四种条件与集合间的包含关系

四种条件与集合间的包含关系

四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：

1、 充分必要条件

若q q p 但,?≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。从集合间的包含关系看B A ?

例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。 解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A

由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x

)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{}

)0(11>+≤≤-=m m x m x B

的充分不必要条件是p q Θ

A B ?∴ ?

??≤+->-???<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或

3≤∴m 又0>m

所求实数m 的取值范围为30≤

2、 必要不充分条件

若p p q 但,?≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。从集合的包含关系看A B ? 例2 已知05

41:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？ 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。 解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或

5

11:-<>∴x x p 或 记?

?????

-<>=511x x x A 或 由03203

2122>-+>-+x x x x 得 即0)3)(1(>+-x x

{}31-<>=∴x x x B 或

A B ?∴

∴P 是q 的必要不充分条件

3、 充要条件

若p q q p ??且,则p 是q 的充要条件。从集合间的包含关系看A=B

例3

4、 既不充分也不必要条件

若p q q p ≠>≠>且，则p 是q 的既不充分也不必要条件。从集合间的包含关系看A B B A ??且

例4 “x=2或y=3”是“x+y=5”的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

分析：“x=2或y=3”包含三种情况：“x=2且y=3”， “x=2且y ≠3”, “x ≠2且y=3”，若对充分条件，必要条件中没有理解透彻或对“x=2或y=3”的认识出现偏差，则易错选。 本题可以从逻辑与集合两种途径去分析求解，以下从集合关系去解决。 考察集合{}3y ,2),(===或x y x A 与集合{}5),(=+=y x y x B ，集合A 是由直线x=2和y=3上的所有点组成的集合，而集合B 是由直线x+y=5上的所有点组成的集合，两者无包含关系，所有“x=2或y=3”是“x+y=5”的既不充分也不必要条件，故选D