最新新课标全国卷理科数学解析版
2012年新课标全国卷理科数学试卷详解 （适用地区：豫 晋 疆 宁 吉 黑 蒙 冀 滇）
第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，
则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2）， （5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D 。 【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
【解析】先安排甲组，共有12
2412C C ?=种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组
即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A 。 【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。 3．下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-。
其中的真命题为（ ） A ．2p ，3p B ．1p ，2p
C ．2p ，4p
D ．3p ，4p
【解析】因为22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--，所以||2z =，22(1)2z i i =--=，
z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C 。
【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。
4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a
x =上一点，
21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2
3 C ．3
4 D ．45
【解析】如图所示，21F PF ?是等腰三角形，
212130F F P F PF ∠=∠=?，212||||2F P F F c ==，
260PF Q ∠=?，230F PQ ∠=?，2||F Q c =，又23||2
a
F Q c =
-， 所以
32a c c -=，解得34c a =，因此3
4
c e a ==，故选择C 。 【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。
5．已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7 【解析】因为{n a }为等比数列，
所以由已知得4747562
8
a a a a a a +=??
==-?，
解得4724a a =-??=?或47
42a a =??=-?，
所以1312a q =??=-?或13812
a q =-???=-
??，
因此110a a +=9
1(1)7a q +=-，
【点评】6．如果执行右边和程序框图，输入正整数N （实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．
2
A B
+为1a ，2a ，…，N a C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，故选择C 。 【点评】本题主要考察程序框图的应用。
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为
底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
(63)3932
V =????=，故选择B 。
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。
8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2
16y x =的准线交于A ，B 两点，
||43AB =，则C 的实轴长为（ ）
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
【解析】设等轴双曲线C 的方程为22
221x y a a
-=，
即2
2
2
x y a -=（0a >），
抛物线2
16y x =的准线方程为4x =-，
联立方程2224
x y a x ?-=?=-?，解得22
16y a =-，
因为||43AB =，
所以2
2
2
||(2||)448AB y y ===，从而2
12y =， 所以2
1612a -=，2
4a =，2a =， 因此C 的实轴长为24a =，故选择C 。 【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。
9．已知0ω>，函数()sin()4
f x x π
ω=+
在（
2π
，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12
] D ．（0，2]
【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444
x ππππ
ωωωπ?+<+
因为函数()sin()4
f x x πω=+在（2π
，π）上单调递减，
所以242342
πππ
ωππ
ωπ??+≥?????+≤??，解得1524ω≤≤，故选择A 。
O B D A
【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。 10．已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-，则()y f x =的图像大致为（ ）
【解析】()y f x =的定义域为{|
1x x >-且0}x ≠
，排除D ；
因为2
2
1
(
1)
1'()[ln(1)](1)[ln(1)]
x x f x x x x x x --+==+-++-， 所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；
当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数。排除A 、C ，故选择B 。 【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。
11．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O
的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A
．
6
B ．
6
C ．
3
D ．
2
【解析】如图所示，根据球的性质，
知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥。 在直角C OO 1?中，1=OC ，3
31=
C O ， 所以3
6
)33(
122121=
-=-=
C O OC OO 。 因此三棱锥S －ABC 的体积
6
236433122=???==-ABC
O V V ，故选择A 【点评】本题主要考察锥体和球的性质。 12．设点P 在曲线12
x
y e =
上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln2-
B ln 2)-
C ．1ln2+
D ln 2)+
【解析】函数12
x
y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称。 A ．
B ．
D ．
问题转化为求曲线12
x
y e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d 。 （用切线法）：
设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1
(,)2
t P t e ， 因为1'2
x
y e =，所以根据导数的几何意义， 得
112
t
e =，ln 2t =， 所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-， 所以1ln 2y x =+- 因此曲线12
x
y e =
上点P 到直线y x = 的距离的最小值d 为直线
1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，
从而2
d =
，所以min ||22(1ln 2)PQ d ==-，故选择B 。 【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。
第Ⅱ卷（共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|10a b -=r r ，则||b =r
_________。
【答案】23。
【解析】由已知||2
2
45cos ||||b b a b a =???=?。
因为|2|10a b -=r r
，所以10||4||422=+?-b b a a ，
即06||22||2=--b b ， 解得23||=b 。 【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。
14．设x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-??+≤?
?≥??≥?，
则2z x y =-的取值范围为___________。 【答案】[－3，3]。
【解析】 可行域如右图所示。
将目标函数2z x y =- 化为z x y 1
1-=
。 3
2
1
2
4
x +y =3
x -y =-1
B
A
C
O
显然当2z x y =-过点B （1，2）时， 341min -=-=z ；
当2z x y =-过点A （3，0）时， 303max =-=z 。
因此2z x y =-的取值范围为[－3，3]。 【点评】本小题主要考察线性规划的知识。 15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接 而成，元件1或元件2正常工作，且元
件3正常工作，则部件正常工作。设三个
电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布N （1000，502），且各个元件
能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________。 【答案】
8
3。 【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为
21。 因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为8
3
21)411(=?-=P 。
【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。
16．数列{n a }满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为____________。
【答案】1830。
【解析】因为1(1)21n
n n a a n ++-=-，
所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，
……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=。 由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=； ……
由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=；
从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=?=L L 。 又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=， 所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++L L
2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-=L 159117++++L
3011817702
?==。
从而24660a a a a ++++L 135591770a a a a =+++++L 3017701800=+=。 因此6012345960S a a a a a a =++++++L 13592460()()a a a a a a =+++++++L L
3018001830=+=。
【点评】本小题主要考察递推数列的知识。 元件2
元件3
元件1
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C
的对边，cos sin 0a C C b c +--=。 （1）求A ；
（2）若2a =，△ABC
，求b ，c 。 【解析】（1）根据正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===， 得A R a sin 2=，B R b sin 2=，
C R c sin 2=，
因为cos sin 0a C C b c --=，
所以0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R ， 即0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A ，（1）
由三角形内角和定理，得C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
代入（1）式得0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A ， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即2
1
)6
sin(=
-π