函数的应用举例教材分析 人教版 教案

函数的应用举例教材分析
1．函数是中学数学里应用较广的内容之一．在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数的基础上，本章又学习了指数函数和对数函数，在学了这些函数之后，完全有必要应用这些函数去解决问题．本小节在已学函数知识的基础上，设置了两个例题，分别是有关身体发育状况和家庭消费热点方面的问题．
2．本小节的目的是通过解决例题、练习和习题所提出的问题，达到对已学函数应用的要求．并在解决问题的过程中，激发起应用数学的意识，逐步形成分析问题解决问题的能力．
3．掌握已学函数的内容是学好本小节知识的前提，因此在学习本小节知识之前，可引导学生回顾一下有关的知识：如函数的概念；一次函数概念及其性质；二次函数概念及其性质；指数函数概念及其性质；对数函数概念及其性质．
本节的例题和习题涉及面广，有的可能学生较为生疏，在教学过程中可适当予以补充介绍，以便排除教学上的障碍．
4．函数的应用，关键是要能根据已知条件建立函数模型和利用函数的概念、图象和性质分析解决问题，这正是函数应用的重要方面．本小节例题的主要内容也就是这两个方面．而在这两个方面，学生可能会对建立函数关系式感到困难更大一些．关于建立函数关系式，要在具体问题的解决中学习，并且要多接触各类不同的问题．本小节主要涉及到三类：一类是根据收集到的数据和问题要求确定变量，然后列出有序数据对（即坐标），画出散点图, 再选择图象尽可能与之吻合的函数, 从而求出函数关系式；另一类是根据几何、物理等知识或其它一些等量关系来建立函数关系式；再一类则是通过观察、实验来建立函数关系式，例如自由落体的距离公式就属于通过观察、实验建立的函数关系式．
5．例1是研究未成年人体重与身高的关系问题．题目只给了一个测量得到的统计数据表, 要想直接由这些数据发现等量关系是很难的．教师可以引导学生，将表中的数据输入图形计算器或计算机，画出它们的散点图，然后让学生观察和思考，所作的散点图与已知条件提供的哪个函数的图象最接近，从而选择这个函数．函数的选择是解决这类问题的关键，函数知识掌握程度不同、思维的层次有别的学生，在选择函数时的表现就有差异．抽象思维能力强的可能很快就选出了合适的函数，而抽象思维能力差的学生可能在此会遇到较大的障碍，这就需要学生利用信息技术工具进行实验，通过对各种函数的探索来发现要选择的目标．如果题目不提供选
择的函数，学生表现出来的差异就会更大．选择了合适的函数后，求其解析式又变得很关键了．如本道例题，如果只选择其中某两组对应值，求出的解析式就不能全面地反映整体的情况，这就要借助图形计算器或计算机强大的数据处理功能，来得到较理想的解析式．
在教学中，要使学生逐渐明白，大量实际问题所涉及的数据，并不一定具有很强的规律性，所以选择出的函数，一般只能大致反映事物发展变化的局部规律，难以做到准确刻划每一个具体数据．并且由于使用的信息技术工具不同，即使所选择的函数相同，可能不同学生所得到的结果还会有所不同．教师可以向学生适当介绍数据采集器和传感器等过去较少使用的信息技术工具，但教学的重点应放在利用信息技术工具帮助建立函数关系式，以及解决和验证数学问题上．另外，象本题这种建立函数关系式的方法，在解决实际问题时是很常用的，而学生还很陌生．教师可以在解决具体问题的过程中，帮助学生掌握这种方法，并渗透其中蕴含的数学思想，这对学生建模思想的形成以及分析问题解决问题能力的增强都十分有益．但教师不必给这种方法和思想进行概念界定．
为了更好地完成例1的教学，可以让学生课前在一定X围内收集未成年男性和女性的体重、身高数据，然后在教学中使用；也可以让学生课后进行与例1类似的实践活动．如何利用信息技术工具解决例1的问题，可参考本章VI信息技术学习材料“1．体重与身高的函数关系式的建立”．
6．例2是研究消费和贷款方案的选择问题．随着经济的发展和生活的需要，个人消费贷款将越来越普及，与之相关的投资和理财等均属于这类问题．它一般都要通过寻找等量关系，并利用复利等公式模型，建立函数关系式，才能得到解决．
在本节内容安排这道例题，是想更贴近生活实际，更好地体现数学建模的思想．由于题目的信息量大、变量多，需要筛选，且建模的方向不明，在推理、计算和对问题的回答上都有一定的难度，所以学生在解决问题的过程中一定会遇到不少困难．但在高中阶段，抓住一些学习的契机，适当经历一些象这样既有探索和研究价值又有挑战性的问题，一方面可以激发学生数学应用的意识，并在积极的数学实践活动中，巩固所用到的数学知识，提高分析问题解决问题的能力，培养数学学习的情感态度；另一方面还可以让教师在这样全面的思维环境中，通过与学生多角度的交互活动，更好地对教与学两方面进行评价，从而更好地促进学生的学习．为了顺利地完成例2的教学，建议在上课前, 让学生对市场的房价、车价和银行的贷款政策作一些调查，并鼓励学生进行交流，然后初步提出一些主观判断或不成熟的方案．教学可适当采取师
生之间、生生之间讨论的方式，围绕题目提出的问题展开探讨．对于所求出的某几个复合函数，只要求学生能用它来解决例2的问题，而不必去研究它的各种性质．课后，教师可以适当增加题目的开放度，将其设计成一个研究性课题，再给学生增加一次实践的机会，探索其它可能的方案．也可以在此基础上, 改变题目的条件，进行探索研究．
本题涉及到的许多计算，利用图形计算器或计算机来完成更方便，更能促进函数思想的形成．同时利用这些信息技术工具，作出有关函数的图象, 观察函数变化的规律，对探索研究问题也有帮助．另外，使用这些信息技术工具，还利于开展教与学的双边活动，提高教学效益．如何利用信息技术工具解决例2中有关的问题，可参考本章VI信息技术学习材料“2．消费贷款问题中的计算”．
7．值得注意的是，本小节的两道例题都出现了文字、符号、图形、数、式、表格等多种表达方式，过去由于信息技术条件的滞后，这种多元联系的表述在教学中出现得还不算多．随着数据处理、函数作图、代数计算等数学专业软件的发展、更新, 利用计算机、图形计算器、数据收集器等工具进行教和学，使得这种多重联系的表述在教学中出现得越来越多了．这种多重联系的表述为学生营造了一个极具吸引力的学习情景，能够引发学生的思考，给学生提供了一个探索数学规律、发现数学本质的机会．这种信息技术支持下的多元联系表示，比缺乏这种多元联系表示的教学更能培养学生的思维能力．教科书在后面的内容中，也强调了这种多元联系表示的思想，教师在今后的教学中要引起重视．
8．建议学生在解决本小节的例题、练习和习题时, 要尽可能地使用一切方便使用的信息技术工具和软件．由于在初中已专门学过科学计算器的使用，上一章又接触了图形计算器的使用，所以本小节的教学可直接利用它们来解决问题，而不必更多地讲授它们的原理以及有关的其它知识．。