第1章集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑

分析解读

集合与简易逻辑在近几年高职考中以选择题和填空题为主，主要考查：1．集合元素特征：确定性、互异性、无序性.

2．两类关系：元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系.

3.集合的交、并、补运算.

4.与不等式相联系，考查学生对集合的概念，运算知识的把握及数形结合的能力.

5.以集合为载体考查方程、函数、几何等新概念知识，体现集合的工具性.

6.以函数、不等式、三角、解析几何等知识为载体，考查充要条件，起到了对学生的数学思想、数学方法和数学能力进行综合考查的作用.

思维导图

考点1 集合的概念

知识要点

1.集合的有关概念

（1）集合是，组成集合的对象叫做这个集合的

(2)集合中的元素的三个特征是、、

和 .

(3)集合按元素的个数可分为集和集.

(4)_____________________叫做空集，记住 .

（5）集合的表示方法有、和图示法（即维恩图法）三种.

2.元素与集合的关系：

（1）子集：元素与集合的关系是或，分别用符号

或表示．

3.集合与集合的关系：

（1）子集：集合A是集合B的子集，记作：A B或B A，其定义是：集合A的元素都是集合B的元素。

（2）相等集合：集合A等于集合B，记住：A B，其定义是：集合A的元素是都是集合B的元素，且集B的元素都是集合A的元素，即A?B，

且B ?A ?A=B.

(3)真子集：集合A 是集合B 的真子集，记作：A_______B 或B_______A ，其定义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，且 ，即A ?B ，且A ≠B ?A ≠?B(或B ?A)

4.常用结论

（1）若集合A 中有n （n ∈N+）个元素，则A 的子集有________个，真子集有_________个，非空真子集有____个

（2）?是任何集合的_____,是任何非空集合的_______.

基础过关

1．下列各对象不可以组成集合的是 （ ）

A ．某学校计算机教室中的所有计算机

B ．某学校素质好的学生全体

C ．某菜地里的所有黄瓜

D ．某学校所有女教师

2. 已知集合M={x|-2

A ．5∈M B. 0?M C.1∈M D.2

1-∈M 3．已知P={菱形}，T={正方形}，M={平行四边形}，则P,T,M 三者关系正确的是

( )A.M P T ?? B.P T M ?? C.T P M ?? D.M T P ??

4．若集合A={0，1，2x -5x ﹜，且-4∈A ，则实数x 的值为( )

A.1

B.4

C.1或4

D.36

5. 下列表述正确的是 （ ）

A. {}00,1?

B. {}00∈

C. {}0,1?∈

D. {}0=?

6.用适当的符号填空

（1）0 ﹛0﹜； (2)0 ?； (3) ﹛0﹜ ?

(4)a ﹛a ，b ﹜； （5）﹛a ﹜ ﹛a ，b ﹜；

（6）﹛1，-1﹜ ﹛x| 2x =1﹜

典例剖析

【例1】在下列命题中，其中真命题的个数是 （ ）

（1）?=﹛0﹜；（2）? ?﹛0﹜；（3）若集合M=﹛a ，b ，c ﹜，N=﹛a ，c ，b ﹜，则M=N ；（4）若集合A=﹛y|y=2x -1，x ∈R ﹜，B=﹛（x ，y ）|y=2x -1，x ∈R ﹜，则A=B ；（5）若a=5，集合M=﹛x|o ≤x<2﹜，则a ?M

A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个

思路点拨：本题主要考查元素与集合，集合与集合之前的关系，特别是元素与空集、空集与一般集合的关系,由于空集中不含任何元素，而集合{0}中有一个元素0，所以（1）是假命题，（2）是真命题；根据集合中元素的无序性，所以（3）是真命题；（4）中A 表示函数y=2x -1的值域，即y ≥-1，该集合是个数集，而集合B 表示由抛物线y=2x -1上的所有点组成的集合，是个点集，故A ≠B ，所有（4）是假命题；（5）元素与集合的关系应用符号“∈”或“?”来表示，所有（5）是假命题.综上所述，（2）（3）是真命题．

【变式训练1】⑴方程组???=-=+0

432534y x y x 的解集为（ ）

（A ）（4，3） （B ）{}3,4 （C ）{})3,4( （D ）{})4,3(

⑵用适当的方法表示下列集合：

①方程260x x +-=的解集；

③不大于3的正实数构成的集合

【例2】设全集U=R ，则下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|2x +x=0}的关系图是 （）

A. B. C. D ．

【分析】本题主要考查用图示法表示集合与集合之间的关系.集合N={x|x2+x=0}={-1,0}，而M={-1,0,1}，故N 不等于M.

【变式训练2】设全集U=R,则下列正确表示集合M={-1,0}和N={x| 2x +x=0}的关系图是

A. B. C. D.

【关键点拨】用图示法表示集合与集合之间的关系.

【例3】集合 }3|){(N y N x y x y x ∈∈=+，，， 有________个真子集．

思路点拨：该集合是个点集，首先改用列举法表示该集合，有四个元素；然后按照元素个数分类写出真子集．

【变式训练3】已知集合},,,,{d c b a M =则含有元素a 的所有真子集个数有

A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

例4 ⑴已知2x {}0,1,x ∈，求实数x 的值．

⑵已知集合A = ﹛x ｜– 3

【关键点拨】本题考查重点是元素与集合的关系及集合中元素的特征，从2x 是集合{}0,1,x 中的一个元素为切入点，注意集合中元素的三要素。

变式训练4：⑴设-3∈{a-2,22a +5a,12}，求a ．

⑵已知集合A={x|x>2}，B={x|x>k}，若A ?B ，则k 的范围是 ．

【例5】已知集合A={x|a 2x -3x+2=0，x ∈R}，且集合A 中元素至多有一个，求实数a 的取值范围。

【关键点拨】集合A 中的元素即为方程的解，所以求集合中元素个数问题实际上是求方程解得个数问题，已知A 中元素至多只有一个，即方程有唯一解或无解。

【变式训练5】已知集合A{x|a 2x -4x+2=0，x ∈R}，若集合A 至少有一个元素，求实数a 的取值范围。

【关键点拨】因为集合A 中元素的个数是方程解得个数，所以求集合中元素的个数问题可转化为求方程解得个数问题。

回顾反思

1. 集合的表示方法中，首先要弄清构成集合的元素是什么，有几个，然后再具体求解。

2. 要正确地区分元素与集合、集合与集合之间的关系，特别是元素与空集与一般集合的之间的关系。

3. 由于集合问题大多与函数、方程或不等式相关，因此要注意相关知识的融会贯通。

目标检测

一、选择题

1.若M={x|x ≤5}，且a=2，则下列关系式中正确的是 （ ）

A.a ?M

B.a ? M

C.{a}∈M D ．{a}?M

2. 已知集合{1,,}a b ，则下列命题正确的是（ ）

A.a b =

B.a b ≠

C. 1b =

D. 1a =

3. 已知A={1，2，3，4}，B={（x ，y ）|x ∈A,y ∈A,x-y ∈A}；则B 中元素的个数为（ ）

A ．10

B ．6

C ．3

D ．1

4. 已知集合M={}

032=++x x x ，下列结论正确的是（ ）

A ．集合M 中共有2个元素

B ．集合M 中共有2个相同的元素

C ．集合M 中共有1个元素

D ．集合M 为空集 5.已知集合A={x|2x +px+q=0}且-2∈A ，1∈A ，则p ，q 的值分别为（ ）

A ．1,2 B.1，-2 C. ? D.{-1,4}

6．已知集合},,,,{d c b a M =则含有元素a 和b 的所有子集个数有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

二、填空题

7.用适当的符号填空：

（1）0_______N; (2)2

1______Z; (3)N+_______R; (4){x| 2x <4,x ∈Z }______{-1,0,1}

8.若集合A={x|2x -6x-7<0，x ∈Z }，则用列举法可以表示为________.

9. 写出集合2{320}x x x -+=的所有真子集 .

10．集合sin ,2k P x x k Z π??==∈????

的列举法为 ． 三.解答题

11.已知集合A={x|a 2x +3x+1=0}中有且只有一个元素，求由实数a 组成的集合.

12. 若

，求2016a +2017b 的值.

能力提升

13．已知{}0,1,2?A ?≠{}0,1,2,3,4,5，求满足条件的集合A 的个数.

14.已知集合A={x|-1≦x<3}，B={x|x

15．已知集合M={x|2x +2x-3=0}，N={x|mx-1=0}，若N ?M ，求实数m 的取值．

15.解：M={1，-3}，当N=Φ，即m=0时，N ?M ；当N={1}时，m=1；当N={-3}

时，m=-31，m={0,1, -3

1}． 13.解法一：∵{}0,1,2?A ，∴A 中必有0,1,2.

又∵A 是{}0,1,2,3,4,5的真子集，

∴满足条件的集合A 有{}0,1,2,{

}0,1,2,3，{}0,1,2,4，{}0,1,2,5，{}0,1,2,3,4，{}0,1,2,3,5，{}0,1,2,4,5，共7个.

解法二：∵求A 的集合个数即为求{}3,4,5的真子集个数

∴A 的非空子集个数为321-=7.

考点2 集合的运算

知识要点

1. 给定两个集合A 与B ，由___________的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，

记住A B.用性质描述法可表示为{x|______}.

2. 给定两个集合A 与B ，由___________的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，

记作A U B. 用性质描述法可表示为{x|__________}.

3. 如果集合A 是全集U 的一个子集，有__________的元素组成的集合叫做A 在

U 中的补集，记作U C A.用性质描述法可表示为U C A={x|_________}.

4. 常用结论：

（1）A ∩A=_____,A ∩=________= AUA=_______AU ?=______,A U C A=_______,

AU U C A=________, CU(U C A)=________.

(2)A ?B ?A B=______,A ?B ?AUB______.

基础过关

1.设全集U=R ，若A={x|x >3}，则U C A 等于 （ ）

A.{x|x >3}

B.{x|x ≥3}

C.{x|x <3}

D.{x|x ≤3}

2．设全集U={1,2,3,4，5,6}，若A={2,3},B={1,4},则集合{5,6}等于（ ）

A ．A U

B B .A B C. U

C (A 并B) D. U C (AB)

3. 满足条件{}0,1P =? 的集合P 共有（ ）

A.0个

B.1个

C.2个

D.无数个

4.若集合A={x|x ≥0}，B{x|x <1}，则AUB 等于 （ ）

A. ?

B.R

C.{x|0≤x <1}

D.{x|x >1或x <0} 5. 已知3=a ，{}2≥=x x A ，则下列结论成立的是

( )

A ．a A ∈

B ．{}a A ?

C ．{}a A =?

D ．{}a A A =

6.若A={x|x <5}，B={x|x ≥0}，则A B=_______, A U （U C B ）=_______. 典例剖析

【例1】设全集U={x|0

【思路点拨】⑴要注意运算顺序，第1问应先求U C A ，后求交集；第2问应先求并集，再求补集. ⑵由M UA=A 知，M ?A, 问题实质上是求集合A 的子集的个数．

【解】（1）U C A={5，6，7，8，9，10}，U C A ∩B={5，6，7}；A ∪B={1，2，3,4,5,6,7}，

U C （A ∪B ）={8，9，10}．（2）（2）∵M ∪A=A ，∴M ?A,∴实质上是求集合A 的子集的个数，即共有24=16（个）.

【变式训练1】设全集 U={1,2,3,4,5,6}，已知集合S={1,4,5}，T={2,3,4}，则S ∩（U C T ）等于 （ ）

A.{1,4,5,6}

B.{1,5,}

C.{4}

D.{1,2,3,4,5,}

例2设全集U R =，A ={1x -≤x ≤10},{17}B x x x =<>或，求A B 、A B ， U A B .

【分析】以实数为元素的无限集的交、并、补这类问题，一般可结合数轴进行分析，解题时要注意集合的运算顺序，弄清交集、并集、补集之间的关系. （课本上数轴）

【答案】B

[变式训练２]

设全集U={x|x ≥0}，若集合A={x|x ≥5}，B={x|1≤x ≤10}，则U C A B 等于（ ）

A.{x|1≤x ≤5}

B.{x|1≤x <5}

C.{x|0≤x <5}

D.{x|0≤x ≤10}

解：∵全集U={x|x ≥0}，A={x|x ≥5}，

∴U C A={x|0≤x ≤5}，∴U C A

B={x|1≤1|x <5}. 故选B ．

【例3】⑴已知A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，求A ∩B.

⑵已知集合C={y|y=2x +1}，D={x|y=2

1-x }，则C ∩D = .

【思路点拨】⑴因为集合A 与B 的元素是有序实数对（x ，y ），所以A ∩B 即为方

程组??

???=+=+72364y x y x 的解集，在几何图形上表示两条直线交点所组成的集合.

⑵集合C 是函数y=2x +1的值域，集合D 是函数y=2

1-x 的定义域． ⑴【解】联立?????=+=+72364y x y x ，解得??

???==21y x ，∴A ∩B={（1,2）}.

⑵∵C=[1，+∞），D=（-∞，2）∪（2，+∞），∴C ∩D=（2，+∞）．

【变式训练3】⑴已知A={（x ，y ）|3x-2y=11}，B={（x ，y ）|2x+3y=16}， 求A ∩B.

⑵已知全集U=R ，集合A={x|y=2-x },B={x|x>4},则A ∩（C U B ）=（ ）

A ．[2，4] B.[2,4）C ．R D ．{2,3,4}

【关键点拨】解此类问题时，先联立方程组，在解出方程组，最后表示出A ∩B.

【例4】已知集合A={x |x 2-3x+2=0}，B={x|x 2+px+q=0}，若A ∩B={2}，A ∪B={1,2}，且A ≠B ，求p 、q 的值．

【关键点拨】用列举法表示出集合A={1,2}，由A ∩B={2}，A ∪B={1,2}且A ≠B

知B={2}，故??

???=++=-024042q p q p

解：集合A={1,2}，由A ∩B={2}， A ∪B={1,2}知B={2}或B={1,2}，但A ≠B ，

故只能B={2}，由此得??

???=++=-024042q p q p ，解得p=-4，q=4．

【变式训练4】已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x| x 2+2(a+1)x+a 2-5=0}且A ∩B={2}，求实数a 的值和A ∪B.

【解】由题意得A={1，2}.∵A ∩B={2}，∴2∈B ，∴22+2（a+1）·2+a 2-5=0， 整理的a 2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，B={-2，2,}， A ∪B={-2，1，2}；当a=-3时，B={2}，A ∪B={-2，2}.

例5 已知}32{+≤≤=a x a x A ，{}

0542>--=x x x B ⑴Φ=B A ，求实数a 的取值范围。

⑵若B B A = ，求实数a 的取值范围。

【关键点拨】先求出集合B ，再画数轴帮助思考，要注意分Φ=A 和 Φ≠A 两种情形进行考虑． 解：{

5>=x x B 或}1-

⑴Φ=B A （i ）Φ=A 332>?+>a a a （ii ）Φ≠A ???????≤?≤+-≥?-≥≤?+≤2

532112332a a a a a a a ∴ 22

1≤≤-a 由（i ）（ii ）可知：实数a 的取值范围为()+∞??

????-,32,21 ⑵B B A = B A ?? （i ）Φ=A 332>?+>a a a

（ii ）Φ≠A ???>+≤5232a a a 或???-<++≤1

332a a a

32

5≤

4,,25-∞-??

? ??+∞

[变式训练5] ⑴已知集合A={x|x 《2}，B={x|x 《m}，若A ∪B=A ，则实数m 的取值范围是 .

⑵设 ， 若 ，则实数m 的取

值范围是______．

回顾反思

1. 集合的运算大多与函数、方程、不等式相关,因此要注意知识的融会贯通.

2. 集合运算问题常常使用数形结合、维恩图、数轴、分类讨论等数学方法. 目标检测

一. 选择题

1. 设全集U={1，2，3,4,5,6,7,8},已知集合A={3,4,5}，集合B={1,3,6}，则集合{2,7,8}是 （）

A.A ∪B

B.A ∩B

C. U C A ∪U C B

D.

U C A ∩U C B 2. 已知A={2,4}，B=[3，5]，则A ∩B=（ ）

A ．{2,5}

B ．[3，4]

C ．{4}

D ．φ

3.若集合A={1，2，3}，则满足A ∪B=A 的集合B 的个数是 （）

A ．1个 B.3个 C.7个 D.8个

4. 设集合{}4,3,21,0，=A ，{}N x x x B ∈>=且2|，则集合B C A R ?等于( )

A.{}21，

B.{}21,0，

C.{}43，

D.{}43,2，

5. 已知集合A= {}46x x -<<，B= {}55x x -<≤，则A B = （ ）

A. {}45x x -<≤

B. {}46x x -<<

C.{}55x x -<≤

D.{}

56x x -<< 6.设全集U 是实数集R ，M={x|x ≥2，或x ≦-2}，N={x|1

A B A =?{}{}m x m x B x x A 311/,52/-<<+=<<-=

A.

B. C. D.

二、填空题

7.若集合M={1，3，4},U C M={-1，0},则全集U=________.

8.若集合A={1,3，x}，B={1，2x }，A ∪B={1，3，x}，则x 的不同值有_____个. 9. 已知集合{}{}21,2,1,0,1,2≥+∈=--=x R x N M ，则M ∩N= ．

10. 设全集U={3,4,5}，A={|a-1|,3},C U A={5},则a 的值为_____ ______ ．

三.解答题

11. 已知}0|{2=--=q px x x A ，}0|{2=-+=p qx x x B ，

且}1{=?B A ，求B A ?． 12．50名学生选报甲、乙两门选修课程，每人至少报一门，选报甲课程的学生有30名，选报乙课程的学生有25名，求两门选修课都选的学生人数． 能力提升

13．定义集合B A 与的新运算:{}A B x x A B x A B *=∈? 且,则()=**A B A

( ) (A)A B (B)A B (C)A (D)B

14．设全集}3237{2--=a a U ，，，}7{，b A =，}5{=CuA ，求b a 的值． 15．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }．

(1) 若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；

(2)设全集为R ，若A ?R B ，求实数m 的取值范围．

解：A=[-2,4]，B=[m-3,m] ， 由]4,2[=?B A 可知m=5．

(2)B 的补集为),()3,(+∞?--∞m m ；A:[-2,4]

因为A 是B 补集的真子集，所以m-3>4或者m<-2

即m>7或m<-2

考点3 充要条件

知识要点

1.___________叫做命题，命题的两个组合部分是_______.

2.若p ?q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的_________条件.

3.若q ?p ，但p 推不出q ，则称p 是q 的_________条件.

4.若p ?q ，且q ?p ，则称p 是q 的_________条件.

基础过关

1.“x=2”是“x 2-3x+2=0”成立的 （ ）

A.充分不必要条

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2. 已知集合{1,},{1,2,3}A a B ==，则a=3是""A B ?的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.“ab=0”是“a=0”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4．若命题甲：x=0，命题乙：sinx=0，则命题甲是命题乙成立的

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5．“6>x ”是“6>x ”的______条件.

6.一元二次函数y=a x 2+bx+c （a ≠0）的图形与x 轴有公共点的一个充要条件是___________.

典例剖析

【例1】 把你认为正确的答案的序号写在横线上.

① 充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件

（1）“b 2

=ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的__ _；

(2)“x>3”是“x>2”的_______；

（3）“m+|n|=0”是“m 2+n 2=0:”的_____;

（4)“∠A=300”是“cosA=21”的_____; (5)“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的_____;

(6)“a ，b 都是奇数”是“a+b 是偶数”的_____.

【关键点拨】在解决这类问题时，对于具有“推出”关系的，我们往往可以进行证明，对不具有“推出”关系的，我们可举反例说明，如（1）中命题“b 2

=ac ”中取a=0,b=0就不能推出结论“a ，b ，c 成等比数列”；在（2）中，根据“小范围推出大范围”可得结论．

【答案】（1）② （2）① （3）② （4）④ （5）② （6）①

【变式训练1】设命题甲：xy 0=；命题乙：22x y 0+=．则命题甲和命题乙的关系正确的是( )

A ．甲是乙的必要条件，但甲不是乙的充分条件

B ．甲是乙的充分条件，但甲不是乙的必要条件

C ．甲不是乙的充分条件，且甲也不是乙的必要条件

D ．甲是乙的充分条件，且甲也是乙的必要条件 【例2】设a 、b 是实数，则“a>b ”是“2a >2b ”的（ ）

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

【关键点拨】要对字母a 、b 的取值进行讨论，如取a=1，b=—1，满足a>b ，但2a ≯2b ，故“a>b ”不是“2a >2b ”的充分条件；若取a=-1，b=0，满足2a >2

b ，但a ≯b ，故“a>b ”不是“2a >2b 的必要条件． 答案：选D ． 【变式训练2】①设a 、b 是实数，则a b <是22a

c bc <的（ ）

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案:选

B ．

②条件“a=b ”是结论“a x 2+by 2=1所表示的曲线为圆”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.即不充分也不必要条件

【例3】函数f （x ）=2x +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（ ）

A.m=-2

B.m=2

C.m=-1

D.m=1

【关键点拨】依据二次函数的图像和性质及充分条件的定义，当m=-2时，f （x ）=x 2-2x+1，其图像关于直线x=1对称，反之也成立，所以f （x ）= x 2+mx+1的图形关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

【答案】A

【变式训练3】⑴方程(a+2)2x -2ax+1=0有两个不相等实根的充要条件是（ ）

A ．a>2或a<-1

B ．a>2或a<-1且a ≠-2

C ．-1

D ．a 》2或a 《-1且a ≠-2

⑵已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m ∥α成立的一个充分条件是( )

A ．m ∥β，α∥β

B ．m ⊥β，α⊥β

C ．m ⊥n ，n ⊥α，m ?α

D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等

解：⑴由△=2)2(a --4（a+2）>0,即2a -a-2>0，得a>2或a<-1，又a+2≠0，故a>2或a<-1且a ≠-2．故选B ．

⑵对于A ，直线m 可能位于平面α内．对于B ，直线m 可能位于平面α内．对于D ，当直线m 与平面α相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面α的距离相等．故选C ．

【例4】如果集合A={x|0

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 【关键点拨】首先要明确两集合间的包含关系,由于集合A ?B ，∴当x ∈A 时，必有x ∈B ，而当x ∈B 时，x ∈A 不一定成立.

【答案】A

【变式训练4】“a ∈（A ∪B ）”是“a ∈A 或a ∈B ”的 （ ）

A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

例5 若p 是q 的充分条件，q 是r 的充要条件，s 是r 的必要条件，则p 是s 的什么条件？

【关键点拨】用“?”和“?”来表示各命题间的关系，能够清楚地看出p 和s 间的关系．

解: ∵p ?q ，q ?r ，r ?s,∴p ?s ，但s 推不出p ，故p 是s 的充分不必要条件．

【变式训练5】

已知p 是q 的充要条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，r 是q 的必要条件.求：（1）r 是p 的什么条件？（2）p 是s 的什么条件？ 回顾反思

1．要正确理解充分条件和必要条件：p 是q 的充分条件，即“有p 就足够了”;q

是p 的必要条件即“少了q 不行，但有了q 不一定行”．

2．明确两个命题之间有四种条件关系：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件.

3．对于充要条件的考查，往往从与其他数学知识交汇处命题.当条件形式改变时，要注意不同形式的条件是否等价.

目标检测

一．选择题

1.设甲：“α是第一象限角”；乙：“sin α>0”，则命题甲和命题乙的关系正确的是( )

A.甲是乙的必要不充分条件

B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的既不充分又不必要条件

D.甲是乙的充要条件

2.“y >1”是“y

1<1”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 实数0ab >是0b a

>（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．即非充分也非必要条件

4.“x 2= y 2”是“|x|=|y|”的 （）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.“A 不属于B ”是“A ∩B ”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6．直线y kx b =+是单调增函数的充要条件是（ ）

A ．0k <

B ．0k >

C ．0k ≤

D ．0k ≥ 解:当0k >时，直线y kx b =+是单调增函数；而直线y kx b =+是单调增函数要求0k >.选B ．

二、填空题

7.（1）“a+c=2b ”是“a ，b ，c 成等差数列”的_________条件；

（2）“b=ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的_________条件；

8.“a 2≥4b ”是“方程x 2+ax+b=0有实数根”的______条件.

9.试写出2x -4=0的一个充分条件： .

10．⑴x 能被3整除是x 能被9整除的 条件.

⑵“两三角形全等”是“两三角形相似”的 条件.

三、解答题

11.△ABC 中，A>B 是sinA>sinB 的什么条件？

12.已知集合2{0}A x x ax b =++≤，集合{17}B x x =-≤≤，求A B =的充要条件.

能力提升

13．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )

A ．m ∥β且∥α

B ．m ∥1l 且n ∥2l

C ．m ∥β且n ∥β

D ．m ∥β且n ∥2l

解：因m ?α，1l ?β，若α∥β，则有m ∥β且1l ∥α，故α∥β的一个必要条

件是m ∥β且1l ∥α，排除A ．因m ，n ?α，l 1，2l ?β且1l 与2l 相交，若m ∥1l 且n ∥2l ，因1l 与2l 相交，故m 与n 也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线m 与直线1l 可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m ∥l 1且n ∥2l ，应选B ．

14．求方程m 2x +2x-1=0至少有一个正根的充要条件.

解：当m=0时，方程有一个正根x=2

1；当m ≠0时,设方程两根为1x ，2x ，要使方程有两个正根，则????

?????>-=?>-=+≥+=?010********m x x m x x m ，解得-1《m<0．综合之m ∈[-1，0]．

参考答案

例1 【答案】B

【例3】已知{}0,1,2?≠A ?≠{}0,1,2,3,4,5，求满足条件的集合A 的个数.

【分析】首先理解?与?≠的含义，然后明确A 中的元素的各种情况，抓住元素特点解题.

4.设集合2{,}A x x =，集合{1,}B x =，且A=B ，求实数x 的值.

若集合{}{}

22,|230|230B A x x x x x mx m ==--=--=，且A B A = ，求实数m 的取值范围。

解：依题意有：{}1,3A =-，且B A ?；

当B =Φ时，有2

412030m m m ?=+

当B ≠Φ时，若1B -∈，代入有1m =，此时{}1,3B =-，符合；

若3B ∈，代入有1m =，此时{}1,3B =-，符合；

所以当B A ?，且B ≠Φ时，则{}1,3B =-，此时1m =。

综合有30m -<<或1m =。

【例1】设全集U R =,A ={1x -≤x ≤10},{17}B x x x =<>或，求A B 、A B ，U A B .

【分析】两个集合的交集即为两个集合的公共部分，并集即为两个集合的元素并在一起，补集即为全集U 中去掉A 剩下的部分，特别注意两个集合的公共部分在结果中不能重复表示.

【解】A B = {1x -≤x 1<或7x <≤10}

【例2】已知集合{1,1}A =-，2{20}B x x ax b =-+=，若B ≠?，且A B A =

，求,a b 的值.

【分析】根据A B A = ，得出B A ?是解决本题的关键.

【解】∵A B A = ，∴B A ?.

∵B ≠?,∴{1}B =-或{1}或{1,1}-.

当{1}B =-时，1,1a b =-=;

当{1}B =时，1,1a b ==；

当{1,1}B =-时，0,1a b ==-；

∴1,1a b =-=或1,1a b ==或0,1a b ==-.

1.已知{1,1},{1,2},{1,2}M N Q =-==-,则()M N Q = .

2.已知{}{}12,13A x x B x x =-≤<=<≤,则A B = .

3. {3,4,2}{2,3}{3}m -=- ,则m = .

6.设{4}U =绝对值小于的整数，{0,1,3}A =，则U C A = .

7. 若{}{}

22150,50A x x px B x x x q =-+==-+=, {3}A B = ,求,p q 的值及A B . B 组（选做题）

1.已知集合{}2230A x x x =--> {}

234B x x =+<,求A B ，A B .

2.已知集合{15},{}M x x N x x a =-<<=>，求满足下列条件的a 的取值范围.

（1）M N =? ;

A B R ?={}110U C A x x x =<->或{}110U C A B x x x ?=<->或

（2）M N ?≠

四、典型例题

【分析】判断条件的充分性、必要性，关键先要判断“p q ?”与“q p ?”的真假，然后根据充分性和必要性的定义去判定.由3x =能推出2230x x --=，但2230x x --=的解为3x =或1x =-.即2230x x --=不能推出3x =.

【答案】A

【例2】 “5x >”是“2x >”的 条件.

【分析】 5x >?2x >，则5x >是2x >的充分条件；2x >不能推出5x >，则5x >是2x >的非必要条件. 【答案】 充分非必要