初中数学——概率初步
概率初步
概率是生活中重要概念，我们经常通过概率运算来做出一些决定与选择。因此，对概率必须要有一个基本的认识，并用这些知识解决我们生活中的问题。这个课程设计，有5个基本要求的课时，但作为预备和增加课堂气氛的作用，又多加了二个探索课时。这样讲课者就有更大的选择空间，也可以让课程更加活泼。文件最后，又附加了概率的习题，这样讲课者就可以根据实际情况，选择跟好的题目进行讲解。
教学目标：
（1）引导学生认识身边的概率问题，并能用所学到的知识解决实际问题
（2）对生活中的事情能作出准确的概率上的分析与判断。
（3）由实际生活问题出发，引导学生学习一些概率初步知识
教学要求：
1.以课堂实验的方式，引导出概率问题
2.讲课者必须多了解生活中的概率问题，讲课内容要贴近生活
第一课时随机事件
主要学习目标：
（1）学习基本知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。
（2）亲身体验过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。
（3）情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现
象。
教学重点：随机事件的特点
学习难点：对生活中的随机事件作出准确判断
讲课者课前准备：制作5个签，骰子一枚
教学程序设计
一、创设情境，引入课题
1．问题情境
下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
(1)太阳从西边下山；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；
(4)水往低处流；
(5)酸和碱反应生成盐和水；
(6)三个人性别各不相同；
(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。
【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】
2．引发思考
我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？
【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】二、引导两个活动，自主探索新知
实验一：假设5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。一位同学首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：
（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？
（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？
（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？
（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？
根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。
【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】
实验二：请一个同学掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：
（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？
【设计意图：随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念】
提出问题，探索概念
（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？他们各自的概率为多少？
（2）怎样的事件称为随机事件呢？
【设计意图：教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。】
三、应用练习，巩固新知
练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；
（3）打靶命中靶心；
（4）掷一次骰子，向上一面是3点；
（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球
（8）物体在重力的作用下自由下落。
（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。
【设计意图：第（9）题可能出现不同答案，这是意料之中的，意在让学生明白，只要可能性存在，哪怕可能性很小，我们也不能认定它为不可能事件；同样，尽管某些事件发生的可能性很大，也不能等同于必然事件。】
四、小结并布置作业。
1．如图，在这三张扑克牌中任意抽取一张，抽到“红桃7”的概率是1/3
2．小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是1/3 。
3．下列事件是确定事件的为（ A ）
A．太平洋中的水常年不干 B．男生比女生高，
C．计算机随机产生的两位数是偶数 D．星期天是晴天
4、下列事件发生的概率为0的是（ B ）
A、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；
B、今年冬天黑龙江会下雪；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；
D、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
主要学习目标：
1.知识技能：通过“摸球”这样一个有趣的试验(摸石子亦可)，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。
2.过程和方法：历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。
3.情感态度和价值观：在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。
教学重点：对随机事件发生的可能性大小的定性分析
教学工具：若干球或小石子
第二课时随机事件（2）
教学难点：理解大量重复试验的必要性。 一、创设情境，引入课题
1、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。
2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件A ，把“摸到黑球”记为事件B ，提问： （1）事件A 和事件B 是随机事件吗？ （2）哪个事件发生的可能性大？
【设计意图：“摸球”试验操作方便、简单且可重复，又为学生所熟知，学生做起来感觉亲切，有趣，并且容易依据生活经验猜到正确结论，这样易于激发学生的学习热情。】
二、分组试验、收集数据，验证结果
【设计意图：设计“10次摸球”和“20次摸球”，意在引起结果的
变化。】
注：结果1指事件A 发生的次数多，结果2指事件B 发生的次数多。
3、提出问题
（1）“10次摸球”的试验中，事件A 发生的可能性大的有几组？“20次摸球”的试验中呢？ （2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？
（3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？
【设计意图：对“10次摸球”得到正确结论的组数和“20次摸球”得到的正确结论的组数进行比较，使学生明白，增加摸球次数更宜于接近正确结论，本小节也可以让学生再进行“40次摸球”试验。
】
4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。
讲课者请同学们进行40次重复的“摸球”试验，教师提问：
如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于40次“摸球”？这样做会不会影响试验的正确性？
【设计意图：让学生养成动脑筋，想办法的学习习惯，明白小组合作的优势。】
5、对表中的数据进行分析，得出结论。
提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大，必须怎么做？
先让学生回答，回答时讲课者注意纠正学生的不准确的用语，最后由讲课者总结：要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。
【设计意图：本小节是教学难点，这个结论由学生得出，体现了自主学习的理念，有利于学生思维的发展。】
6、对试验结果作定性分析。
在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A发生的可能性大于事件B发生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？
【设计意图：这是本节课的主要内容之一，是本节课的出发点，也是本节课的归宿，把这个问题留给学生，也是体现了以学生为主体，让学生自主探索、自主学习的理念。】
三、练习反馈
1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？
2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大？
3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？
4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
答案：1、黄球 2、不能 3、不能，将球的数目数出来即可
4、落在海洋可能性更大
第三课时概率的意义
教学目标:
〈一〉知识与技能
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
2.在具体情境中了解概率的意义
〈二〉教学思考
让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.
〈三〉解决问题
在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.
〈四〉情感态度与价值观
在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.
【教学重点】在具体情境中了解概率意义.
【教学难点】对频率与概率关系的初步理解
【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚
【教学过程】
一、创设情境，引出问题
教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？
由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大
在学生讨论发言后，教师评价归纳.
用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.
质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？
引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.
说明：现实中不确定现象是大量存在的，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.
二、动手实践，合作探究
1．教师布置试验任务.
（1）明确规则.
把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.
（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..
2．教师巡视学生分组试验情况.
注意：
（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.
（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.
3.各组汇报实验结果.
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因.
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究.
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作.
4．全班交流.
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在图上标注出对应的点,完成统计图.
想一想1. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.
想一想2
随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看表25-3）.
通过以上学生亲自动手实践,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.
在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.
5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.
教师归纳：
（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.
说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.
三、评价概括，揭示新知
问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？
学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.
通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.
归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率
n
m
会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率, 记作P （A ）= p. 注意指出：
1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.
2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
想一想(学生交流讨论)
问题2．频率与概率有什么区别与联系?
从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.
四．探索练习，发展提高. 1、盒子中装有2个红球和4个绿球,每个球除颜色外都相同,从盒子中任意摸出一个球,是绿球的概率是( C ) A 、
41 B 、 31 C 、 32 D 、 2
1 12、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为___1/3___,小明未被选中的概率为__2/3____
2、一个桶里有60个弹珠——一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的。拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%。桶里每种颜色的弹珠各有多少？ 五．归纳总结，交流收获：
1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.
2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.
第四课时 用列举法求概率(一)
教学目标
1.理解P （A ）=
n m
(在一次试验中有n 种可能的结果，其中A 包含m 种)的意义. 2.应用P （A ）=n
m
解决一些实际问题．
复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法 求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题. 重点难点
1.重点：一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A 包含其中的。种结果，那么事件A 发生的概率为P(A)= n
m
，以及运用它 解决实际间题．
2.难点与关键：通过实验理解P(A)=
n
m
并应用它解决一些具体题目 教学过程
一、复习引入
（老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题． 1. 概率是什么？
2. P(A)的取值范围是什么？
3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什么？
4. A=必然事件,B 是不可能发生的事件,C 是随机事件．诸你画出数轴把这三个量表示出来． 老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率
n
m
会稳定在某一个常数P 附近，那么这个常数P 就叫做事件A 的概率，记为P(A)=P ． 2.（板书）0≤P ≤1． 3.（口述）频率、概率． 二、探索新知
不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试验．求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这 种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法，
把学生分为10组，按要求做试验并回答问题．
1.从分别标有1，2，3 ，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？
2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？ 老师点评:1.可能结果有1,2,3,4,5等5种杯由于纸签的形状、大小相同，又是随机 抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是1/5.其概率是1/5。 2.有1,2,3,4,5,6等6种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出的， 所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是1/6，所以所求概率是1/6所求。 以上两个试验有两个共同的特点：
1.一次试验中，可能出现的结果有限多个.
2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能 的试验结果中所占的比分析出事件的概率．
因此，一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相 等，事件A 包含其中的、种结果，那么李件A 发生的概率为P(A)=
n
m 例1.小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下 列事件的概率．
(1)牌上的数字为3； (2)牌上的数字为奇数；
(3)牌上的数字为大于3且小于6.
分析：因为从6张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用P(A)= n
m
来求解. 解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为1,2,3,4,5,6,共6种，这些数字出现的可 能性相同．
（1）P （点数为3）=1/6；
（2）P(点数为奇数)=3/6=1/2；
（3）牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种． 所以 P （点数大于3且小于6）=1/3
例2:如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指
针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率 (1）指针指向绿色； (2）指针指向红色或黄色 (3)指针不指向红色．
分析：转一次转盘，它的可能结果有4种—有限个，并且各种结果发生的可能性相等.因此，它可以应用“ P(A)=
n
m
”问题，即“列举法”求概率． 解，(1) P(指针，向绿色)=1/4；
(2) P(指针指向红色或黄色)=3/4；
（3）P(指针不指向红色)=1/2
例3如图25-8所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在99?
10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。 小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A 区域（画线部分），A 区域外的部分记为B 区域，数字3表示在A 区域中有3颗地雷，那么第二步应该踩A 区域还是B 区域？
分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在A 区域、B 区域的概率并比较。 解：（1）A 区域的方格共有8个，标号表示在这8个方格中有3个方格各藏1颗地雷，因此，踩A 区域的
任一方格，遇到地雷的概率是
8
3
。 （2）B 区域中共有72999=-?个小方格，其中有7310=-个方格内各藏1颗地雷。因此，踩B 区域的
任一方格，遇到地雷的概率是72
7
。
由于72
783>，所以踩A 区域遇到地雷的可能性大于踩B 区域遇到地雷的可能性，因而第二步应踩B 区域。
三、巩固练习
1、一个小妹妹将10盒蔬菜的标签全部撕掉了。现在每个盒子看上去都一样,但是她知道有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆。她随机地拿出一盒并打开它。则盒子里面是玉米的概率是 3/10 ，盒子里面不是菠菜的概率是 8/10 。
2、从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为 1/4 ；抽到黑桃的概率为 1/4 ；抽到红心3的概率为 1/56 15、任意翻一下2004年日历，翻出1月6日的概率为 1/366 ;翻出4月31日的概率为 0 。 16、单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不会做的题目时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个选项），那么你答对的概率为 1/4 。
六、布置作业（由讲课者根据课堂情况而定）
第五课时用列举法求概率(二)
教学目标：
1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。进一步理解有限等可能性事件概率的意义。2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。
会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。
3．进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。
4．体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。用树形图法求出所有可能的结果
教学重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。
教学难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。
一、比较，区别
出示两个问题：
1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？
2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？
要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。
二、问题解决
1．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。
分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。
列出表格。也可用树形图法。
其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。
板书解答过程。
二、练习，巩固技能
尽管这2个问题可能的结果都比较多，但用树形图的方法并不难求得，重要的是要让学生正确把握题意，鉴别每次试验涉及的因素以及这些因素的顺序。
三、小结
1．本节课的例题，每次试验有什么特点？
2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏。
3概率问题有什么特点？
4.为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可能的结果呢？
特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的。
通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和树形图法。
四．随堂练习。
（1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列
可作为替代物的是（ D ）
A.一颗均匀的骰子
B.瓶盖
C.图钉
D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）
（2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白
色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回
搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方
法不可行的是（ A ）
A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”，“红”然后反复抽取
B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取
C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取
D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面
积为红色的2倍，然后反复转动转盘
五、布置作业：（文档后面附有详细题目，由讲课者自由选择）
探索课1 利用频率估计概率
教学目标：
知识与技能：1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。
过程与方法：通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。
情感态度与价值观：1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。
2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。
教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。
教学难点：对概率的理解。
设计教学程序：
一、问题情境：
妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！
二、合作游戏：
1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写
和有关结论的得出。
表格一：
问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？
___此问问同学，要看三种颜色的具体分配____________________________________.
（2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？当试验次数较小时,统计出的
频率不能估计概率 .
2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四
组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。
表格二：
频率
试验次数
30 60 90 120 150 180……
问题:当试验次数较大时,比较数字色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_由同学回答______.
4、得出试验结论。当试验次数较大时,统计出的频率接近概率
四、课堂小结：畅所欲言。
探索课2 利用频率估计概率
教学目标：
知识与技能：了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。
过程与方法：初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。
情感态度与价值观：1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。
2、渗透数形结合思想和分类思想。
教学重点：理解用模拟实验解决实际问题的合理性。
教学难点：会对简单问题提出模拟实验策略。
设计教学程序：
一、问题情境：
小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？
问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？
问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？
答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。
问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子：（1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？
答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。
问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？
答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小
二、问题3：
一个学习小组有6名男生3名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？
附加题目资料如下
九年级数学第二十五章概率初步测试题（A）
时间：45分钟分数：100分
测试时间：100分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、实验中学初三年级进行了一次数学测验，参考人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（）
A、抽取前100名同学的数学成绩
B、抽取后100名同学的数学成绩
C 、抽取（1）、（2）两班同学的数学成绩
D 、抽取各班学号为3号的倍数的同学的数学成绩
2、从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ） A 、20种 B 、8种 C 、 5种 D 、13种
3、一只小狗在如图25—A —1的方砖上走来走去，最终停在阴 影方砖上的概率是（ ） A 、
154 B 、31 C 、51 D 、15
2 4、下列事件发生的概率为0的是（ ）
A 、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；
B 、今年冬天黑龙江会下雪；
C 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；
D 、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
5、某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ）
A 、 1001
B 、10001
C 、100001
D 、10000111
6、（2004·浙江金华）有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们
背面朝上（如图25—A —2），从中任意一张是数字3的概率是（ ）
A 、
61 B 、31 C 、21 D 、3
2 7、盒子中装有2个红球和4个绿球,每个球除颜色外都相同,从盒子中任意摸出一个球,是绿球的概率是( ) A 、
41 B 、 31 C 、 32 D 、 2
1 8、如图25—A —3,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( ) A 、
21 B 、 83 C 、 41 D 、 3
1
9、如图25—A —4，一小鸟受伤后，落在阴影部分的概率为（ ） A ．
21 B ．31 C ．41
D ．1 10、连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（ ） A 、
61 B 、41 C 、161 D 、36
1 二、填空题（每小题3分，共30分）
11、任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是___
12、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为______,小明未被选中的概率为______
13、王刚的身高将来会长到4米，这个事件得概率为_____。
14、从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为 ；抽到黑桃的概率为 ；抽到红心3的概率为 15、任意翻一下2004年日历，翻出1月6日的概率为 ;翻出4月31日的概率
图25—A —1
图25—A —2
图25—A —3
图25—A —4
为 。 16、单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不会做的题目时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个选项），那么你答对的概率为 。 17、某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为圆珠笔、软皮本和水果， 标在一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图25—A —5）。转盘可以自由转动。参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪 一区域，就获得哪种奖品，则获得圆珠笔的概率为 。
18、一位汽车司机准备去商场购物，如图25—A —6,
停车场分A 、B 两区，停车场内一个停车位置正好占一个方格且一个方格除颜色外完全
一样，则汽车停在A 区蓝色区域的概率是 ，停在B 区蓝色区域的概率是
19、如图25—A —7表示某班21位同学衣服上口袋的数目。若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是 .
20、一个小妹妹将10盒蔬菜的标签全部撕掉了。现在每个盒子看上去都一样,但是她知道有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆。她随机地拿出一盒并打开它。则盒子里面是玉米的概率是 ，盒子里面不是菠菜的概率是 。 三、解答题（）
21、将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上。
01
A ．投掷一枚硬币时，得到一个正面。
B ．在一小时内，你步行可以走80千米。
C ．给你一个骰子中，你掷出一个3。
D ．明天太阳会升起来。
22、一个桶里有60个弹珠——一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的。拿出红色弹珠的概率是35%，拿珠的概率是25%。桶里每种颜色的弹珠各有多少？23、飞出蓝色弹镖随机地掷在下面的靶子上。（如图25—A —8）
圆珠笔 水果 水果 软皮本 图25—A —5
A 区
B 区
图25—A —6
10987654321
1
2
3
5
6
7
8
91012131415161718192021学号
口袋数图25—A —7
（1）在每一个靶子中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？ （2）在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？
（3）在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？24、小猫在如图25—A —9所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是4
1
，你试着把每块砖的颜色涂上。
25、（2004·河北）依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘： （1）用列表的方法表示有可能的闯关情况； （2）求出闯关成功的概率.
图25—A —9 图25—A —10
第二十五章概率初步（A ） 一、选择题
1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．D 二、填空题 11．
21 12．31 32 13．0 14．41 41 521 15． 3661 0 16．41 17．41 18．21 94 19．21
4 20．103 54 三、解答题 21．A ．
21； B ．0；C ．6
1
；D ．1 22．显然拿出白色弹珠的概率是40%， 红色弹珠有60×25%=15， 蓝色弹珠有60×35%=21，
白色弹珠有60×40%=24。23．（1）靶子1：31；31；31。靶子2：21；41；41。（2）32；（3）4
3。 24．
25．解：（1）所有可能的闯关情况列表表示如下表：
（2）设两个1号按钮各控制一个灯泡P （闯关成功）= 1
4 。
新初中数学概率技巧及练习题
新初中数学概率技巧及练习题 一、选择题 1．如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF 部分的概率是（ ） A ． 34 B ． 14 C ． 124 D ． 125 【答案】D 【解析】 【分析】 求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF 的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可. 【详解】 解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８, 勾股定理得ＡＢ＝１０, ∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４, ∴Ｓ正方形GHEF ＝４,四个直角三角形的面积＝９６, ∴针扎在小正方形GHEF 部分的概率是100４=125 故选Ｄ. 【点睛】 本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键. 2．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 19 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A 、B 、C 表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 ， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】 ∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是， 故选：D． 【点睛】 考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 4．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分
最新初中数学概率分类汇编
最新初中数学概率分类汇编 一、选择题 1．已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有1，2，5，7，8，13六个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数记为m ，则使得一次函数y ＝（﹣m+1）x+11﹣m 经过一、二、四象限且关于x 的分式方程8x x π-＝3x+88 x x -的解为整数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ． 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 求出使得一次函数y=（-m+1）x+11-m 经过一、二、四象限且关于x 的分式方程 8 x x π-＝3x+ 88x x -的解为整数的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：∵一次函数y ＝（﹣m+1）x+11﹣m 经过一、二、四象限，﹣m+1＜0，11﹣m ＞0， ∴1＜m ＜11， ∴符合条件的有：2，5，7，8， 把分式方程 m 8x x -＝3x+88 x x -去分母，整理得：3x 2﹣16x ﹣mx ＝0， 解得：x ＝0，或x ＝163 π +， ∵x ≠8， ∴ 163π +≠8， ∴m ≠8， ∵分式方程 8mx x -＝3x+88 x x -的解为整数， ∴m ＝2，5， ∴使得一次函数y ＝（﹣m+1）x+11﹣m 经过一、二、四象限且关于x 的分式方程8 mx x -＝3x+ 88 x x -的解为整数的整数有2，5， ∴使得一次函数y ＝（﹣m+1）x+11﹣m 经过一、二、四象限且关于x 的分式方程8 mx x -＝3x+ 88 x x -的解为整数的概率为26＝1 3；
故选：B． 【点睛】 本题考查了概率公式的应用、一次函数的图象与系数的关系以及分式方程的解,熟练掌握是解题的关键. 2．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因 此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为 3 35 5÷= 故选C 3．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个． A．15 B．17 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次，其中16次摸到红球，∴有34次摸到黑球，∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17，∴黑球的个数8÷ 8 17 ＝ 17(个)，故答 案选B. 【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键.
初中数学-概率与统计
初中数学-概率与统计1将100个数据分成8个组，如下表: 组号 12345678 频数1114121313x1210则第六组的频数为（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 10 位评委给一名歌手打分如下：9.73 , 9.66 , 9.83 , 9.89 , 9.76 , 9.86 , 9.79 , 9.85 , 9.68 , 9.74，若去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手的最后得分是（） A. 9.79 B. 9.78 C. 9.77 D. 9.76 3.某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布条形图如图所示，其中数据不 在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：（1）成绩在49.5分?59.5分段的人数 与89.5分?100分段的人数相等；（2）成绩在79.5?89.5分段的人数占30% （3）成绩 在79.5分以上的学生有20人；（4）本次考试成绩的中位数落在69.5?79.5分段内，其 中正确的判断有（） （第4题） 4?如图是九年级（2）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频数分布条形图（次数均为整数）.已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请观察图，指出下列说法中错误的是 （） A.数据75落在第2小组 B .第4小组的频率为0.1 1 C.心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的—；D .数据75 一定是中位数 12 5. 在转盘游戏的活动中，小颖根据试验数据绘制出如图所示的扇形统计图，则每转动一 次转盘所获购物券金额的平均数是（） 2 A. 22.5元 B. 42.5元 C. 56 -元 D.以上都不对 3 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
初中数学概率技巧及练习题附答案
初中数学概率技巧及练习题附答案 一、选择题 1．下列事件是必然事件的是（） A．打开电视机正在播放动画片B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50 C．车辆在下个路口将会遇到红灯D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180? 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用随机事件以及必然事件的定义分别判断得出答案． 【详解】 A、打开电视机正在插放动画片为随机事件，故此选项错误； B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50为随机事件，故此选项错误； C、“车辆在下个路口将会遇到红灯”为随机事件，故此选项错误； D、在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°为必然事件，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】 此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键． 2．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（） A．1 36 B． 1 6 C． 1 12 D． 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题是一个由三步才能完成的事件，共有6×6×6=216种结果，每种结果出现的机会相同，a，b，c正好是直角三角形三边长，则它们应该是一组勾股数，在这216组数中，是勾股数的有3，4，5；3，5，4；4，3，5；4，5，3；5，3，4；5，4，3共6种情况，即可求出a，b，c正好是直角三角形三边长的概率. 【详解】 P（a，b，c正好是直角三角形三边长）= 61 21636 = 故选：A 【点睛】 本题考查概率的求法，概率等于所求情况数与总情况数之比.本题属于基础题，也是常考题型.
初三数学 概率初步知识点归纳
概率初步知识点归纳 1、事件类型： ○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0 概率专题训练 一、填空题：（每题3分，共36分） １、数 102030 中的 0 出现的频数为＿＿＿＿＿。 ２、在一个装有 2 个红球，2 个白球的袋子里任意摸出一个球，摸出红球的可能性为＿＿。３、不可能发生是指事件发生的机会为＿＿＿＿＿。 ４、“明天会下雨”，这个事件是＿＿＿＿＿事件。（填“确定”或“不确定”） ５、写出一个必然事件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ６、10把钥匙中有 3 把能打开门，今任取出一把，能打开门的概率为＿＿＿＿＿。 ７、抛掷两枚骰子，则P（出现 2 个 6）＝＿＿＿＿＿。 ８、小射手为练习射击，共射击60次，其中36次击中靶子，试估计小射手依次击中靶 ９、小红随意在如图所示的地板上踢键子，则键子恰落在黑色方砖 的概率为＿＿＿＿＿。 10、足球场上，往往用抛硬币的方式来决定哪方先发球，请问这种做法 公平吗？＿＿＿＿＿ 11、小明有两件上衣，三条长裤，则他有几种不同的穿法＿＿＿＿＿。 12、小红、小张，在一起做游戏，需要确定的游戏的先后顺序，他们约定用“剪子，包袱，锤子”的方式确定，小红取胜的概率是＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列事件是必然发生的是（） A、明天是星期一 B、十五的月亮象细钩 C、早上太阳从东方升起 D、上街遇上朋友２、有五只灯泡，其中两只是次品，从中任取一只恰为合格品的概率为（） A、20％ B、40％ C、50％ D、60％ ３、抛掷一枚普遍的硬币三次，则下列等式成立的是（） A、P（正正正）＝P（反反反） B、P（正正正）＝20％ C、P（两正一反）＝P（正正反） D、P（两反一正）＝50％ ４、一个口袋里有1个红球，2个白球，3个黑球，从中取出一个球，该球是黑色的。这个事件是（） A、不确定事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、以上都不对 ５、在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（） A、 B、 C、 D、 ６、从A、B、C、D四人中用抽筌的方式，选取二人打扫卫生，那么能选中A、B的概率为（） A、 B、 C、 D、 三、解答题：（每题 9 分，共 54 分） １、一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一，它们除颜色处其他都一个样，小明 从中摸出一个球后放回摇匀，再摸出一个球，请你利用树状图分析可能出现的情况。 新初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C．4 9 D． 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】 ∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选：C． 【点睛】 本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 3．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个． A．15 B．17 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次，其中16次摸到红球，∴有34次摸到黑球，∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17，∴黑球的个数8÷ 8 17 ＝ 17(个)，故答 案选B. 【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 4．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（） 概率初步知识点 1、事件类型 （1）确定事件 （a）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然发生的事件。如：太阳从东方升起；若a、b、c均为实数，则a(bc) = (ab)c。 （b）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。如：没有水分种子也能发芽。 （2）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。如：掷一次硬币正面朝上。 注意： （a）事件分为确定事件与不确定事件（随机事件）。确定事件又分为必然事件与不可能事件。 （b）事件一般用英文大写字母A、B、C、…表示。 2、事件的概率（probability） （1）事件的概率：对于一个，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 （2）必然事件发生的概率为1，即P(必然事件) = 1。 （3）不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件) = 0。 （4）如果A为随机事件，那么0 < P(A) < 1。当事件发生的可能性越来越小时，P(A)接近0；当事件发生的可能性越来越大时，P(A)接近1。 （5）对于任意事件A，有0()1 P A ≤≤。 3、频率（frequency）：事件实际发生次数与可能发生次数的比率。设在相同条 件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为f n 。 如：掷均匀硬币的试验。 注意：前提是在一定的条件下重复进行试验。 注意：频率与概率的关系 （1）频率总是围绕概率上下波动； （2）样本量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率； （3）随着实验次数增至足够大，频率逐渐稳定于某一常数附近，则该常数为概率。 4、古典概型： 一种概率模型。如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A中包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为()m P A n 。如：掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率。 注意：古典概型与频率的区别。 5、几何概型： 一种概率模型。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 古典概型与几何概型的主要区别：试验的结果是无限个。 如：往下图中抛点，该点刚好落入四分之一圆内的概率。 6、用列举法求事件发生概率的常用方法 （1）穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有的结果直接排列出来。 （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 （3）树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。 掷骰[读tóu]子试验 （专题精选）初中数学概率全集汇编及答案 一、选择题 1．下列事件中，是必然事件的是( ) A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D 【解析】 【分析】 先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】 A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 2．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( ) A．5 9 B． 4 9 C． 1 2 D． 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】 停在黑色方砖上的概率为：5 9 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因 此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为 3 35 5÷= 故选C 4．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 =， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（） A．指针落在标有5的区域内B．指针落在标有10的区域内 C．指针落在标有偶数或奇数的区域内D．指针落在标有奇数的区域内 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】 解：A、指针落在标有5的区域内的概率是1 8 ； B、指针落在标有10的区域内的概率是0； C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1； D、指针落在标有奇数的区域内的概率是1 2 ； 故选：C． 【点睛】 此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 2．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．大漠孤烟直 D．手可摘星辰 【答案】D 【解析】 【分析】 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】 A、是必然事件，故选项错误； B、是随机事件，故选项错误； C、是随机事件，故选项错误； D、是不可能事件，故选项正确． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 【答案】D 【解析】 【分析】 根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案. 【详解】 A、抛一枚硬市、出現正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为1 6 ，故此选项错误； C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为1 2 ，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是1 3 ，符合题意， 故选：D. 【点睛】 此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键. 第13讲概率初步 温故知新 轴对称 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下 夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论 知识要点一 。 感受可能性 （一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件 确定事件 事件不可能事件不确定事件 ?典例分析 例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进 例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球 例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件 例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④ 初中数学概率难题汇编 一、选择题 1．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是0.3，乙组数据的方差是0.1，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定去判断①；根据必然事件的定义去判断②；根据方差的意义去判断③；根据圆内接正多边形的相关角度去计算④． 【详解】 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，①错误；必然事件是一定会发生的事件，遇到红灯是随机事件，②错误；方差越大越不稳定，越小越稳定，乙比甲更稳定，③错误；正六边形的边所对的圆心角是60 ，所以构成等边三角形，④结论正确．所以正确1个，答案选A． 【点睛】 本题涉及的知识点较多，要熟悉平行四边形的常见判定；随机事件、必然事件、不可能事件等的区分；掌握方差的意义；会计算圆内接正多边形相关． 2．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（） A．1 2 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 12 【答案】C 【解析】 【分析】 画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况， ∴两次都摸到白球的概率是： 21 126 =． 故答案为C． 【点睛】 本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键． 3．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 =， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个． A．15 B．17 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 初中数学概率分类汇编及答案 一、选择题 1．在一个不透明的袋子中装有6个除颜色外均相同的乒乓球，其中3个是黄球，2个是白球．1个是绿球，从该袋子中任意摸出一个球，摸到的不是绿球的概率是（） A．5 6 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出摸出是绿球的概率，然后用1-是绿球的概率即可解答．【详解】 解：由题意得：到的是绿球的概率是1 6 ； 则摸到不是绿球的概率为1-1 6 = 5 6 ． 故答案为A． 【点睛】 本题主要考查概率公式，掌握求不是某事件的概率=1-是该事件的概率是解答本题的关键． 2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球 ．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】 画树形图得： 一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况， 故这两个球都是红球相同的概率是 61 = 122 ， 故选A．【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( ) A．5 9 B． 4 9 C． 1 2 D． 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】 停在黑色方砖上的概率为：5 9 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键. 4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因 此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为 3 35 5÷= 概率 一、选择题 A ． “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨 B ． 数据4，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C ． 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式 D ． 若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数 = ，方差s 2甲=1.25，s 2乙 =0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定 分析： 根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调 查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解． 解答： 解：A 、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故本选项错误； B 、数据4，4，5，5，0的中位数是4，众数是4和5，故本选项错误； C 、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故本选项错误； D 、∵方差s 2甲＞s 2乙， ∴乙组数据比甲组数据稳定正确，故本选项正确． 故选D ． 量优良，空气质量指数大于2 00表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是( ) A 、 31 B 、52 C 、21 D 、4 3 分析：将所用可能结果列举出来，找出符合要求的，后者除以前者即可。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 解答：7月1日至1 0日按连续三天划分共有8种情况，其中仅有1天空气质量优良的有4 种，所以概率为 2 1 ，故选C . 3.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4．随机摸出一个小球（不放回），其数字为p ，随机摸出另一个小球，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 2020-2021初中数学概率真题汇编及解析 一、选择题 1．下列说法正确的是（） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生 D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断． 【详解】 检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A错； 一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B对； 可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C错； 3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D错． 故选B. 【点睛】 区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 2．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( ) A．5 9 B． 4 9 C． 1 2 D． 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】 停在黑色方砖上的概率为：5 9 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C．4 9 D． 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】 ∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选：C． 【点睛】 本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 4．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（） A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】B 【解析】 试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到 《概率初步》测试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个答案是正确的， 请将正确答案的代号填入题后的括号内。 1．下列事件属于必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．我们班的同学将会有人成为航天员 C ．实数a ＜0，则2a ＜0 D ．新疆的冬天不下雪 2．下列事件是必然事件的是（ ） （A ）通常加热到100℃水沸腾 （B ）抛一枚硬币，正面朝上 （C ）明天会下雨 （D ）经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 3．在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为4 1，那么袋中球的总个数为（ ） （A ）15个 （B ）12个 （C ）9个 （D ）3个 4．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ） （A ）121 （B ）31 （C ）125 （D ）2 1 5．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） （A ）31 （B ）61 （C ）21 （D ）6 5 6．甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球。现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为（ ） （A ）94 （B ）95 （C ）32 （D ）9 7 7．甲、乙、丙三个同学排成一排照相，则甲排在中间的概率是（ ） （A ） 61 （B ）41 （C ）31 （D ）21 8．某晚会上有一个闯关活动：将五张正面分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片（背面相同）任意摆放，将所有卡片的正面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关，那么一次过关的概率是（ ） （A ） 51 （B ）52 （C ）53 （D ）5 4 9．已知函数5-=x y ，令21=x ，1，23，2，25，3，27，4，29，5可得函数图象上的10个点，在这10个点中，随机取两个点P （，），Q （，），则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ） （A ）91 （B ）454 （C ）457 （D ）5 2 10．从编号为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是8的倍数的概率为（ ） （A ） 1001 （B ）501 （C ）81 （D ）253 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在题后的横线 上。 11．有四种边长都相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形瓷砖，如果任意用其中 两种瓷砖组合密铺，在不切割的情况下，能镶嵌成平面图案的概率是 。 12．有四张不透明的卡片分别写有2，6 22，，中的一个数，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 。 13．为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉500条鱼做记号，然后放回湖中，经过一段 时间，等带记号的鱼完全混于鱼群之后，再捕捞，第二次捕鱼共有200条，有10条做了记号，则可以估计湖中有 条鱼。 14．一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一鱼民通过多次捕捞试验后发现鲤鱼、鲫 鱼出现的概率约为31%和42%，则这个水塘里大概有鲤鱼 尾，鲫鱼 尾，鲢鱼 尾。 15．用除颜色外其余匀相同的球若干个设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为2 1， 新初中数学概率真题汇编及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是（） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生 D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断． 【详解】 检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A错； 一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B对； 可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C错； 3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D错． 故选B. 【点睛】 区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 2．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（） A．4 9 B． 1 3 C． 2 9 D． 1 9 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为4 9 ， 故选A． 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C．4 9 D． 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】 ∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选：C．【点睛】 统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数； 标准差：S ，即方差的算术平方根； 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差； 频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数； 频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比； 会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图； 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、 二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件； 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回 ．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………初中数学概率专题训练【含详细答案】
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