二次函数的图象【六大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)

1 专题26.2 二次函数的图象【六大题型】 【华东师大版】

【题型1 二次函数的配方法】 ............................................................................................................................... 1 【题型2 二次函数的五点绘图法】 ....................................................................................................................... 5 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 ................................................................................................ 9 【题型4 二次函数图象的平移变换】 ................................................................................................................... 12 【题型5 二次函数图象的对称变换】................................................................................................................ 14 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】...................................................................................................... 16

【知识点1 二次函数的配方法】 𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄(𝒂≠𝟎) =𝒂(𝒙𝟐+𝒃𝒂𝒙+𝒄𝒂) ①提取二次项系数； =𝒂[𝒙𝟐+𝒃𝒂𝒙+(𝒃𝟐𝒂)𝟐−(𝒃𝟐𝒂)𝟐+𝒄𝒂] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； =𝒂[(𝒙+𝒃𝟐𝒂)𝟐+𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐𝟒𝒂𝟐] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项; =𝒂(𝒙+𝒃𝟐𝒂)𝟐+𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐𝟒𝒂 ④化简：去掉中括号.

二次函数的一般形式𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄(𝒂≠𝟎)配方成顶点式𝒚=𝒂(𝒙+𝒃𝟐𝒂)𝟐+𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐𝟒𝒂𝟐，由此得到二次函数对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开

口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y=12x2﹣2x+3； （2）y＝（1﹣x）（1+2x）． 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般 2

式转化为顶点式； （2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【解答】解：（1）y=12x2﹣2x+3 =12（x﹣2）2+1，

开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）； （2）y＝（1﹣x）（1+2x） ＝﹣2x2+x+1

＝﹣2（x−14）2+98， 开口向下，对称轴是直线x=14，顶点坐标（14，98）． 【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标． （1）y＝2x2﹣8x+7； （2）y＝﹣3x2﹣6x+7； （3）y＝2x2﹣12x+8； （4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）． 【分析】（1）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标； （3）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标； （4）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1， 对称轴为x＝2， 顶点坐标为（2，﹣1）； （2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+7＝﹣3（x+1）2+10，

对称轴为x＝﹣1， 顶点坐标为（﹣1，10）；

（3）y＝2x2﹣12x+8＝2（x2﹣6x+9﹣9）+8＝2（x﹣3）2﹣10， 3

对称轴为x＝3， 顶点坐标为（3，﹣10）； （4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）＝﹣3（x2﹣2x﹣15）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1﹣15）＝﹣3（x﹣1）2+163， 对称轴为x＝1， 顶点坐标为（1，163）． 【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶

点坐标及最大值或最小值．

（1）y＝﹣2x﹣3+12x2 （2）y＝﹣2x2﹣5x+7 （3）y＝ax2+bx+c（a≠0）

【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的顶点坐标及最值．

【解答】解：（1）y＝﹣2x﹣3+12x2 =12（x2﹣4x+4）﹣2﹣3

=12（x﹣2）2﹣5，

顶点坐标是（2，﹣5），最小值是﹣5； （2）y＝﹣2x2﹣5x+7 ＝﹣2（x2+52x+2516）+258+7

＝﹣2（x+54）2+818， 顶点坐标是（−54，818），最大值是818； （3）y＝ax2+bx+c

＝a（x2+𝑏𝑎x+𝑏24𝑎2）−𝑏24𝑎+c

＝a（x+𝑏2𝑎）2+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎， 顶点坐标是（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎）， 当a＜0时，最大值是4𝑎𝑐−𝑏24𝑎；当a＞0时，最小值是4𝑎𝑐−𝑏24𝑎． 4

【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题 例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，

所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．

（1）当x＝ 2 时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最 大 （填写大或小）值为 4 ．

（2）当x＝ 2 时，代数式﹣x2+4x+4有最 大 （填写大或小）值为 8 ．

（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x＝2时，代数式的最大值为4； （2）将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值； （3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为14m，表示出平行于墙的一边为（14﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2的最小值为0， 则当x＝2时，代数式﹣3（x﹣2）2+4的最小值为4；

（2）代数式﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，

则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+4的最大值为8；

（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（14﹣2x）m，

∴花园的面积为x（14﹣2x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2﹣7x+494）+492=−2（x−72）2+492， 则当边长为3.5米时，花园面积最大为492m2． 故答案为：（1）2，大，4； （2）2，大，8； 【知识点2 二次函数的五点绘图法】 利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，

关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 5

【题型2 二次函数的五点绘图法】 【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6时，求y的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．

【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系

数法即可解决问题． （2）把x＝6代入（1）中的解析式即可． （3）利用描点法画出图象即可． 【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，

∵x＝0时，y＝5， ∴5＝4a+1， ∴a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5． （2）当x＝6时，y＝（6﹣2）2+1＝17．

（3）函数图象如图所示，