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，且f ′(－1)＝9.(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈(1，＋∞)使得函数f (x )<m 成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．19．(12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．20．(12分)(2015·赣州联考)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求a 的取值范围．21．(12分)(2015·安徽)已知函数f (x )＝ax (x ＋r )2(a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；(2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．22．(12分)(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋a x＋ln x ，a ∈R . (1)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值；(2)当a ＝1e －1时，求证：任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋1x ≥ln x ＋2a ＋2.答案解析1．C [由f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3得，f ′(x )＝3x＋2x －3，∴f ′(3)＝2 3.故选C.] 2．B [由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.]3．A [由函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，得f ′(1)＝3，f (1)＝1.又函数g (x )＝x 2＋f (x )，∴g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，则g ′(1)＝2×1＋f ′(1)＝2＋3＝5.g (1)＝12＋f (1)＝1＋1＝2.∴函数g (x )＝x 2＋f (x )的图像在点(1，g (1))处的切线方程为y －2＝5(x －1)．即5x －y －3＝0.故选A.]4．A [因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知f (x )在x ＝±1处取得极值．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.]5．B [求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.] 6．A [f ′(x )＝3(x 2－b )，∵函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0，解得0<b <1.故选A.] 7．C [由y ＝12e x 2，得y ′＝x e.由y ＝a ln x ，得y ′＝a x. ∵它们在点P 处有公共切线，∴x e ＝a x ，解得x ＝e a ，代入两曲线得12e·e a ＝a 2(ln a ＋1)，∴ln a ＋1＝1，解得a ＝1，故选C.] 8．B [f ′(x )＝3ax 2＋3，由题设得f ′(1)＝－6，所以3a ＋3＝－6，a ＝－3.所以f (x )＝－3x 3＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×1×6＝3.选B.] 9．B [f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，设与直线2x －y ＝3平行且与曲线f (x )相切于点P (s ，t )的直线方程为2x －y ＋m ＝0，则e s ＋2s ＋1＝2，解得s ＝0.∴切点为P (0,2)．∴曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为点P 到直线2x －y ＝3的距离d ，且d ＝|0－2－3|5＝ 5.故选B.] 10．D [∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e . 又∵a <1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意． 故选D.]11．C [因为f ′(x )＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝2，所以曲线在x ＝0处的切线方程为y －3＝2(x －0)，即2x －y ＋3＝0.故选C.]12．D [设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，选D.] 13．(－1,0)解析 当a ＝0时，f ′(x )＝0，则函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意．所以a ∈(－1,0)．14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.15．a >b >c解析 易知当0<x <1时，0<sin x <x ，则0<sin x x <1，∴sin x x <sin x x .设f (x )＝sin x x，则f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，设h (x )＝x cos x －sin x ，则h ′(x )＝－x sin x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<h (0)＝0，∴f ′(x )<0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递减，又∵0<x <1，∴0<x <x <1， ∴sin x x >sin x x. 综上：sin x x >sin x x >sin x x ，即a >b >c . 16.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由题意知方程ax 2＝e x(a >0)在(0，＋∞)上有解，则a ＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)， 令f (x )＝e xx2，x ∈(0，＋∞)， 则f ′(x )＝x e x －2e xx 3，x ∈(0，＋∞)， 由f ′(x )＝0得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数， 当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 2在区间(2，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24. 17．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，∴f ′(x )＝3ax 2＋2xf ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2f ′(1)，f ′(－1)＝3a －2f ′(1)＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，f ′(1)＝－3.∴f (x )＝x 3－3x 2＋1， ∴f (1)＝－1.故曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－3(x －1)－1＝－3x ＋2，即3x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.则函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝－3. 则由题意可知，m >－3，即所求实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．18．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4.当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．19．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12. 20．解 (1)f ′(x )＝x 2－a x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )≥0，增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f ′(x )≥0⇒x >a ，f ′(x )<0⇒0<x <a ， ∴f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )．(2)g ′(x )＝x －a x ＋2＝x 2＋2x －a x(x >0)， 设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)，若g (x )在[1，e]上不单调，则h (1)h (e)<0，(3－a )(e 2＋2e －a )<0，∴3<a <e 2＋2e ，同时g (x )仅在x ＝e 处取得最大值，∴只要g (e)>g (1)．即可得出：a <e 22＋2e －52， 则a 的取值范围为(3，e 22＋2e －52)． 21．解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax (x ＋r )2＝ax x 2＋2rx ＋r 2， f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4. 所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0；当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a 4r ＝4004＝100. 22．(1)解 依题意，知f (x )＝e x ＋1x＋ln x . 则f ′(x )＝e x －1x 2＋1x ＝x 2e x ＋x －1x 2， 易知在[1，e]上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故f (x )max ＝f (e)＝ee ＋1e＋1. (2)证明 要证f (x )＋1x≥ ln x ＋2a ＋2，x ∈(0，＋∞)，即证a e x ＋a x ＋1x－(2a ＋2)≥0，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝a e x ＋a x ＋1x－(2a ＋2)，x ∈(0，＋∞)， 下证当a ＝1e －1， 且x >0时，g (x )≥0恒成立，g ′(x )＝a e x －a ＋1x 2，令h (x )＝a e x ·x 2－(a ＋1)， 易知h (x )在(0，＋∞)上单调递增．注意到h (1)＝a e －a －1＝e e －1－1e －1－1＝0， 故当x ∈(0,1)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，即g ′(x )>0，g (x )单调递增．故g (x )min ＝g (1)＝e e －1＋1e －1＋1－2e －1－2＝0， 故当a ＝1e －1时，任意x ∈(0，＋∞)，g (x )≥0恒成立， 即a ＝1e －1时，f (x )＋1x ≥ln x ＋2a ＋2在(0，＋∞)上恒成立．。
单元滚动检测卷 高考数学(理)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测一集合与常用逻辑用语第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·重庆)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于()A．[－2，－1]B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)3．(2015·长春外国语学校高三期中)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|1≤2x<4}，则A∩B等于()A．{－1,0,1} B．{0,1,2}C．{0,1} D．{1,2}4．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件5．(2015·吉林三模)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]6．已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：任意x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．(綈p )且qD ．p 且(綈q )7．(2015·赣州市十二县市期中)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]8．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．[12，2) B ．(－1，－12] C ．(－1，e) D ．(2，e)9．(2015·大连二模)已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1 B. 3 C ．2 D ．1＋2210．(2016·黄冈中学月考)下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x <0”；②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的射影是25. 说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2015·宜春模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________________.14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．15．(2015·石家庄二模)已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈 p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________________．16．(2015·河南顶级名校入学定位考试)已知有限集A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ≥2，n ∈N )．如果A 中元素a i (i ＝1,2,3，…，n )满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4；③若a 1，a 2∈N ＋，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”；④若a i ∈N ，则“复活集”A 有且只有一个，且n ＝3.其中正确的结论有________．(填上你认为正确的所有结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．18．(12分)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19．(12分)(2015·宿迁剑桥国际学校上学期期中)已知集合A ＝{x |y ＝1－2x ＋1x ＋1}，B ＝{x |[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}．(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．20．(12分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ,函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围．21．(12分)(2015·潍坊高三质检)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·湖北省教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，函数y＝lg x －(a 2＋2)a －x的定义域为集合B . (1)若a ＝12，求集合A ∩(∁U B )； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案解析1．D [由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B ，故A ，B ，C 均错，D 是正确的，选D.]2．A [A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A.]3．C [B ＝{x |1≤2x <4}＝{x |0≤x <2}，则A ∩B ＝{0,1}，故选C.]4．B [对于A ，当m ＝0时，逆命题不正确；对于B ，由特称命题与全称命题的关系知显然正确；命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个是真命题，不一定全为真命题，故C 不正确；“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，D 不正确．选B.]5．A [设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.]6．C [命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0为假命题，命题q ：任意x ∈(0,1)，log 2x <0为真命题，所以(綈p )且q 为真命题．]7．B [∵3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2，故选B.]8．B [由A 中的函数y ＝ln(－x 2＋x ＋2)，得到－x 2＋x ＋2>0，即x 2－x －2<0， 整理得：(x －2)(x ＋1)<0，即－1<x <2，∴A ＝(－1,2)，由B 中的不等式变形得：(2x ＋1)(e －x )≤0，且e －x ≠0，即(2x ＋1)(x －e)≥0，且x ≠e ，解得：x ≤－12或x >e ， 即B ＝(－∞，－12]∪(e ，＋∞)， 则A ∩B ＝(－1，－12]．故选B.] 9．A [A ＝{(x ，y )|(x －12)2＋(y －12)2≤r ＋12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，由于A ，B 都表示圆上及圆内的点的坐标，要满足A ⊆B ，则两圆内切或内含．故圆心距满足22≤|r |－r ＋12，将四个选项中的数分别代入，可知只有A 选项满足，故选A.]10．A [①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①不正确；②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 不见得都真，所以不一定有“p 且q 为真”，所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，所以2α＝22，所以α＝－12，所以幂函数为f (x )＝x －12， 所以f (4)＝4－12＝12，所以命题③正确； ④向量a 在向量b 方向上的射影是|a |cos θ＝a ·b |b |＝25＝255，θ是a 和b 的夹角，故④错误．故选A.]11．B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12； 当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12； 当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12； 当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12. 故P *Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素．] 12．A [p ：a ∈R ，|a |<1⇔－1<a <1⇒a －2<0，可知满足q 的方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a ＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以把命题q 中所有满足条件的a 的范围求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a －2<0，即a <2.]13．{1,2,5}解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}．14．(－∞，0)∪(14，4) 解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 15．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 綈q 是綈p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意可得p ： －1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m ≤－1，3＋m >4⇒m ≥4； 当m <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≤－1，3－m >4 ⇒m ≤－4.综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．16．①③④解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t <0或t >4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确．当n ＝3时，a 1a 2<3，故只能a 1＝1，a 2＝2，解得a 3＝3，于是“复活集”A 只有一个，为{1,2,3}．当n ≥4时，由a 1a 2…a n －1≥1×2×3×…×(n －1)，得n >1×2×3×…×(n －1)，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是n >1×2×3×…×(n －1)，事实上，1×2×3×…×(n －1)≥(n －1)(n －2)＝n 2－3n ＋2＝(n －2)2－2＋n >n ，矛盾，∴当n ≥4时不存在“复活集”A ，故④正确．17．解 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ，故m ＝0；②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m. ∵B ⊆A ，∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或m ＝－13. ∴实数m 的值组成的集合为{0，－12，－13}． 18．解 因为y ＝(x －34)2＋716，x ∈[34，2]，所以y ∈[716，2]．又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34. 19．解 若x ∈A ，则1－2x ＋1x ＋1≥0，即－x x ＋1≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0，x ＋1≠0，解得－1<x ≤0，所以A ＝{x |－1<x ≤0}；若x ∈B ，则[x －(a ＋1)]·[x －(a ＋4)]<0，解得a ＋1<x <a ＋4，所以B ＝{x |a ＋1<x <a ＋4}．(1)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，解得－4<a ≤－2. (2)若A ∩B ＝∅，则a ＋4≤－1或a ＋1≥0，即a ≤－5或a ≥－1，所以若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是(－5，－1)．20．解 (1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．要使g (x )有意义，则3－|x |≥0，解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |x >2或x <－1}∩{x |－3≤x ≤3}＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}．(2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若m >－2，要使C ⊆B 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1. 综上，m ≤1.即实数m 的取值范围是(－∞，1]．21．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，(1)由命题p 为假命题可得A ∩B ＝∅，∴a －1>2，∴a >3.(2)∵命题p 且q 为真命题，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ≠∅且A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得0≤a ≤3.22．解 (1)因为集合A ＝{x |2<x <3}，又a ＝12， 所以函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x ＝lg x －9412－x ， 由x －9412－x >0，可得集合B ＝{x |12<x <94}， ∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}， 故A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ， 由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 应满足x －(a 2＋2)a －x>0， 因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x |a <x <a 2＋2}，依题意就有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，即a ≤－1或1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学(文)精练十二 推理与证明、算法、复数
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(2015·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为________．2．如图所示，阅读流程图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________________．3．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a ＝________.4．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________.5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝____________.6．(2015·苏州模拟)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数满足的条件是________． ①至少有一个不大于2； ②都小于2；③至少有一个不小于2； ④都大于2.7．设复数z ＝7＋i 3＋4i －isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈[－π6，5π6]，则|z |的取值范围是__________．8．(2015·淮安质检)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021，则数列{a n }的通项公式为__________．9．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12……则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．10．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．(2015·镇江检测)执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共扼复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．16.(14分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X ′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x ≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x ≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c .(1)按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(14分)已知m ＞0，a ，b ∈R ，用分析法证明：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .18．(16分)(2015·徐州模拟)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19.(16分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的流程图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(16分)在递增数列{a n}中，a1＝2，不等式(n＋1)a n≥na2n，对任意n∈N*都成立．(1)求a2的取值范围；(2)判断数列{a n}能否为等比数列，并说明理由．答案解析1．S n ＝2n n ＋1解析 S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.2．{x ∈R |0≤x ≤log 23或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，⎩⎨⎧－2＜x ＜2，1≤2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3， 解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 3．－1解析 a 1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1. 4．1解析 由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置， 故此变换的规律是周期为4， ∵2 009＝4×502＋1，∴第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1. 5.5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质， 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中， ∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0， 又F B →＝(c ，b )，A B →＝(－a ，b )， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12. 6．③解析 ∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2. 7．[52，5] 解析 z ＝7＋i3＋4i －isin θ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )－isin θ＝25－25i25－isin θ＝1－(1＋sin θ)i ，所以|z |＝1＋(sin θ＋1)2，由θ∈[－π6，5π6]知12≤sin θ＋1≤2，所以52≤|z |≤ 5. 8．a n ＝2n －1解析 当i ＝1时，a 2＝a 1＋d ，M ＝1a 1a 2，S ＝1a 1a 2；当i ＝2时，a 3＝a 2＋d ，M ＝1a 2a 3，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3； 当i ＝3时，a 4＝a 3＋d ，M ＝1a 3a 4，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4；…因此，由流程图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d . 当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＋1a 5a 6＝(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＋1a 5－1a 6)1d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 61d ＝5a 1a 6＝511， ∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11.① 当k ＝10时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 10－1a 111d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 111d ＝10a 1a 11＝1021， ∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 9．80解析 由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )的个数为4n ， ∴|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80. 10．13 3n ＋1解析 易得第4个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1根． 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析 由 a ≥b ，得x 2≥x 3， 解得x ≤1，所以当x ≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3， 当x ≤1时，由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2.当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 13．2 015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是 63×(63＋1)2＝2 016， 从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 14．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下：①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25， ③⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3.15．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i.因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32， 所以m 的集合为{m |5－12＜m ＜32}． 16．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ； o →15→15＋12＝8→h ； d →4→42＋13＝15→o ； 则明文good 的密文为dhho.(2)逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－1 (x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26 (x ′∈N ，14≤x ′≤26). 则有s →19→2×19－26＝12→l ；h →8→2×8－1＝15→o ；x →24→2×24－26＝22→v ；c →3→2×3－1＝5→e .故密文shxc 的明文为love.17．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0，∴要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15. (2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)，g (5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12. 19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N *)． 由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *，于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n ) ＝b (2－12n )(n ∈N *)． 所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告每天播放量n (次)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n ∈N *. (2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n ≥4(n ∈N *)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]．(2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }是递增数列，所以q ＞1.因为(n ＋1)a n ≥na 2n ，对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n≥q n ．① 因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n≤2(n ∈N *)． 所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n，与①矛盾，故假设不成立． 故数列{a n }不能为等比数列．。
(完整word版)2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学精练7立体几何.doc
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测八立体几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③2．(2015·江西六校联考)某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积()A．有最小值2 B．有最大值2C．有最大值6 D．有最大值43．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是AB和AA1的中点，给出下列说法：①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点；③EF和BD1所成的角为45°；④A1B∥平面CD1E；⑤B1D⊥平面CD1E，其中，正确说法的个数是()A．2 B．3C．4 D．55．(2015·郑州第二次质量预测)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βD．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n6．(2015·天门模拟)将正三棱柱截去三个角如图1所示，A、B、C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为()7.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A′DE ；③三棱锥A′－FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③8．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．7 B.223 C.476D.233第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．(2015·宁夏银川一中模拟)已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中为真命题的序号是________．10．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有______对．11．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．12．已知三棱锥O－ABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，三棱锥O－ABC的体积为54，则球O的表面积为________．13．(2015·湖北七市联考)某个几何体的三视图如图所示，其中正视图的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为________．14．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，M，N分别是AA1，CD，CB的中点，求证：(1)MN∥B1D1；(2)AC1∥平面EB1D1.16.(13分)(2016·江西六校联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2.(1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)点C 到平面AB 1E 上的距离．17．(13分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．18．(13分)(2015·北京海淀第二学期期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)证明：AB⊥平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EF⊥A1C.19.(14分)(2015·泰安二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，CD⊥平面PAD，CD∥AB，AB＝2CD，PD＝AD，E为PB的中点．证明：(1)CE∥平面PAD；(2)PA⊥平面CDE.20．(14分)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．答案解析1．C 2.B 3.B4．B [∵EF ∥CD 1，∴E ，C ，D 1，F 四点共面，故①正确；∵CE 与D 1F 相交，交点在DA 上，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点，故②正确；EF 和BD 1所成的角即为A 1B 和BD 1所成的角， 其正切值为22，故③错误； ∵A 1B ∥CD 1，A 1B ⊄面CD 1E ，∴A 1B ∥平面CD 1E ，故④正确；∵B 1D ⊥AC ，∴B 1D 不垂直于EC ，∴B 1D 不垂直于平面CD 1E ，故⑤错误．]5．C [A 错，两平面可平行；B 错，直线可在平面内；C 正确，符合线面平行的判定定理条件；D 错，两直线可平行，综上可知C 选项正确．]6．A [由题图1和题图2可知题图2的侧视图应是一个直角梯形，其上底是△ABC 的边BC 上的高，下底为△DEF 的边DE 上的高，直角腰为△AED 的边ED 上的高，故侧视图为A.]7．C [①中由已知可得面A′FG ⊥面ABC ，∴点A′在面ABC 上的射影在线段AF 上．②BC ∥DE ，根据线面平行的判定定理可得BC ∥平面A′DE.③当面A′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A′－FDE 的体积达到最大．]8．D [依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积，即23－2×13×12×1×1×1＝233，故选D.]9．①④解析 ①正确，因为l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m ；②错，当两平面相交且交线为直线m 时也满足题意；③错，各种位置关系均有可能；④正确，l ⊥α，l ∥m ⇒m ⊥α，又m ⊂β，所以α⊥β，综上可知命题①④为真命题．10．5解析 底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，可得PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAD ，可得：平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ；AB ⊥平面PAD ，可得平面PAB ⊥平面PAD ；BC ⊥平面PAB ，可得平面PAB ⊥平面PBC ；CD ⊥平面PAD ，可得平面PAD ⊥平面PCD.11.73πa 2 解析 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R ＝(a 2)2＋(a 2sin 60°)2＝ 712a 2，球的表面积S ＝4πR 2＝4π·7a 212＝73πa 2. 12．64π解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O′，在△ABC 中，据余弦定理得AC ＝3，通过构造Rt △得△ABC 的外接圆的半径r ＝1，三棱锥O －ABC 的体积为V ＝13×12×1×1×32×OO′＝54， ∴OO′＝15，∴OB ＝OO′2＋O′B 2＝1＋15＝4，∴S 球＝4π×42＝64π.13．92＋14π解析 依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方形的长、宽、高分别是4,5,4，圆柱的底面半径是2、高是5，因此该几何体的表面积等于3×(4×5)＋2×(4×4)＋π×22＋12×(2π×2)×5＝92＋14π. 14.2＋ 6解析 取SC 的中点M ，CD 的中点N ，连接ME ，EN ，MN ，连接AC ，BD 且交于点O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABCD ，SO ⊂平面SBD ，由面面垂直的判定知平面SBD ⊥平面ABCD ，因为M ，N ，E 均为中点，故MN ∥SD ，ME ∥SB ，又MN∩EM ＝M ，故平面EMN ∥平面SBD ，则有平面EMN ⊥平面ABCD ，因为AC ⊥EN ，所以AC ⊥平面EMN ，故P 是△EMN 的边上任一点，易知MN ＝ME ＝12SD ＝12SO 2＋OD 2＝62，EN ＝2， 故轨迹的周长为2＋ 6.15．证明 (1)∵M ，N 分别是CD ，CB 的中点，∴MN ∥BD.又∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形．所以BD∥B1D1.又MN∥BD，从而MN∥B1D1.(2)方法一连接A1C1，A1C1与B1D1交于O点，连接OE.∵四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点，E是AA1的中点，∴EO是△AA1C1的中位线，EO∥AC1，AC1⊄平面EB1D1，EO⊂平面EB1D1，所以AC1∥平面EB1D1.方法二取BB1中点为H点，连接AH，C1H，EH，∵E，H点分别为AA1，BB1中点，∴EH綊C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，∴ED1∥HC1，又HC1⊄平面EB1D1，ED1⊂平面EB1D1，∴HC1∥平面EB1D1.又∵EA綊B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，∴EB1∥AH，又AH⊄平面EB1D1，EB1⊂平面EB1D1，∴AH∥平面EB1D1.∵AH∩HC1＝H，∴平面AHC1∥平面EB1D1.而AC1⊂平面AHC1，∴AC1∥平面EB1D1.16．(1)证明取AB1的中点G，连接EG，FG，∵F ，G 分别是AB ，AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1. ∵E 为侧棱CC 1的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ， ∴四边形FGEC 是平行四边形，∴CF ∥EG ， ∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ，∴CF ∥平面AB 1E.(2)解 ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥BB 1，∴BB 1⊥平面ABC. 又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵BB 1∩BC ＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA －EB 1C ＝13S △EB 1C·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16. ∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32， ∵VC －AB 1E ＝V A －EB 1C ，∴点C 到平面AB 1E 上的距离为3VC －AB 1E S △AB 1E ＝33. 17．(1)证明 由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1.又∵DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC.由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC.又∵DC∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC.又∵DC 1⊂平面BDC 1，∴平面BDC 1⊥平面BDC.(2)解 设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，∴(V －V 1)∶V 1＝1∶1.∴平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.18．(1)证明 ∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥AB ， 又∵AB ⊥AC ，A 1A∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C 1C.(2)解 ∵平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC∩平面DEF ＝DE ，平面ABC∩平面ABC 1＝AB ，∴AB ∥DE ，∵在△ABC 中，E 是BC 的中点， ∴D 是线段AC 的中点．(3)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝AC ， ∴侧面A 1ACC 1是菱形，∴A 1C ⊥AC 1，由(1)可得，AB ⊥A 1C ，∵AB∩AC 1＝A ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∴A 1C ⊥BC 1.又∵E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.19．证明(1)取PA的中点F，连接DF，EF，∵E是PB的中点，∴在△PAB中有EF∥AB，且EF＝12AB.又CD∥AB，AB＝2CD，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE为平行四边形，∴CE∥DF，∵CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)∵CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA，∵△PAD中，PD＝AD，F为PA的中点，∴DF⊥PF，∵CE∥DF，∴CE⊥PA，∵CE∩CD＝C，CE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，∴PA⊥平面CDE.20．(1)证明因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF.又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)解直线A1B与直线CD不能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．。
2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语阶段滚动检测理北师大版
【创新设计】2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语阶段滚动检测理北师大版(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·成都诊断)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∩B等于( )A.(0，1]B.[1，2)C.(0，1)D.(0，2)解析因为B＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}，故选A.答案 A2.(2015·郑州质量预测)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3}，B＝{x∈Z|x2－6x＋5＜0}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1，5，6}B.{1，4，5，6}C.{2，3，4}D.{1，6}解析化简知B＝{x∈Z|1＜x＜5}＝{2，3，4}，∴A∪B＝{2，3，4}，∴∁U(A∪B)＝{1，5，6}.答案 A3.命题“存在x∈∁R Q，x3∈Q”的否定是( )A.存在x∉∁R Q，x3∈QB.存在x∈∁R Q，x3∉QC.任意x∉∁R Q，x3∈QD.任意x∈∁R Q，x3∉Q解析根据特称命题的否定为全称命题知，选D.答案 D4.(2016·日照一模)设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由a＜b＜0，可得ab－b2＝(a－b)b＞0，即ab＞b2，当a＝2，b＝1时，ab＞b2，显然a＜b＜0不成立，故选A.答案 A5.(2016·东北三省三校联考)已知集合A＝{0，b}，B＝{x∈Z|x2－3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( )A.1B.2C.3D.1或2解析由题意知B＝{1，2}，∵A∩B≠∅，∴b＝1或2.答案 D6.(2016·芜湖一调)设全集U＝R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|x＜1或x≥3}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}解析图中阴影部分表示N∩(∁U M)，M＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜－2}，∴∁U M＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁U M)＝{x|－2≤x＜1}.答案 A7.(2015·唐山模拟)命题p：存在x0∈N，x30＜x20；命题q：任意a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图像过点(2，0)，则( )A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真解析∵x3＜x2，∴x2(x－1)＜0，∴x＜0或0＜x＜1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，选A.答案 A8.(2016·沈阳质量监测)设直线l1：2x－my＝1，l2：(m－1)x－y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为当l1∥l2时，－2＋m(m－1)＝0，解得m＝2或m＝－1，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.答案 A9.已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A.(－1，1)B.(－2，2)C.[0，2)D.(－∞，2)解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}.而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.答案 C10.(2016·长沙模拟)下列命题中，真命题是( )A.存在x∈R，|x|≤0B.任意x∈R，e x＞x eC.a －b ＝0的充要条件是a b＝1 D.若p 且q 为假，则p 或q 为假解析 B 选项：当x ＝e 时，e e＝e e，∴B 错误；C 选项：当a ＝b ＝0时，满足a －b ＝0，但不满足a b＝1，∴C 错误；D 选项：若p 且q 为假，则p ，q 至少有一个为假，当p 真q 假或p 假q 真时，p 或q 为真，∴D 错误.答案 A11.(2016·遵义省级市范高中联考)下列说法不正确的是( ) A.命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题 B.任意a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 D.α＜0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减解析 对于A ，“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的逆命题为“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”显然为假命题，所以其否命题是假命题；对于B ，令ln x ＝t ，任意a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件；对于C ，由两个三角形的面积相等不能得知这两个三角形全等，因此选项C 不正确；对于D ，显然正确. 答案 C12.ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( ) A.0＜a ≤1 B.a ＜1C.a ≤1D.0＜a ≤1或a ＜0解析 法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根. 当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0， 即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a，当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0⇒a ＜0；当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，⇒0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ； 当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B. 答案 C 二、填空题13.(2016·合肥质检)若全集U ＝{0，1，2，3，4，5}且∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}，则集合A 的真子集共有________个.解析 求出集合后求解真子集.由题意可得A ＝{0，4，5}，所以集合A 的真子集有23－1＝7(个). 答案 714.若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题， ∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2， ∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)15.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 答案 [0，2]16.设命题p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；命题q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________.解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1，所以命题p 为真时：m ＜－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3，所以命题q 为真时：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假，可知命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3，所以所求实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3). 答案(－∞，－2]∪[－1，3)。
2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用阶段滚动检测 理 北师大版
【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用阶段滚动检测 理 北师大版(建议用时：90分钟)一、选择题1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}， 由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，∵x ＝1为函数的极值点，∴f ′(1)＝0，即3－a ＝0，∴a ＝3. 答案 C4.(2016·宝鸡质检)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12B.1C.32D. 3解析 由题意知S ＝ππ33ππ33cos d sin |x x x--=⎰＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.答案 D5.(2016·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图像是()解析 由题意得，f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，－（t －2）2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫22＜t ＜2，1（t ≥ 2），故其图像为C. 答案 C6.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A.0B.1C.2D.3解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0. 答案 A7.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )解析 如图所示，当x ∈(－∞，x 0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对照各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图像只有A 项符合.答案 A8.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图像与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A.(－2，1)B.[0，1]C.[－2，0)D.[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图像，由图像可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1.答案 D9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x·f (x )＞e x＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |x ＜－1或0＜x ＜1}解析 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x.因为g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，故原不等式化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0. 答案 A10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，故y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图像有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当直线l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，则x 0＝1，从而令2a ＝1，∴a ＝12.结合函数图像知0<a <12.答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________. 解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.答案 112.(2016·杭州高三模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件.其中真命题的序号是________.解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sinB ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④. 答案 ①④13.（2016·上饶期末）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1， 0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________. 解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1).①又因为f (－1)＝f (1)， 所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.答案 －1014.若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x2. 当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，则a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]. 答案 (－∞，4] 三、解答题15.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 解 (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2.) 16.(2016·南山中学月考)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0). (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)， 则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立.②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意.③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图像可知显然不合题意. 综上可知，a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞). (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减.所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，则x －sin x ≤16x 3(x ≥0).所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.17.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x （x ＋1）2－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x(x ＞0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2x x2. (ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0.可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，11－k 时， (k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0.故h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x2h (x )＜0.与题设矛盾.(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x2h (x )＜0，与题设矛盾.综合得k 的取值范围为(－∞，0].18.(2016·陕西检测)设函数f (x )＝e x－ax －1. (1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； (2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋nn ＋1＜(n ＋1)n ＋1.(1)解 由题意知f ′(x )＝e x－a ≥0对x ∈R 均成立，又e x＞0(x ∈R )，故a 的取值范围为(－∞，0].(2)证明 由a ＞0，及f ′(x )＝e x－a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝eln a－a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ，故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，故g (a )≤0. (3)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x－x －1，由(2)可知，e x－x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立.∴当x ≠0时，总有e x＞x ＋1. 于是，可得当x ≠0时，(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e(n ＋1)x(n ∈N +).令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ； 令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)； 令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)； ……令x ＋1＝nn ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1. 对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e－(n －1)＋e－(n －2)＋…＋e－1＝e －n（1－e n）1－e ＝e －n－11－e ＝1－e －ne －1＜1e-1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.阶段。
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文)(北师大,全国)精练四 三角函数、解三角形
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测四 三角函数、解三角形第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·河南中原名校高三期中)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( )A ．－15B.15C ．－75D.752．(2015·广西贵港市模拟)已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6)等于( )A ．－35B ．－45C.45D.353．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里4．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( )A.1313B.35C.45D.239135．(2015·安庆市大观区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3c a ，sin C ＝23sin B ，则tan A 等于( ) A.3B ．1C.33D ．－ 36．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π67．(2015·泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( ) A.3B ．23C.233 D.4338．(2015·湖北省教学合作联考)将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图像向右平移π4个单位长度，所得图像对应的函数g (x )( ) A ．有最大值，最大值为3＋1 B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈ZC ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增9．已知函数f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)(ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－32，则ω的值为( ) A.34B.12C ．1D.3210．(2015·山东日照一中第三次阶段测试)给出如下性质：①最小正周期为π；②图像关于直线x ＝π3对称；③在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6 C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 11．(2015·徐州质检)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为( )A.55B ．－1010C ．－210D.101012．(2015·上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos Ccos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为( ) A ．2B.13C ．23D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．(2015·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16．(2015·湖南师大附中月考)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图像关于原点对称，则φ的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·福建龙海二中期末)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (2π＋α). (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝1，求3sin α－2cos α2sin α－cos α的值．18．(12分)(2015·北京)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．19．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．20．(12分)(2015·惠州第三次考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图像上，求sin ∠MNP 的值．21．(12分)(2015·醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．22．(12分)已知函数f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ(|φ|<π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x＝7π24对称． (1)求φ的值；(2)若π3<α<5π12，且f (α)＝45，求cos4α的值；(3)若0<θ<π8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4)<|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．答案解析1．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α>0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝125， ∴sin α＋cos α＝15，故选B.]2．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.]3．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°， 从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．]4．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913.] 5．C6．C [由函数的图像可得A ＝2，根据14T ＝14·2πω＝56－13＝12，求得ω＝π.再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23， ∴由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得：sin C ＝AB sin BAC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°，∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )⇔π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.] 9．B10．C [∵最小正周期为π，∴排除A ，B ；图像关于直线x ＝π3对称，且在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上是增函数，故排除D ，选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→·OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.]12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3.]13．0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.14．－14解析 ∵2sin B ＝3sin C ， ∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.15．8解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8. 16.3π4解析 函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图像平移规律可得平移后图像对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图像关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4.17．解 (1)f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (2π＋α)＝sin αsin αcos αsin α＝tan α，即f (α)＝tan α.(2)由(1)可得，f (α)＝tan α.又∵f (α)＝1， ∴tan α＝1， ∴3sin α－2cos α2sin α－cos α＝3tan α－22tan α－1＝1，即3sin α－2cos α2sin α－cos α＝1.18．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 19．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.20．解 (1)由图可知，A ＝1， 最小正周期T ＝4×2＝8， 所以T ＝2πω＝8，ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<π4＋φ<3π4，π4＋φ＝π2，φ＝π4.所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)， |MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20， 从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45.21．解 (1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55，cos C ＝cos(π－A －B ) ＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B＝－22·255＋22·55＝－1010. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝31010， 由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，即2522＝AB31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，∴CD ＝ 5.22．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图像的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )， 令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|<π2，故φ＝－π6. (2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π2<2α－π6<2π3，故cos(2α－π6)＝－35， 故sin2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos4α＝1－2sin 22α＝243－750.(3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6)＝2sin(2θ＋π12)，因为0<θ<π8，所以π12<2θ＋π12<π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)<2×32＝62，故只需|m －4|≥62，即m ≤4－62或m ≥4＋62，即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)．。
2017版高考数学一轮复习第五章平面向量阶段滚动检测理北师大版
【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量阶段滚动检测 理 北师大版(建议用时：90分钟)一、选择题1.(2016·山东省实验中学诊断)下列有关命题的叙述错误的是( ) A.若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件 B.若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C.命题“任意x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≤0” D.“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件解析 易知，A 正确；p 且q 为假，p ，q 至少有一个为假，B 错误；“任意”的否定是“存在”，“＞”的否定是“≤”，C 正确；“x ＞2”一定能推出“1x ＜12”，但当x ＝－1时，满足1x ＜12，但不满足x ＞2，所以“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件，D 正确.综上可知，选B. 答案 B2.(2016·阜阳一模)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，得2a －b ＝(3，n )，若2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，则有－3＋n 2＝0，解得n 2＝3，故选C. 答案 C3.(2015·南昌十所重点中学二模)在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128解析 设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1， ∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n ＞0，∴q ＞0， ∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127，故选C.答案 C4.(2016·渭南一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A.－43B.43C.－43或0D.43或0 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1 或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案 D5.(2016·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A.31B.36C.42D.48解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2（q ＝－2舍）， 所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.答案 A6.(2016·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A.5 B.13或37 C.37D.13解析 由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×sin A ＝33，得sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.答案 D7.(2015·榆林二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A.3B.4C.5D.6解析 因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64， 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A.答案 A8.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和的值最大时，n 的值是( ) A.6B.7C.8D.9解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴a n －a n －1＝－3， ∴{a n }是以19为首项，以－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前n 项和最大，故有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3n ≥0，22－3（n ＋1）≤0，∴193≤n ≤223，∵n ∈N +，∴n ＝7，故选B. 答案 B 二、填空题9.(2016·枣庄四校联考)函数y ＝lg （4－x ）3－x的定义域为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，3－x ≠0，∴x ＜4且x ≠3.答案 {x |x ＜4且x ≠3}10.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9＝________. 解析 由a 10＝S 4，得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ， 所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4.答案 411.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比q ＝________.解析 由2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，得6S 2＝2S 1＋4S 3， 即3S 2＝S 1＋2S 3，2(S 2－S 3)＋S 2－S 1＝0，则－2a 3＋a 2＝0，所以公比q ＝a 3a 2＝12.答案 1212.(2016·陕西质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2（1－3n）1－3＝3n－1.答案 3n－113.(2016·萍乡统考)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N +)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.解析 ∵2S n －na n ＝n ①，∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1②， ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③， ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④，∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1， ∴a 1＝1，∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2.∴a 2＝1－2＝－1. 答案 －114.(2014·安徽卷)如图，在等腰直角△ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推.设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析 由BC ＝22得AB ＝a 1＝2⇒AA 1＝a 2＝2⇒A 1A 2＝a 3＝2×22＝1，由此可归纳出{a n }是以a 1＝2为首项，22为公比的等比数列， 因此a 7＝a 1×q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案 14三、解答题15.(2016·青岛统一检测)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图像上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图像上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π， ∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16.(2016·东北三校二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N +). (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n ＜a 对任意正整数n都成立，求a 的取值范围.(1)证明 因为S n ＝2a n －2n (n ∈N +)， 所以S n －1＝2a n －1－2(n －1)(n ≥2)， 所以S n －S n －1＝a n ＝2a n －2a n －1－2(n ≥2)， 所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)(n ≥2). 又当n ＝1时，S 1＝2a 1－2＝a 1， 解得a 1＝2，所以a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝4×2n －1(n ∈N +)，所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N +).(2)解 因为b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜12， 因为T n ＜a 对任意正整数n 都成立，所以a ≥12.17.(2016·齐鲁名校联合测试)已知函数f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R ).(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调区间.解 (1)∵f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R )，∴f (1)＝a ，f ′(x )＝－x ＋a －1＋2－ax，f ′(1)＝0，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝a .(2)∵f ′(x )＝－x ＋a －1＋2－a x ＝－x 2＋（a －1）x ＋2－a x(x ＞0)，∴f ′(x )＞0⇔－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＞0，f ′(x )＜0⇔－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＜0.令g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＝0， 解得x 1＝1，x 2＝a －2.①当a ＞3时，x 2＞x 1，g (x )＞0的解集是1＜x ＜a －2，g (x )＜0的解集是0＜x ＜1或x ＞a －2，∴f (x )的单调增区间是(1，a －2)，单调减区间是(0，1)，(a －2，＋∞).②当a ＝3时，x 2＝x 1，对任意的x ＞0，都有g (x )≤0， ∴f (x )的单调减区间是(0，＋∞). ③当2＜a ＜3时，0＜x 2＜x 1，g (x )＞0的解集是a －2＜x ＜1， g (x )＜0的解集是0＜x ＜a －2或x ＞1，∴f (x )的单调增区间是(a －2，1)，单调减区间是(0，a －2)，(1，＋∞). ④当a ≤2时，x 2≤0，g (x )＞0的解集是0＜x ＜1，g (x )＜0的解集是x ＞1， ∴f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).综上所述，当a ＞3时，f (x )的单调增区间是(1，a －2)，单调减区间是(0，1)，(a －2，＋∞)；当a ＝3时，f (x )的单调减区间是(0，＋∞)，没有单调增区间； 当2＜a ＜3时，f (x )的单调增区间是(a －2，1)， 单调减区间是(0，a －2)，(1，＋∞)；当a ≤2时，f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞). 18.(2015·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N +恒成立的实数k 的取值范围.解 (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，∵S n ＝2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2. ∴数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n(n ∈N +).(2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.由(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N +恒成立，即实数（n －8）（n ＋1）2≥k 对n ∈N +恒成立；设c n ＝12(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，取得最小值为－10，∴k ≤－10。
2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学(理)精练九 平面解析几何
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九 平面解析几何第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为________．2．(2015·南京模拟)已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是__________．3．(2015·潍坊模拟)设F 是椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于12(M ＋m )的点的坐标是__________．4．(2015·镇江模拟)已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p的值为________．5．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为________．6．(2015·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．7．(2016·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．8．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是____________．9．(2015·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bxa对称，则该双曲线的离心率为______．10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.11．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足|M F →|＝1且M P →·M F →＝0，则|PM →|的最小值为________．12．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b 的最小值为________．13．(2015·南通模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________.14．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)(2015·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．16．(14分)(2015·扬州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．17.(14分)如图所示，离心率为12的椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为常数，过点P 作AB 的平行线交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆Ω的方程；(2)若点P (1,1)，求直线MN 的方程，并证明点P 平分线段MN .18．(16分)(2015·连云港模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)已知直线n ：y ＝k (x －1)(k ＞0)，n 与C 交于A ，B 两点，n 与l 交于点D ，且F A ＝FD ，求△ABQ 的面积．19.(16分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．20．(16分)(2015·青岛质检)已知椭圆C 1的中心为原点O ，离心率e ＝22，其一个焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，若抛物线C 2与直线l ：x －y ＋2＝0相切． (1)求该椭圆的标准方程；(2)当点Q (u ，v )在椭圆C 1上运动时，设动点P (2v －u ，u ＋v )的运动轨迹为C 3.若点T 满足：O T →＝M N →＋2OM →＋O N →，其中M ，N 是C 3上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，试说明：是否存在两个定点F 1，F 2，使得TF 1＋TF 2为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1.3π4解析 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆， 则有k 2＋4－4k 2＞0，解得0≤k 2＜43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值1，此时直线方程为y ＝－x ＋2， 由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1， 又因为α∈[0，π)，所以α＝3π4. 2．抛物线解析 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，则P (x 0，y 0)，有x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0. ∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′，即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12，∴Q 点的轨迹是抛物线． 3．(0，±1)解析 据题意可知椭圆上的点到右焦点F 的最大距离为椭圆长轴的左端点到F 的距离． 故M ＝a ＋c ＝2＋3，最小距离为椭圆长轴的右端点到F 的距离， 即m ＝a －c ＝2－3，故12(M ＋m )＝12(2＋3＋2－3)＝2， 易知点(0，±1)满足要求． 4.116解析 依题意得双曲线中a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝4，∴e ＝c a ＝2，抛物线方程为y 2＝12px ，故18p ＝2，得p ＝116. 5．12解析 如图，设A 的坐标为(x ，y )， 则根据对称性得B (－x ，－y )，则△F 1AB 面积S ＝12×OF 1×|2y |＝c |y |.∴当|y |最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，则△F 1AB 面积的最大值为cb ＝25－16×4＝12. 6．2 3解析 因为抛物线C ：y 2＝42x 的准线方程是x ＝－2， 所以由PF ＝42得x p ＝32， 代入抛物线方程得y p ＝±26， 所以△POF 的面积为 12·OF ·|y p |＝12×2×26＝2 3. 7．1＋ 2解析 依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，AF 1＝22＋22＝22，AF 2＝F 1F 2＝2， 双曲线C 的离心率为e ＝F 1F 2AF 1－AF 2＝222－2＝2＋1.8．[2－1，＋∞)解析 欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立， 则c ≥(－x －y )max .令t ＝－x －y ，由题意知，当直线y ＝－x －t 与圆相切时，t 可取到最大值． 由数形结合可知，圆心到直线的距离为d ＝|1＋t |2＝1，解得t ＝±2－1，所以t ＝2－1时，取得最大值． 即c ≥2－1. 9. 5解析 记线段PF 2与直线y ＝bax 的交点为M ，依题意，直线y ＝ba x 是已知双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且PF 2＝2MF 2＝2b ；又点O 是F 1F 2的中点，因此有PF 1＝2OM ＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得PF 2＝PF 1＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ，该双曲线的离心率是e ＝1＋(ba )2＝ 5.10.45解析 如图，过A ，B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值． ∴S △BCF S △ACF ＝BCAC. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC ，∴BC AC ＝BB 1AA 1，由抛物线定义BB 1AA 1＝BF AF ＝2AF ，由BF ＝BB 1＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)，把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴AF ＝AA 1＝52.故S △BCF S △ACF ＝BF AF ＝252＝45. 11. 3解析 由题意可得F P →·F M →＝|F M →|2＝1，所以|P M →|＝|F M →－F P →|＝1＋|F P →|2－2＝|F P →|2－1≥(5－3)2－1＝3，当且仅当点P 在右顶点时取等号，所以|PM →|的最小值是 3.12.233解析 由题意，ba＝3，∴b ＝3a ，∴c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233.13．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ， 故有GF 1＝12AN ，GF 2＝12BN ，所以AN ＋BN ＝2(GF 1＋GF 2)＝4a ＝12. 14．2或233解析 设AB →与m 的夹角为θ， 则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得b a ＝ 3.当λ>0时，e ＝ca ＝1＋(ba )2＝2；当λ<0时，e ＝cb＝1＋(a b )2＝233.15．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C (3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 即kx －y ＋3＝0，∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2＋1，∴2k (4k ＋3)＝0， ∴k ＝0或k ＝－34，∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， ∴设圆心C 为(a,2a －4)，则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1. 又∵MA ＝2MO ，∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1， 解得a 的取值范围为[0，125]．16．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为(1，32)．17．解 (1)由题意得e ＝c a ＝12，a ＋c ＝3，联立a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝λPC →可得C (1－x 1λ＋1，1－y 1λ＋1)．∵点C 在椭圆上，故(1＋λ－x 1)24λ2＋(1＋λ－y 1)23λ2＝1，整理得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＋(x 214＋y 213)＝λ2，又点A 在椭圆上可知x 214＋y 213＝1，故有712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＝λ2－1.①由BP →＝λPD →，同理可得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 2＋4y 2)＝λ2－1.②②－①得3(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝－34.又AB ∥MN ，故k MN ＝－34，∴直线MN 的方程为y －1＝－34(x －1)，即3x ＋4y －7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，3x ＋4y －7＝0可得21x 2－42x ＋1＝0⇒x M ＋x N ＝2＝2x p ， ∴P 是MN 的中点，即点P 平分线段MN .18．解 (1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F (p2，0)，Q (－p2，3p )，点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M (3p2，3p )，MF ＝2p .由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点， 故3p 2＝p 2＋52，解得p ＝2. 故抛物线C ：y 2＝4x ， 圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x ＝－1得y ＝－2k ，则D (－1，－2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1) 得ky 2－4y －4k ＝0(k ＞0)，即y ＝2＋21＋k 2k 或y ＝2－21＋k 2k .∵F A ＝FD ，则A 的纵坐标为2＋21＋k 2k ，且2＋21＋k 2k ＝2k ，解得k ＝ 3.∴A (3,23)，B (13，－233)，直线n ：y ＝3(x －1)，Q (－1,23)，则AB ＝163，点Q 到直线n 的距离d ＝23， △ABQ 的面积S ＝12·AB ·d ＝1633.19．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， 可得ba ＝1，解之得a ＝b ，∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝b ＝ 2. 由此可得双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设A 的坐标为(m ，n )，可得直线AO 的斜率满足k ＝n m ＝－1－3，即m ＝3n .①∵以点O 为圆心，c 为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， ∴将①代入圆的方程，得3n 2＋n 2＝c 2， 解得n ＝12c ，m ＝32c ，将点A (32c ，12c )代入双曲线方程，得(32c )2a 2－(12c )2b 2＝1，化简得34c 2b 2－14c 2a 2＝a 2b 2，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2代入上式，化简整理得34c 4－2c 2a 2＋a 4＝0，两边都除以a 4，整理得3e 4－8e 2＋4＝0， 解之得e 2＝23或e 2＝2，∵双曲线的离心率e >1，∴该双曲线的离心率e ＝2(舍负)．20．解 (1)由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，x －y ＋2＝0⇒y 2－2py ＋22p ＝0，∵抛物线C 2：y 2＝2px 与直线l ：x －y ＋2＝0相切， ∴Δ＝4p 2－82p ＝0⇒p ＝2 2. ∴抛物线C 2的方程为y 2＝42x ， 其准线方程为x ＝－2，∴c ＝ 2. ∵离心率e ＝c a ＝22，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ′，y ′)，T (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2v －u ，y ′＝u ＋v ⇒⎩⎨⎧u ＝13(2y ′－x ′)，v ＝13(x ′＋y ′).∵点Q (u ，v )在椭圆C 1上，∴u 24＋v 22＝1⇒[13(2y ′－x ′)]2＋2[13(x ′＋y ′)]2＝4 ⇒x ′2＋2y ′2＝12，∴点P 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝12. 由O T →＝M N →＋2OM →＋O N →得(x ，y )＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＋2(x 1，y 1)＋(x 2，y 2) ＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0.∵点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝12上， ∴x 21＋2y 21＝12，x 22＋2y 22＝12，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2) ＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝60＋4(x1x2＋2y1y2)．∴x2＋2y2＝60，从而可知点T是椭圆x260＋y230＝1上的点．∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆x260＋y230＝1的两个焦点，使得TF1＋TF2为定值，其坐标为F1(－30，0)，F2(30，0)．。
2017届高三数学(全国,理)一轮复习滚动检测 滚动检测五 含解析
高三单元滚动检测卷·数学考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2）＜0｝，B＝{x｜x＜a},若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（)A．[0，＋∞)B．（0,＋∞)C．［2，＋∞）D．（2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”,给出四个函数：f1（x)＝2log2（x＋1），f2(x)＝log2(x＋2),f3(x）＝log2x2，f4（x)＝log2（2x），则“同根函数”是（）A．f2(x）与f4（x）B．f1(x)与f3(x）C．f1（x)与f4(x）D．f3（x）与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg（1－x）的值域为R；命题q：函数y＝2cos x 是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是（) A．p∧q B．（綈p）∨（綈q）C．(綈p）∧q D．p∧（綈q)4．(2015·河南名校联考)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则错误!的值为（）A．0 B．2 014C．2 015 D．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布（) A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺6．（2015·渭南模拟)已知椭圆错误!＋错误!＝1上有n个不同的点P1,P2，…，P n，且椭圆的右焦点为F,数列｛｜P n F|｝是公差大于错误!的等差数列,则n的最大值为( )A．2 001 B．2 000C．1 999 D．1 9987．(2015·河北衡水中学第二次调研考试）已知f（x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x）g（x）＞f（x)g′（x)，且f（x）＝a x g（x）（a＞0，且a≠1），f1g1＋错误!＝错误!.若数列{错误!}的前n项和大于62，则n的最小值为( ）A．6 B．7C．8 D．98．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（)A．AD⊥平面PBC且三棱锥D－ABC的体积为83 B．BD⊥平面PAC且三棱锥D－ABC的体积为错误! C．AD⊥平面PBC且三棱锥D－ABC的体积为错误! D．BD⊥平面PAC且三棱锥D－ABC的体积为错误!9．若错误!≤a≤错误!在t∈(0,2］上恒成立，则a的取值范围是( ) A．[错误!，1] B．［错误!，2错误!］C．［错误!，错误!] D．［错误!，1]10．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，A错误!·A错误!＝－2，则|A错误!|的最小值是( )A。
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高三单元滚动检测卷·数学 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。 3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测十 统计与统计案例 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( ) A．13B．19C．20D．51 2．从N个编号中抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为( )
A.Nn B．n
C．[Nn] D．[Nn]＋1 3．已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于( )
A．±14 B．±12
C．±128 D．无法求解 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表： 班级与成绩列联表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
总计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为( ) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为( ) 分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A.3B．3C.2105D.85 6.如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a2＋b2
的最小值是( ) A．24 B．32 C．36 D．48 7．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4 C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4 8．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多大的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附： P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.0.1% B．1% C．99% D．99.9% 9．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本分别在[40,50)，[50,60)上的数据个数可能是( )
A．7和6B．6和9C．8和9D．9和10 10．对四组数据进行统计，获得图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( ) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 11．(2015·驻马店模拟)中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2013年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A．36B．35C．32D．30 12．(2015·蚌埠模拟)给出以下命题： ①若p或q为假命题，则p与q均为假命题； ②对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi) (i＝1,2，„，8)，其线性回归方程
是y＝13x＋a，且x1＋x2＋x3＋„＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋„＋y8)＝6，则实数a＝14； ③对于分类变量X与Y的随机变量χ2来说，χ2越小，“X与Y有关联”的把握程度越大； ④已知x－12－x≥0，则函数f(x)＝2x＋1x的最小值为16. 其中真命题的个数为( ) A．0B．1C．2D．3 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数，中位数分别为________．
14．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类别 A B C
产品数量(件) 1300 样本容量(件) 130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件． 15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 16．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数； ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化； ③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样； ④一组数据的方差一定是正数； ⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆，则这五种说法中错误的是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·济南模拟)从某高校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量，被测学生的身高全部在155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差． 求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图． 频率分布表： 分组 频数 频率 频率/组距 „ „ „ „ [180,185) x y z [185,190) m n p „ „ „ „
18．(12分)(2015·江西八所重点中学联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值； (2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率． 19．(12分)(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a＝y－bt.
20．(12分)为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)把一班竞赛成绩统计图补充完整； (2)写出下表中a，b，c的值. 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 一班 a b 90 二班 87.6 80 c
(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析； ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成绩．
21．(12分)某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数