椭圆标准方程及其性质知识点大全
数学必修六椭圆标准方程知识点
数学必修六椭圆标准方程知识点
椭圆标准方程知识点
1.椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，a>b>0;
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，a>b>0;
2.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a2a>2c。
3.椭圆的方程几何性质
X，Y的范围
当焦点在X轴时-a≤x≤a,-b≤y≤b
当焦点在Y轴时-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：-a，0，a，0
短轴顶点：0，b，0，-b
焦点在Y轴时：长轴顶点：0,-a，0,a
短轴顶点：b,0，-b,0
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1-c,0F2c,0
当焦点在Y轴上时焦点坐标F10，-cF20,c
4.S=πab其中a,b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来或S=πAB/4其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长。
5.圆和椭圆之间的关系：椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
椭圆知识点总结
【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一泄义：平而内一个动点P到两个泄点片、耳的距离之和等于常数（|P£\ + \PF2|=2“>|片佗［），这个动点P的轨迹叫椭圆。
这两个左点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：假设（$斤\+\PF2|=|F,F2|）,那么动点P的轨迹为线段片竹：假设（|p片\+\PF2 |<応竹|），那么动点p的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b,焦点为c）2 2（1）当焦点在兀轴上时，椭圆的标准方程：二+ L=l（d>〃>0）, •其中疋=/一戸：C — I.—（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：二+二=1（。
>/?>0）,其中c2=a2-b\2 22、两种标准方程可用一般形式表示：—+ —= 1或者mx2+ny2=lm nx1 v2三. 椭圆的性质（以—+ —= lG/>/9>0）为例）CT XK对称性：2 2对于椭圆标准方程卡+君=1（4>〃>0）：是以兀轴、y轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线x = ±«和y = ±方所国成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x \ < a , y | < /? o(阿 \ +\PF 2 | =2 (PM 】|+ PM 】3、 顶点：① 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
X 2 y 2② 椭圆—= 1 (^>/7>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为cr b ，A, (一a,0), A 2 (a t 0) , (0,-/?), B 2 (0, b)。
③ 线段AA ，目民分别叫做椭圆的长轴和短轴，| A" | = 2«, | B&2 \ = 2b. d 和彷 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆标准方程及其几何性质
一：椭圆的简单几何性质1、焦点1(0,4)F -，2(0,4)F ，210a =； 则椭圆的标准方程：2、焦点在x 轴上，:2:1a b =，6c =；则椭圆的标准方程：3、1a c -=，5b =；则椭圆的标准方程：4、焦距为6，1a b -=；则椭圆的标准方程：5、焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(2,0)-；则椭圆的标准方程：6、椭圆经过两点35(,)22-，(3,5)．则椭圆的标准方程：7、求过点(6,1)P ，(3,2)Q --两点的椭圆的标准方程；8、求和椭圆229436x y +=有共同的焦点，且经过点(2,3)-的椭圆方程.9、两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-．则椭圆的标准方程：10、椭圆221169xy+=的焦距是 ，焦点坐标为 ，若C D 为过左焦点1F 的弦，则2F C D ∆的周长为 ．11、方程2241x k y +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 12、已知方程221410xyk k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 ？13、如果方程222=+myx 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围？14、椭圆221x m y +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为？15、若椭圆221x m y +=的离心率为32，则它的长半轴长为_______________16、椭圆的两个焦点为1F 、2F ，短轴的一个端点为A ，且三角形12F A F 是顶角为120º的等腰三角形形，则此椭圆的离心率为 .17、如图，把椭圆2212516xy+=的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567P F P F P F P F P F P F P F ++++++=________________18、已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为19、 P 是椭圆191622=+yx上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值20、设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.21、椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.二：焦点三角形面积问题1、21,F F 是椭圆17922=+yx的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12A F F 的面积2、椭圆1244922=+yx上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积3、已知椭圆22154xy+=上一点为P ，1F 、2F 是该椭圆的两个焦点，且216F P F π∠=，求21P F F ∆的面积；三：轨迹问题1、动点P 到两定点1(4,0)F -，2(4,0)F 的距离和是8，则动点P 的轨迹为 ．2、已知,B C 是两个定点，||6B C =，且A B C ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段P P '，求线段P P '中点M 的轨迹。
椭圆基本知识点总结
椭圆基本知识点总结椭圆是平面上一条封闭的曲线，具有一对焦点和一条主轴。
下面将对椭圆的基本知识进行总结，包括椭圆的定义、方程、性质、参数方程、焦点、离心率等。
一、椭圆的定义和方程：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，连结两个焦点的直线称为椭圆的主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
将两个焦点之间的距离称为焦距，将两焦点之间的距离称为椭圆的直径。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长，a>b，中心在原点。
二、椭圆的性质：1.对于椭圆上的任意一点P，焦点到P的距离之和等于常数。
设PF1和PF2分别是该点到焦点F1和F2的距离，那么PF1+PF2=2a（常数）。
2.椭圆的离心率e满足0<e<1、离心率e的定义是焦距与半轴长的比值：e=c/a，其中c为焦距。
3.离心率e越小，椭圆的形状越扁平；离心率接近于1，椭圆的形状越接近于长轴为直径的圆。
4. 椭圆的面积为πab，其中π为圆周率。
5.椭圆的边界上的点离中心的距离最远为a，该点称为椭圆的顶点；离中心的距离最近为b，该点称为椭圆的底点。
三、椭圆的参数方程：可以用参数方程来表示椭圆上的点的坐标(x,y)。
常用的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b为椭圆的半轴长。
四、椭圆的焦点和直线：1.椭圆的焦点是椭圆上特殊的两个点，它们与椭圆上的任意一点连线的长度之和是一个常数。
2.椭圆的两条主轴与椭圆相交于中心，相互垂直。
3.过椭圆的焦点F1和F2分别作直线L1和L2，与椭圆的边界交于两点P1和P2，那么直线L1和L2分别是椭圆的两条切线。
4.椭圆的两条主轴与椭圆的焦点、中心之间的连线围成的角称为离心角，它等于直角。
五、椭圆的离心率和焦距：1. 椭圆的离心率e定义为焦距与半轴长之比：e = c/a = sqrt(1 -b^2/a^2)，其中c为焦距。
椭圆知识点笔记
椭圆知识点笔记一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用集合语言表示为：＄P ＝＼｛ M ｜｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a,2a ＞｜F_1F_2| ＼｝＄，其中$｜F_1F_2| ＝ 2c$。
当$2a ＝ 2c$时，动点的轨迹是线段$F_1F_2$；当$2a ＜ 2c$时，动点无轨迹。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$表示椭圆的长半轴长，＄b$表示椭圆的短半轴长，＄c$满足$c^2 ＝ a^2 b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0, c)＄，＄F_2(0, c)＄。
三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，有$a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，有$b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$A_1(a, 0)＄，＄A_2(a, 0)＄，＄B_1(0, b)＄，＄B_2(0, b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$A_1(0, a)＄，＄A_2(0, a)＄，＄B_1(b, 0)＄，＄B_2(b, 0)＄。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
有关椭圆的所有知识点
有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。
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【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：
●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦
点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形
(二)椭圆的简单几何性：
●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
标准方程
122
22=+b y a x )0(>>b a 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围
a x ≤，
b y ≤
b x ≤，a y ≤
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率
①(01)c e e a =
<< ，②21()b e a
=-③2
22b a c -=
（离心率越大，椭圆越扁）
1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中
a 最大且a 2=
b 2+
c 2.
2. 方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A
≠B 。
A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。
(三)焦点三角形的面积公式：122tan
2
PF F S b θ
∆=如图：
●椭圆标准方程为:122
22=+b
y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，
12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan
2
PF F S b θ
∆=。
(四)通径 ：如图：通径长 2
2b MN a
=
●椭圆标准方程:122
22=+b
y a x )0(>>b a ，
(五)点与椭圆的位置关系：
（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22
00
221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<
(六)直线与椭圆的位置关系：
●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122
22=+b
y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程
组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；
M N
F x
y
（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (七)弦长公式：
●若直线AB:y kx b =+与椭圆标准方程:122
22=+b y a x )0(>>b a 相交于两点
11(,)A x y 、22(,)B x y ，
把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122
22=+b
y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。
●弦长公式： ① 212212
212
4)(11x x x x k
x x k AB -++=-+=a
k ∆
+=2
1（含x 的方程）
②212
2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=
=（含y 的方程）
（八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
()()()()()()()
()()22
2222
22
12
1222
1122221200012
01122121212122
2
2
122
12
1 1 0
,,1(0)2
212AB x y a b
x y a b y y x x x y A x y B x y a b a b
x x x AB x y AB y y y x x x x y y y y a b x x b a
y y +=+=+
=--+=>>+⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+-+-+=-+设是椭圆上不重合的两点，
则，两式相减得所以，直线的斜率k ，M ，是线段的中点坐标，()AB 1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，此法称为点差法(设而不求)
① 椭圆标准方程:122
22=+b y a x )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率
2
2OM b k k a
=-；
② 椭圆标准方程: 122
22=+b
x a y )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率
22OM
a k k b
=-
③斜率为k 的弦的中点轨迹方程：设弦PQ 的端点为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，中点为M （x 0，
y 0），把P ，Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得022
=+b ky
a x （椭
圆内不含端点的线段）。
【考点指要】
在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2道题，解答题1道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。
主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。
曲线的应用问题，探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。