《概率论与数理统计》习题 第四章 大数定律和中心极限定理

第四章 大数定律和中心极限定理

一. 填空题

1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______.

解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0

D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY

ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 所以 1213636)()6|(|2==-≤

≥-Y X D Y X P

二. 选择题

1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差

( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布

解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.

三. 计算题

1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.

解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02)

由棣莫佛－拉普拉斯定理:

)(2198.002.040002.0400lim 22x dt e x X P x t n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛

≤⨯⨯⨯-⎰∞--∞→π 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯--=≤-=≥98.002.0400798

.002.040081)1(1)2(X P X P X P ≈ 1－Φ(－2.5) = Φ(2.5) = 0.9938.

2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.

解. 假设X 表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X ～B(10000, 0.7)

由棣莫佛－拉普拉斯定理:

)(217.03.010*******lim 22x dt e x X P x

t n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⨯⨯-⎰∞--∞→π

所以 )7200

6800(≤≤X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛

⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=7.03.010000700072007.03.010********.03.01000070006800X P ≈ Φ(4.36)－Φ(－4.36) = 2Φ(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.