轴对称与整式讲义

龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 1 第十二章 轴对称

一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称

区别联系

图形(1)轴对称图形是指( )具有特殊形状的图形,只对( )图形而言;(2)对称轴( )只有一条(1)轴对称是指( )图形的位置关系,必须涉及( )图形;(2)只有( )对称轴.

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.

BC

AC'B'A'ABC一个一个不一定两个两个

一条

知识回顾：

4.轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 2 三、用坐标表示轴对称小结： 1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【典型例题】 [例1] 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于点E，求证：BE⊥CD

解析：因为DE⊥AB，所以∠BDE=90°，因为∠ACB =90°，所以∠BDE=∠ACB，又因为BD=BC，BE是公共边，所以△BDE≌△BCE，所以BE平分∠DBC，又因为△DBC是等腰三角形，所以利用等腰三角形三线合一，得到BE⊥CD

[例2] 如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠FEM的度数 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校

3 答案：75° 解析：因为AB=BC=CD=DE=EF，所以△ABC和△BCD和△DCE和△DEF都是等腰三角形，又因为∠A=15°，所以∠ACB=15°，再利用三角形的外角定理，得到∠CBD= 30°，所以∠CDB=30°，再利用外角定理，得到∠DCE=45°，所以∠DEC=45°，同理 ∠EDF=60°，所以∠EFD=60°，所以∠FEM=∠EFD+∠A=75°

[例3] 如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，若BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数

B C

A D E

答案：45 解析：因为AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，所以△ABC和△BCD和△ADE和△EBD都是等腰三角形，所以设∠EBD=x，所以∠EDB=x，所以∠AED=2x，所以∠A=2x，又因为∠BDC=∠A+∠ABD，所以∠BDC=3x，所以∠C=3x，所以∠ABC=3x，再利用三角形内角和定理，得到8180x，所以∠A=2x=45

[例4] 如图，已知△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若AB+BD=DC，求证：∠B=2∠C

证明：在线段DC上截取DE=BD，连接AE，因为AD⊥BC，并且DE=BD，所以AD是线段BE的垂直平分线，所以AB=AE，又因为AB+BD=DC，所以AE+DE=DC，所以AE=DC－DE=EC，所以∠C=∠EAC，利用外角定理，得到∠AEB=2∠C，又因为AB=AE，所以∠B=∠AEB，所以∠B=2∠C

[例5] 已知△ABC中，AB=AC，D、E分别为BC、AC上的点，若AD=AE，∠BAD= 30°，求∠EDC的度数 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 4 答案：15° 解析：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，又因为AD=AE，所以△ADE是等腰三角形，所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED，又因为∠AED=∠EDC+∠C，∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，所以∠C+∠EDC=∠B+∠BAD－∠EDC，所以2∠EDC=∠BAD，又因为 ∠BAD=30°，所以∠EDC=15°

[例6] 如图，已知F、C是线段BE上两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE，求证：△PQR是等腰三角形

P B E Q R C F

A D

证明：因为BF=CE，所以BF+FC=CE+FC，所以BC=EF，因为∠B=∠C，AB=DE，所以△ABC≌△DEF，所以∠ACB=∠DFE，又因为QR∥BE，所以∠ACB=∠Q，∠DFE= ∠R，所以∠Q=∠R，所以PQ=PR，所以△PQR是等腰三角形

[例7] 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC到E，使CE=BD，DE交BC于F，求证：DF=EF

解析：在BC上取一点G，使DG=DB，所以∠B=∠DGB，又因为AB=AC，所以∠B=ACB，所以∠DGB=∠ACB，所以DG∥AC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，又因为BD=CE，所以DG=CE，所以△DGF≌△ECF，所以DF=EF 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校

5 [例8] 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE是∠CAB的平分线，交CD于F，FM∥AB且交BC于M，则CE与MB的大小关系怎样？并证明你的结论

答案：CE=MB 解析：过E作EG⊥AB，根据角平分线定理，可以得到EC=EG，又因为∠CAE=∠GAE，所以∠CEA=∠AFD，所以∠CEF=∠CFE，所以CE=CF=EG，又因为FM∥AB，所以∠EMF=∠B，所以△CFM≌△EGB，所以CM=EB，所以CE=MB

G F C

B A D

E M

【模拟试题】 一. 选择题： 1. 下列各命题中正确的是（ ） A. 一个角的平分线是这个角的对称轴 B. 直角三角形的两条直角边是这个直角三角形的对称轴 C. 等腰三角形底边上的高所在的直线是这个等腰三角形的对称轴 D. 等边三角形各边中线是它的对称轴 2. 已知AD是等腰△ABC底边上的中线，下列结论正确的个数是（ ） ① BD=DC ② AD⊥BC ③ ∠B=∠C ④ ∠BAD=∠DAC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为60°，则顶角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 4. 直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为60°，则斜边上的高是（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm

5. 三角形三边长为,,abc，满足222()()()0abbcca，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 任意三角形

二. 填空题： 1. 等腰三角形的顶角是70，底角等于 2. 在△ABC中，AB=AC，∠A:∠B=1:4，则∠C= 3. 等腰三角形两边长为4cm和9cm，则这个三角形的周长为 4. 已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC= 龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 6 5. 等腰直角三角形中，若斜边与斜边上的高的和为18cm，则斜边为

三. 解答题： 1. 如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥AB，AD=4.8cm，求BC的长

2. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在斜边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠ECD的度数

【试题答案】 一. 1. C 2. D 3. C 4. B 5. C

二. 1. 55° 2. 80° 3. 22cm 4. 15° 5. 12cm

三. 1. 14.4cm 2. 45

第十四章 整式的乘除与因式分解 一、知识点总结： 1、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：235()()()ababab 2、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3( 幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()( 如：23326)4()4(4 3、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx 4、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab 5、零指数和负指数； 10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。

C B

E D