数学建模中的整数规划问题研究论文

XX大学

毕业论文

数学建模中的整数规划问题研究

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XX大学制

二〇一年月日

1.引言

应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题。这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法解决，即建立数学模型。随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速的扩展到非物理领域。数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。正是这样的背景下，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代化生产、工作和社会生活中。数学模型的分类方法有很多种，例如按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。而运筹学模型中的规划模型又可分为非线性规划模型和线性规划模型，本文通过实例剖析线性规划中整数规划方法在数学模型种的应用

2.主要结果

2.1数学建模中的整数规划问题

在研究线性规划的问题中，一般问题的最优解都是非整数，即为分数或小数，但对于实际中的具体问题的解常常要求必须取整数.例如问题的解表示是人数、机器设备的台数、机械车辆数等都是整数.为了求整数解，我们设想把所求得的非整数解采用“舍人取整”的方法处理，似乎是变成了整数解，但事实上这样得到的结果未必可行.因为取整以后就不一定是原问题的可行解了，或者虽然是可行解，但也不一定是最优解.因此，对于要求最优整数解的问题，需要寻求直接的求解方法，这就是整数规划方法.

2.2整数规划的基本概念]1[

整数规划的一般模型为：

()

()

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

≥

=

≥

=

≤

=

∑

∑

=

=

,

,

,2,1

,0

,

,

,2,1

)

,

(

..

,

min

max

1

1

n

j

x

x

m

i

b

x

a

t s

x

c

j

j

n

j

i

j

ij

n

j

j

j

z

为整数

（2.1）

整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题（2.1）中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题——松弛问题（A），如果这个问题（A）的最优解是元问题（2.1）的可行解，则就是原问题（2.1）的最优解；否则，在保证不改变松弛问题（A）的可行性的条件下，修正松弛问题（A）的可行域（增加新的约束），变成新的问题（B），再求问题（B）的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题（2.1）的可行域内为止，即得到了原问题的最优解.

2.3整数规划的解法

2.3.1整数规划的分枝定界法

分枝定界法的基本思想：

将原问题（2.1）中的整数约束去掉变为问题（A），求出问题（A）的最优解，如果它不是原问题的可行解，则通过附加线性不等式约束，将问题（A）分枝变为若干子问题（

i

B）（i=1，2，…，I），即对每一个非整数变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，即可得到两个子问题，继续求解定界，重复这一过程，知道得到最优解为止。

分枝定界法的一般步骤：

（1）将原整数规划问题（2.1）去掉所有的整数约束变为线性规划问题（A），用线性规划的方法求解问题（A），则有下列情况：

1）问题（A）无可行解，则原问题（2.1）也无可行解，停止计算：

2）问题（A）有最优解*

X，并不是原问题（2.1）的可行解，则此解就是（A）的最优解，计算结束；

3）问题（A）有最优解*

X，但不是原问题（2.1）的可行解，转下一步。

（2）将*

X 代入目标函数，其只记为-

z ，并用观察法找出原问题（2.1）的一个可行解（整数解，不妨取),,2,1(0n j x j ==），求得目标函数值（下界值），记为-

z ，

则原问题（2.1）的最优值记为*z ，即有-

-

≤≤z z z *

，转下一步；

（3）分枝：在问题（A ）的最优解中任选一个不满足整数约束的变量j j b x =（非整数），附加两个整数不等式约束：[]

j j b x ≤和[]

1+≥j j b x ，分别加入到问题（A ）中，构成两个新的子问题（1B ）和（2B ），仍不考虑整数约束，求问题（1B ）和（2B ）的解。

定界：对每一个子问题的求解结果，找出最优值的最大者为新的上界-

z ，从所有符合整数约束条件的分枝中找出目标函数值最大的一个为新的下界-

z 。

（4）比较与剪枝：将各分枝问题的最优值同-

z 比较，如果其值小于-

z ，则这个分枝

可以剪掉，以后不再考虑。如果其值大于-

z ，且又不是原问题（2.1）的可行解，则

继续分枝，返回（3），直到最后得到最优解使*z =-

z ，即),,2,1

(*n j x j =为原问题（2.1）的最优解。 2.3.2整数规划的割平面法 割平面法的基本思想：

首先把原整数规划问题（2.1）去掉整数约束条件变为线性规划问题（A ），然后引入线性约束条件使问题（A ）的可行域逐步缩小，每次切割掉的是问题非整数解的一部分，不切掉任何整数解，知道最后使得目标函数达到最优的整数解成为可行域的一个顶点为止，这也就是原问题（2.1）的最优解。即利用线性规划的求解方法逐步缩小可行域，最后找到整数规划问题的最优解。 割平面法的计算步骤：

设原问题（2.1）中有n 个决策变量，m 个松弛变量，共n+m 个变量，略去整数约束求解线性规划问题，将最终的求解结果放入如表2-1中。其中),,2,1(m i x i =表示基变量，),,2,1(n j y j =表示非基变量，则具体计算步骤如下：