2021年人教版九年级上数学教案《实际问题与二次函数》

22.3 实际问题与二次函数

一、基本目标

【知识与技能】

1．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求解实际问题．

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实物抛物线问题．

【过程与方法】

在运用二次函数知识解决实际问题的过程中体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值和数学转化思想．

【情感态度与价值观】

会运用二次函数的知识解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

利用二次函数解决实际问题的步骤． 【教学难点】

读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P49～P51的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】

1．用配方法求最值：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)＝__a

????x ＋b 2a 2__＋__4ac －b 2

4a

__；当a ＞0时，二次函数有__最小__值，即当x ＝－b

2a 时，y 最小值＝__4ac －b 24a ；__当a ＜0时，二次函数有__

最大__值，即当x ＝－b

2a 时，y 最大值＝__4ac －b 24a

__.

2．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x (x ＞0)，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数解析式是 __y ＝10(x ＋1)2__.

3．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y ＝－1

8x 2＋3，一辆车高2.6 m ，宽4 m ，

该车 __不能__(填“能”或“不能”)通过该隧道．

环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)

【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？

【互动探索】(引发学生思考)解决此类题的关键是将实际问题转化为数学问题，其中“窗户通过的光线最多”应转化为求什么？

【解答】由题意可知，4y ＋1

2×2πx ＋7x ＝15.

化简，得y ＝15－7x －πx

4

.

设窗户的面积为S m 2，则S ＝1

2πx 2＋2x ×15－7x －πx 4＝－3.5x 2＋7.5x .

∵a ＝－3.5<0，∴S 有最大值． ∴当x ＝－7.52×(－3.5)＝15

14≈1.07 m 时，

S 最大＝0－(7.5)24×(－3.5)＝225

4×14≈4.02(m 2)．

即当x ≈1.07 m 时，窗户通过的光线最多． 此时，窗户的面积是4.02 m 2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题较复杂，特别要注意：中间线段用x 的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．

【例2】某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

(1)若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【互动探索】(引发学生思考)利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？其关键点是什么？

【解答】(1)根据题意，得y ＝(70－x －50)(300＋20x )＝－20x 2＋100x ＋6000. ∵70－x －50＞0，且x ≥0，∴0≤x ＜20.

(2)∵y ＝－20x 2＋100x ＋6000＝－20???

?x －5

22＋6125， ∴当x ＝5

2时，y 取得最大值，最大值为6125.即当降价2.5元时，每星期的利润最大，

最大利润是6125元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用二次函数解决实际问题的步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，分析它们之间的关系；(3)设适当的未知数，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．

【活动2】 巩固练习(学生独学)

1．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图2建立平面直角坐标系，求抛物线的关系式．

图1 图2

解：由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2.由题意可知，且抛物线过点(2，－2)，∴－2＝a ×22，解得a ＝－0.5.即抛物线的关系式为y ＝－0.5x 2.

2．已知：如图，用长为18 m 的篱笆(3AB ＋BC )，围成矩形花圃．一面利用墙(墙足够长)，求围成的矩形花圃ABCD 的最大占地面积．

解：设AB ＝x m ，则BC ＝(18－3x ) m ，则围成的矩形花圃ABCD 的面积为S ＝x (18－3x )＝－3x 2＋18x ＝－3(x 2－6x )＝－3(x －3)2＋27，即围成的矩形花圃ABCD 的占地面积最大为27 m 2.

3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

解：(1)由题意得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．

(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500.

(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

【活动3】拓展延伸(学生对学)

【例3】我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如图所示.

时间t(天)0510******** 日销售量y1(百件)025*********

(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

(2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．【互动探索】(引发学生思考)要求二次函数解析式，如何用待定系数法来求解？要求日销售总量y的最大值，如何根据二次函数的性质确定最大值？

【解答】(1)根据观察可设y1＝at2＋bt＋c.

将(0,0)，(5,25)，(10,40)代入，得

??

?

??

c＝0，

25a＋5b＝25，

100a＋10b＝40，

解得

??

?

??a＝－15，

b＝6，

c＝0.

∴y1与t的函数关系式为y1＝－

1

5t

2＋6t(0≤t≤30，且为整数)．

(2)当0≤t≤10时，设y2＝kt.

∵(10,40)在其图象上，∴10k＝40，∴k＝4，

∴y2与t的函数关系式为y2＝4t；

当10≤t ≤30

时，设y 2＝mt ＋n .

将(10,40)，(30,60)代入，得????

?

10m ＋n ＝40，30m ＋n ＝60，

解得?

????

m ＝1，

n ＝30.

∴y 2与t 的函数关系式为y 2＝t ＋30.

综上所述，y 2＝?

????

4t (0≤t ≤10，且为整数)，t ＋30(10＜t ≤30，且为整数).

(3)依题意，得y ＝y 1＋y 2.

当0≤t ≤10时，y ＝－15t 2＋6t ＋4t ＝－15t 2＋10t ＝－1

5

(t －25)2＋125，

∴t ＝10时，y 最大＝80；当10＜t ≤30时，y ＝－15t 2＋6t ＋t ＋30＝－15t 2＋7t ＋30＝－1

5?

???t －3522＋

365

4

. ∵t 为整数，∴t ＝17或18时，y 最大＝91.2.

∵91.2＞80，∴当t ＝17或18时，y 最大＝91.2(百件)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在运动变化中，随着自变量取值的变化，函数关系

有时会发生变化，在这种情况下，需要对自变量的取值范围进行分段(或分类)讨论．

环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

1、最困难的事就是认识自己。20.10.810.8.202008:5308:53:28Oct-2008:53

2、自知之明是最难得的知识。二〇二〇年十月八日2020年10月8日星期四

3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。08:5310.8.202008:5310.8.202008:5308:53:2810.8.202008:5310.8.2020

4、与肝胆人共事，无字句处读书。10.8.202010.8.202008:5308:5308:53:2808:53:28

5、三军可夺帅也。Thursday, October 8, 2020October 20Thursday, October 8, 202010/8/2020

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。8时53分8时53分8-Oct-2010.8.2020

7、人生就是学校。20.10.820.10.820.10.8。2020年10月8日星期四二〇二〇年十月八日 亲爱的用户：

烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉

人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。