万有引力定律经典例题

1．天体运动的分析方法

2

．中心天体质量和密度的估算

(1)已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R G Mm

R

2＝mg ????

天体质量：M ＝

gR 2G

天体密度：ρ＝3g 4πGR

(2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T 和轨道半径r

?????

①G Mm r 2＝m 4π2T 2r ?M ＝4π2r 3GT

2

②ρ＝M 43πR 3

＝3πr

3

GT 2R

3

③卫星在天体表面附近飞行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT

2

1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心

B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误．

答案：C

2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一

次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( )

A ．g ′∶g ＝4∶1

B ．g ′∶g ＝10∶7

C ．v ′∶v ＝

528

D ．v ′∶v ＝

514

解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G

Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43

πR 3

，解两式得g ＝4

3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力

充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4

3πR 3，解两式得v ＝2R

G πρ

3

，所以v ′∶v ＝528

，C 项正确，D 项错．

答案：C

3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( )

A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B ．求出地球与月球之间的万有引力

C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2

2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2

T 1

2得T 1＝

4π2r 13

GM

＝4π2r 13

Gρ43πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m

r 22

＝mr 24π2

T 2

2，T 2＝4π2r 23

GM ′

，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A 错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做

圆周运动的半径r1，根据F＝

GMM′

r1

2

可求出地球和月球之间的引力，B正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D错误．

答案：B

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天

体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算

天体密度时，V＝

4

3

πR3中的R只能是中心天体的半径.

考点二人造卫星的运行

授课提示：对应学生用书第57页

1．人造卫星的a、ω、v、T与r的关系

GMm

r2＝

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

ma―→a＝

GM

r2―→a∝

1

r2

m

v2

r―→v＝

GM

r―→v∝

1

r

mω2r―→ω＝

GM

r3―→ω∝

1

r3

m

4π2

T2r―→T＝

4π2r3

GM―→T∝r

3

2．近地时mg＝

GMm

R2―→GM＝gR

2.

1．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：根据G

Mm

r2＝m

4π2

T2r得r＝

3GMT2

4π2＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 2．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

1.(2015·高考福建卷)如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )

A.v 1v 2

＝r 2

r 1

B.v 1v 2

＝r 1r 2

C.v 1v 2＝????r 2r 12

D.v 1v 2＝???

?r 1r 22 解析：根据万有引力定律可得G Mm

r 2＝m v 2r ，即v ＝

GM

r ，所以有v 1v 2

＝r 2

r 1

，所以A 项正确，B 、C 、D 项错误．

答案：A

2．2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道．这次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )

A ．周期大

B ．线速度小

C ．角速度小

D ．向心加速度大

解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小．根据万有引力提供圆周运动向心力得G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T 2＝ma ，则周期T ＝

4π2r 3

GM

，知半径r 越小，周期越小，故A 错误；线速度v ＝

GM

r

，知半径r 越小，线速度越大，故B 错误；角速度ω＝GM

r 3

，

知半径r 越小，角速度越大，故C 错误；向心加速度a ＝GM

r 2，知半径r 越小，向心加速度

越大，故D 正确．

答案：D

3．“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所．假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．下列说法正确的有( )

A ．“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度

B ．“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的10倍

C ．站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动

D ．在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮

解析：根据G Mm r 2＝ma 得a ＝Gm

r 2，知“空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加

速度，故A 错误；根据G Mm

r 2＝m v 2r

得v ＝

GM

r

，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是10∶1，故B 错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动，故C 正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充当向心力和空间站一起做圆周运动，故D 错误．

答案：C

人造卫星问题的解题技巧

(1)利用万有引力提供向心力的不同表达式 GMm r 2＝m v 2r ＝mrω2

＝m 4π2r T

2＝ma n (2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿 第二定律．

①卫星的a n 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生 变化．

②a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定． (3)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球 绕地球公转一周为一月(27.3天)等.

考点三 卫星的发射和变轨问题 授课提示：对应学生用书第57页

1．第一宇宙速度(环绕速度)

v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度，还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

2．第二宇宙速度(脱离速度)

v 2＝11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)

v 3＝16.7 km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

1．第一宇宙速度的两种计算方法 (1)由G Mm

R 2＝m v 2R 得v ＝

GM

R

. (2)由mg ＝m v 2

R 得v ＝gR .

2．卫星变轨的分析

(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行．

(2)变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G Mm

r 2＝m v 2r

＝mω2r ＝m ????2πT 2r . ①当卫星的速度突然增大时，G Mm

r 2＜m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做

离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝ GM

r

可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加； ②当卫星的速度突然减小时，G Mm

r 2＞m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将

做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝

GM

r

可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．

1．(多选)(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1.下列说法正确的有( )

A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大

B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大

C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等

D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 解析：由G Mm

R 2＝m v 2R

得，v ＝

GM

R

，2v ＝2GM

R

，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A 项错误；由F ＝G Mm

R 2及地球、火星的质量、半径之比可

知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B 项正确；由2v ＝

2GM

R

可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能增大，D 项正确．

答案：BD

2.(多选)2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是( )

A ．发射速度一定大于7.9 km/s

B ．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大

C ．在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度

D ．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度

解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s ，A 正确．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度，选项C 正确．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度，D 错．

答案：ABC

3.(2016·成都石室中学二诊)如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A 、B 、C ，在某一时刻恰好在同一条直线上．它们的轨道半径之比为1∶2∶3，质量相等，则下列

说法中正确的是( )

A ．三颗卫星的加速度之比为9∶4∶1

B ．三颗卫星具有机械能的大小关系为E A ＜E B ＜E

C C ．B 卫星加速后可与A 卫星相遇

D ．A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点

解析：根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma ，得a ＝GM r 2，故a A ∶a B ∶a C ＝1r A 2∶1r B 2∶1

r C

2

＝112∶122∶1

32＝36∶9∶4，故A 错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机械能越大，故E A ＜E B ＜E C ，故B 正确；B 卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不可能与A 卫星相遇，故C 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2

T 2r ，得T ＝

2π

r 3GM ，所以T A

T C

＝r A 3r C 3＝1

27

，即T C ＝27T A .若A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点，则C 的周期应为A 的周期的27倍，故D 错误．

答案：B

航天器变轨问题的三点注意事项

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨

道上的运行速度变化由v ＝

GM

r

判断． (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．

(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度.

考点四 天体运动中的双星或多星模型 授课提示：对应学生用书第58页

1.模型构建

绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．

2．模型条件

(1)两颗星彼此相距较近．

(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．

3．模型特点

(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．

(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．

(3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．

1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()

A.n3

k2T B.

n3

k T

C.n2

k T D.

n

k T

解析：设两颗双星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有

引力提供向心力可得G

m1m2

(r1＋r2)2

＝m1r1

4π2

T2，G

m1m2

(r1＋r2)2

＝m2r2

4π2

T2，联立两式解得m1＋m2＝

4π2(r1＋r2)3

GT2，即T 2＝

4π2(r1＋r2)3

G(m1＋m2)

，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离

变为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为T′＝n3

k T，B正确，A、C、D错误．

答案：B

2．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )

A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B ．四颗星的轨道半径均为a

2

C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm

R 2

D ．四颗星的周期均为2πa

2a

(4＋2)Gm

解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为2

2

a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G

mm ′

R 2

＝m ′g ，解得g ＝Gm R 2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a

2，T ＝2πa

2a

(4＋2)Gm ，故D 正确．

答案：ACD

3.如图所示，双星系统中的星球A 、B 都可视为质点．A 、B 绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为G ，观测到A 的速率为v 、运行周期为T ，A 、B 的质量分别为m 1、m 2.

(1)求B 的周期和速率．

(2)A 受B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体对它的引力，试求m ′.(用m 1、m 2表示)

解析：(1)设A 、B 的轨道半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的周期T 、角速度ω都相同，根据牛顿第二定律有F A ＝m 1ω2r 1，F B ＝m 2ω2r 2，即r 1r 2＝m 2

m 1.故B 的周期和速率分别为：

T B ＝T A ＝T ，v B ＝ωr 2＝ωm 1r 1m 2＝m 1v

m 2

.

(2)A 、B 之间的距离r ＝r 1＋r 2＝m 1＋m 2

m 2r 1，根据万有引力定律有

F A ＝Gm 1m 2r 2＝Gm 1m ′r 12，

所以m ′＝m 23

(m 1＋m 2)2

.

答案：(1)T m 1v m 2 (2)m 23

(m 1＋m 2)2

解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)双星问题的“两等” ①它们的角速度相等．

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力 大小总是相等的． (2)双星问题的“两不等”

①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半 径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离． ②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知，由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等．

[随堂反馈]

授课提示：对应学生用书第59页

1．(2015·高考重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )

A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm

(R ＋h )2

D.GM h

2 解析：由GMm (R ＋h )2＝mg ′得g ′＝GM

(R ＋h )2，B 项正确． 答案：B

2．(2015·高考北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )

A ．地球公转周期大于火星的公转周期

B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度

C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度

D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 解析：地球的公转半径比火星的公转半径小，由

GMm

r

2＝m ????2πT 2r ，可知地球的周期比火星的周期小，故A 项错误；由GMm

r 2＝m v 2r ，可知地球公转的线速度大，故B 项错误；由

GMm r 2＝ma ，可知地球公转的加速度大，故C 项错误；由GMm

r 2＝mω2r ，可知地球公转的角速度大，故D 项正确．

答案：D

3．已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( )

A ．卫星距离地面的高度为

GM

R

B ．卫星的运行速度等于第一宇宙速度

C ．卫星运行时受到的向心力大小为G Mm

R

2

D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

解析：由GMm (R ＋h )2

＝m (R ＋h )????2πT 2得h ＝3GMT 24π2－R ，A 项错误；近地卫星的运行速度

等于第一宇宙速度，同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星运行时的向心力大小为F 向＝GMm (R ＋h )2，C 错误；由G Mm R 2＝mg 得地球表面的重力加速度g ＝G M

R 2，而同步卫星所在处的向心加速度g ′＝GM (R ＋h )2

，D 正确．

答案：D

4.(2015·成都七中二诊)2013年12月2日，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察．假设嫦娥三号在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力．则( )

A ．若已知嫦娥三号环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度

B ．嫦娥三号由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速

C ．嫦娥三号在环月椭圆轨道上P 点的速度大于Q 点的速度

D ．嫦娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小

解析：根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可以解出月球的质量M ＝4π2r 3

GT 2，由于

不知道月球的半径，无法知道月球的体积，故无法计算月球的密度，故A 错误；嫦娥三号在环月段圆轨道上P 点减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入环月段椭圆轨道，故B 错误；嫦娥三号从环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即嫦娥三号在环月段椭圆轨道上P 点的速度小于Q 点的速度，故C 错误；卫星越高越慢，第一宇宙速度是星球表面近地卫星的环绕速度，故嫦娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，故D 正确．

答案：D

5．一物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A 、B 、C 三点，已知AB 段与BC 段的距离均为0.06 m ，通过AB 段与BC 段的时间分为0.2 s 与0.1 s ，求：

(1)该星球表面重力加速度值；

(2)若该星球的半径为180 km ，则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少？ 解析：(1)根据运动学公式，由题意可得

???

x ＝v 1t 1＋12

gt 12

2x ＝v 1(t 1

＋t 2

)＋12

g (t 1

＋t 2

)2

代入数值可求得g ＝2 m/s 2.

(2)对质量为m 的卫星有G Mm

r 2＝m ????2πT 2r 星球表面有G Mm ′

R

2＝m ′g

可知当R ＝r 时卫星做圆周运动的最小周期为 T ＝2π

R g

代入数据解得T 最小＝600π s. 答案：(1)2 m/s 2 (2)600π s

[课时作业]

授课提示：对应学生用书第243页

一、单项选择题

1．(2016·成都市石室中学一诊)下列说法正确的是( ) A ．洗衣机脱水桶脱水时利用了离心运动 B ．牛顿、千克、秒为力学单位制中的基本单位

C ．牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量

D ．理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，所以是不可靠的

解析：洗衣机脱水时利用离心运动将附着在衣服上的水分甩掉，水做离心运动．故A 正确；米、千克、秒为力学单位制中的基本单位，而牛顿不是基本单位，故B 错误；牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量，故C 错误；理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，是可靠的，故D 错误．

答案：A

2．欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c ”．该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍．设想在该行星表面附近绕行星圆轨道运行的人造卫星的动能为E k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为E k2，则E k1

E k2

为( )

A ．0.13

B ．0.3

C ．3.33

D ．7.5

解析：在行星表面运行的卫星其做圆周运动的向心力由万有引力提供 故有G Mm

r 2＝m v 2r

，

所以卫星的动能为E k ＝12m v 2＝GMm

2r

故在地球表面运行的卫星的动能E k2＝GM 地m

2R 地

在“格利斯”行星表面运行的卫星的动能E k1＝GM 行m

2R 行

所以有E k1

E k2＝GM 行m 2R 行GM 地m 2R 地＝M 行M 地·R 地R 行＝51×11.5＝103

＝3.33.

答案：C

3.(2015·高考天津卷)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )

A ．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大

B ．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小

C ．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大

D ．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小

解析：宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的侧壁对他的支持力等于他站在地球表面时的支持力，则mg ＝mrω2，ω＝

g

r

，因此角速度与质量无关，C 、D 项错误；半径越大，需要的角速度越小，A 项错误，B 项正确．

答案：B

4．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度大小减小为原来的1

2

，则变轨前后卫星的( )

A ．轨道半径之比为1∶2

B ．向心加速度大小之比为4∶1

C ．角速度大小之比为2∶1

D ．周期之比为1∶8

解析：卫星绕地球做圆周运动过程中，万有引力充当向心力，G Mm

r 2＝m v 2r ?v ＝

GM r ，v 1

v 2

＝r 2r 1＝2?r 1r 2＝14，A 项错；G Mm r 2＝ma ?a ＝GM r 2，所以a 1

a 2

＝16，B 项错；由开普勒第三定律T 12T 22＝r 13r 23＝143?T 1T 2＝18，D 项正确；因为T ＝2πω，角速度与周期成反比，故ω1

ω2＝

8，C 项错．

答案：D

5．美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星“开普勒-226”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的 2.4倍．已知万有引力常量和地球表面的重力加速度．根据以上信息，下列推理中正确的是( )

A ．若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力

B ．若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度

C ．根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径

D ．若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径

解析：根据万有引力公式F ＝G Mm

r 2，由于不知道中心天体的质量，无法算出向心力，

故A 错误；根据万有引力提供向心力公式G Mm r 2＝mg ，有g ＝G M

r 2，若该行星的密度与地球

的密度相等，体积是地球的 2.4倍，则有M 行M 地＝V 行V 地＝2.4，r 行r 地＝3V 行V 地＝32.4，根据g 行

g ＝

M 行r 地2

M 地r 行2

，可以求出该行星表面的重力加速度，故B 正确；由于地球与行星不是围绕同一个中心天体做匀速圆周运动，故根据地球的公转周期与轨道半径，无法求出该行星的轨道半径，故C 错误；由于不知道中心天体的质量，已知该行星的密度和半径，无法求出该行星的轨道半径，故D 错误．

答案：B

6．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )

A ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

B ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

C ．太阳对各小行星的引力相同

D ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

解析：小行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力，有G Mm

r 2＝m

v 2r ＝ma ＝m 4π2T 2r ，小行星的加速度a ＝GM

r 2，小行星内侧轨道半径小于外侧轨道半径，故内侧

向心加速度大于外侧的向心加速度，故A 正确；线速度v ＝

GM

r

知，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，故小行星的公转线速度小于地球公转的线速度，故B 错误；太阳对小行星的引力F ＝G Mm

r 2，由于各小行星的轨道半径、质量均未知，故不能得出太阳对小行

星的引力相同的结论，故C 错误；由周期T ＝2π

r 3

GM

知，由于小行星轨道半径大于地球公转半径，故小行星的运动周期均大于地球公转周期，即大于一年，故D 错误．

答案：A

7．由于火星表面的特征非常接近地球，人类对火星的探索一直不断，可以想象，在不久的将来，地球的宇航员一定能登上火星．已知火星半径是地球半径的1

2，火星质量是地球

质量的1

9

，地球表面重力加速度为g ，假若宇航员在地面上能向上跳起的最大高度为h ，在

忽略地球、火星自转影响的条件下，下述分析正确的是( )

A ．宇航员在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的2

9

B ．火星表面的重力加速度是2

3

g

C ．宇航员以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是9

2h

D ．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的23

解析：根据万有引力定律的表达式F ＝G

Mm R 2.已知火星半径是地球半径的1

2

，质量是地球质量的19，所以宇航员在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的4

9，则

火星表面的重力加速度是4

9g ，故A 、B 错误；宇航员以v 0在地球起跳时，根据竖直上抛的

运动规律得出：可跳的最大高度是h ＝v 22g ，由于火星表面的重力加速度是4

9g ，宇航员以相

同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度h ′＝9

4h ，故C 错误；由mg ＝m v 2R ，得第一

宇宙速度v ＝gR ，又因火星表面的重力加速度是4

9g ，则火星的第一宇宙速度是地球第一

宇宙速度的

2

3

，故D 正确． 答案：D 二、多项选择题

8.如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )

A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm

(r －R )2

B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm

r 2

C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 2

3r

2

D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm

r

2

解析：根据万有引力定律，地球对一颗卫星的引力大小F 万＝G Mm

r 2，A 项错误；由牛

顿第三定律知B 项正确；三颗卫星等间距分布，任意两星间距为3r ，故两卫星间引力大小F 万′＝G m 2

3r 2，C 项正确；任意两卫星对地球引力的夹角为120°，故任意两卫星对地球引

力的合力与第三卫星对地球的引力大小相等，方向相反，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D 项错误．

答案：BC

9．(2016·宜宾二诊)我国的“玉兔号”月球车于2013年12月14日晚成功降落在月球虹湾区，开始探测科考．机器人“玉兔号”在月球表面做了一个竖直上抛试验，测得物体从月球表面以初速度v 0竖直向上抛时上升的最大高度为h ，已知月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .则下列说法中不正确的是( )

A ．月球表面重力加速度为v 02h

B ．月球的第一宇宙速度为v 0

2h R

C ．月球同步卫星离月球表面高度为 3v 02RT 2

8π2h －R

D ．月球的平均密度为3v 02

8πGhR

解析：由

v 2＝2gh

得，月球表面重力加速度为g 月＝v 02

2h

，故A 错误；月球的第一宇宙

速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg ＝m v 2

R ，所以v ＝g 月R ＝v 0

R

2h

，故B 错误；月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有

G Mm (R ＋H )2＝m 4π2T 2(R ＋H )

又有G Mm

R

2＝mg 月

联立解得H ＝3v 02R 2T 2

8π2h －R ，故C 错误；

由ρ＝M V ，G Mm R 2＝mg 月，V ＝4

3πR 3，

得ρ＝3v 02

8πGhR ，D 项正确．

答案：ABC

10．(2015·高考全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停

(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2.则此探测器( )

A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s

B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N

C ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 解析：由题述地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，由公式G Mm R 2＝mg ，可得月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1

6，即g 月＝1.6 m/s 2.

由v 2＝2g 月h ，解得此探测器在着陆瞬间的速度v ＝3.6 m/s ，选项A 错误；由平衡条件可得悬停时受到的反冲作用力约为F ＝mg 月＝1.3×103×1.6 N ＝2×103 N ，选项B 正确；从离开近月圆轨道到着陆这段时间，由于受到了反冲作用力，且反冲作用力对探测器做负功，探测器机械能减小，选项C 错误；由G Mm R 2＝m v 2R ，G Mm

R 2＝mg ，解得v ＝gR ，由于地球半径

和地球表面的重力加速度均大于月球，所以探测器在近月轨道上运行的线速度要小于人造卫星在近地轨道上运行的线速度，选项D 正确．

答案：BD 三、非选择题

11．(2016·成都外国语学校月考)宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球由距星球表面高h (h 远小于星球半径)处由静止释放，小钢球经过时间t 落到星球表面，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G .

(1)求该星球表面的重力加速度；

(2)若该星球的半径为R ，忽略星球的自转，求该星球的密度；

(3)若该星球的半径为R ，有一颗卫星在距该星球表面高度为H 处的圆轨道上绕该星球做匀速圆周运动，求该卫星的线速度大小．

解析：(1)由h ＝12gt 2，得g ＝2h

t

2.

(2)用M 表示该星球质量，在星球表面对质量为m 的物体有 G Mm

R

2＝mg 又M ＝43πR 3ρ，g ＝2h

t 2

解得ρ＝3h

2πRGt 2

.

(3)用m 0表示卫星质量，由牛顿第二定律有

G Mm 0

(R ＋H )2＝m 0v 2R ＋H 解得v ＝

R t

2h

R ＋H

. 答案：(1)2h t 2 (2)3h 2πRGt 2 (3)R

t

2h

R ＋H

12.(2015·高考安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：

(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .

解析：(1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝

F CA ，方向如图所示，

则合力大小为 F A ＝23G m 2

a

2.

(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为 F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2

a

2，

F CB ＝

G m C m B r 2＝G m 2

a 2，方向如图所示．

由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2

a

2，