椭圆性质总结及习题
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椭 圆
重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程; 难点:用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义:
①平面与两定点F 1,F 2的距离的和等于定长()
212F F a >的点的轨迹,即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a >|F 1F 2|};(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。其中两定点F 1,F 2叫焦点,定点间的距离叫焦距。
②平面一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集
M={P|
e d
PF
=,0<e <1的常数
}。(1=e 为抛物线;1>e 为双曲线)
2 标准方程:
(1)焦点在x 轴上,中心在原点:122
22=+b
y a x (a >b >0);
焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0)。其中22b a c -=
(一个∆Rt )
(2)焦点在y 轴上,中心在原点:122
22=+b
x a y (a >b >0);
焦点F 1(0,-c ),F 2(0,c )。其中22b a c -= 注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,22b a c -=
并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2
+By 2
=1 (A >0,B >0,A ≠B ),当A <B 时,
椭圆的焦点在x 轴上,A >B 时焦点在y 轴上。
3.参数方程 :椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的参数方程
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos b y a x )(为参数θ
4.性质:对于焦点在x 轴上,中心在原点:12
2
22=+b
y a
x (a >b >0)有以下性质:
坐标系下的性质:
① 围:|x|≤a ,|y|≤b ;
② 对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O (0,0); ③ 顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b ),长轴|A 1A 2|=2a ,短轴|B 1B 2|=2b ;
(a 半长轴长,b 半短轴长);
④ 准线方程:c
a x 2±
=;或c
a y 2
±=
⑤ 焦半径公式:P (x 0,y 0)为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0,|PF 2|=右r =a-ex 0;
|PF 1|=下r =a+ey 0,|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质: ⑥ 离心率:e=
a
c
(焦距与长轴长之比)()1,0∈;e 越大越______,0=e 是_____。 ⑦ 焦准距c b p 2=;准线间距c
a 2
2=
二、焦点三角形
结论一:若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且
θ=∠21PF F ,当点P 位于___________时θ最大,cos θ=______________.
|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2
tan
2
21θ
b S PF F =∆
结论二:过椭圆焦点的所有弦径(垂直于焦点的弦)最短,通径为__________。
三.中点弦问题
AB 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一条弦,中点M 坐标为00(,)x y ,则直线的斜率
为 。
四.弦长问题.
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ,222(,)P x y ,则所得的弦长 或 .
(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算; (3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用 ,往往比利用弦长公式简单。 五.X 轴正半轴到椭圆的最短距离问题:
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ,则点(m ,O)到椭圆的最短距离为:_________________.
六.过椭圆上点切线问题
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
习 题
1、 求椭圆2
2
1625400x y +=的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ,P 是椭圆上的一点,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则该椭圆的方程为__________________。
3、 椭圆
22
1259
x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,则ON 的长是___________________。
4、 如果方程2
2
2kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值围是
______________。
5、 过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,
若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为__________。
6、 设12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点,以1F 为圆心且过椭圆中心的圆与椭
圆的一个焦点为M ,若直线2F M 与圆1F 相切,则该椭圆的离心率为____________________。
7、点P 是椭圆1162522=+y x 上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且△PF 1F 2的切圆半径为1,
当P 在第一象限时,P 点的纵坐标为_______________.
8、(2009年卷理)已知1F 、2F 是椭圆1
:22
22=+b y a x C (a >b >0)的两个焦点,P 为椭
圆C 上一点,且21PF PF
⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =____________. 9、(2009文)椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上,若1||4PF =,则
2||PF =
;
12
F PF ∠的大小为 .
10、已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为_________。