电磁场题目

1. 计算线电流圆环轴线上任意一点的磁感应强度。

解：设圆环的半径为a ，流过的电流为I 。取线电流圆环位于xy 平面上，则所求场点为

),0,0(z P 。采用园柱坐标系，圆环上的电流元为''φφIad e Idl =，其位置矢量为a e r ρ='，

而场点P 的位置矢量为z e r z =，故得 a e z e r r z ρ-=-'，2

/12

2

)

('a z r r +=-

'')'('2

φφρd Ia e Iazd e r r Idl z +=-⨯

得到轴线上任一点),0,0(z P 的磁感应强度为

')

(4)(2

/32

2

20

0φπ

μρπ

d a z a

e z e Ia

z B z ++=

⎰

=2

/32

2

20)

(2a z Ia

e z

+μ

2. 媒质1的电参数为0,2,

410101===σμμεε，媒质2的电参数为

0,

3,

220202===σμμεε。两种媒质分界面上的法向单位矢量为

48.06.064.0z y x n e e e e -+=，由媒质2指向媒质1。若已知媒质1内邻近分界面上的

点P 处T t z y x 300sin )32(1e e e B +-=，求P 点处下列量的大小：（1）n B 1；（2）t B 1；（3）n B 2；（4）t B 2。

解：（1）1B 在分界面法线方向的分量为

T

T e e e e e e e B B z y x z y x n n 244.12.164.0)

48.06.064.0()32(11=--=-+⋅+-=⋅=

（2）T B B B n t 16.32

1211=-=

（3）利用磁场边界条件，得

T B B n n 212==

(4) 利用磁场边界条件，得 T B B t t 74.416.3230

011

22=⨯=

=

μμμμ

3.半径为a 的球形体积内充满密度为)(r ρ的体电荷，若已知球形体积内外的电位移分布为 ⎪

⎩

⎪⎨⎧≥+≤<+==a r r Aa

a a

r Ar r D r r r r ,0),(24

523e e e D

式中A 为常数，试求电荷密度)(r ρ。 解：由ρ=⋅∇D ，得

)(1)(2

2

r D r dr

d r

D r =

⋅∇=ρ 故在a r ≤<0区域，有

Ar r Ar r r dr

d r

r 45)]([1)(2

2

3

22

+=+=ρ

在a r >区域

0][1)(2

4

52

2

=+=

r

Aa

a r

dr

d r

r ρ

4. 0

10101===σμμεε；0>z 区域的媒质参数为

0,

20,

520202===σμμεε。若媒质1中的电场强度为

V/m )]51015cos(20)51015cos(60[),(881z t z t t z x +⨯+-⨯=e E 媒质2中的电场强度为

V/m )501015cos(),(8

2z t A t z x -⨯=e E

试确定常数A 的值；（2）求磁场强度),(1t z H 和),(2t z H 。

解：（1）这是两种电介质（0=σ）的分界面，在分界面0=z 处，有

V/m )]1015cos(20)1015cos(60[),0(8

8

1t t t x ⨯+⨯=e E

=V/m )1015cos(808

t x ⨯e

V/m )1015cos(),0(8

2t A t x ⨯=e E

利用两种电介质分界面上E 的切向分量连续的边界条件),0(),0(21t t E E =，得 A=80 V/m

（2）应用微分形式的麦克斯韦第二方程t B E ∂-∂=⨯∇/，得

z

E e E E E z y x e e e E t

H x

y

z

y

x

z y x

∂∂-=∂∂∂∂∂∂-

=⨯∇-

=∂∂11111111

1111

μμμ

)]51015sin(100)51015sin(300[1

8

80

z t z t e y

+⨯--⨯-=μ

将上式对时间t 积分，得

m A z t z t e t z H y

/)]51015cos(10

3

2)51015cos(10

2[1

),(8

7

8

7

1+⨯⨯-

-⨯⨯=--μ

同样，由t H E ∂∂-=⨯∇/22μ，得

m A z t e t z H y

/)51015cos(10

34),(8

7

2-⨯⨯=-μ

5. 平面电磁波在ε1=9ε0的媒质1中沿+z 方向传播， 在z =0 处垂直入射到ε2=4ε0 的媒质 2 中。若来波在分界面处最大值为 0.1 V/m ，极化为+x 方向，角频率为 300 Mrad/s ，求: (1) 反射系数；(2) 透射系数； (3) 写出媒质1和媒质2中电场的表达式。 解：媒质1的传播常数为

3

101==εμω

k

波阻抗为

π

403

π1201

01==

=

εμη

媒质2的传播常数为

2

202==εμω

k

波阻抗为

π

602

π1202

02==

=

εμη

(1) 反射系数为

2

0π

40π60π40π601

212.R =+-=

+-=

ηηηη

(2) 透射系数为

2

1π

40π60120π21

22

.T =+=

+=

ηηη

(3) 媒质1中电场的表达式为

E 1=E i +E r =a x (0.1e -j3z +0.02e j3z ) =a x ［0.04 cos(3z )+0.08e -j3z ］ 媒质2中电场的表达式为 E 2=E t =a x 0.12e -j2z

6. 在半径a = 1 mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z 轴方向通过电流I = 20 A ，试求：

（1）ρ=0.8 mm 处的B ；（2）ρ=1.2 mm 处的B ；（3）圆柱内单位长度的总磁通。

解：（1）圆柱形导体内的电流密度为 2

62

2

3

2

/1037.6/)

10

1(20

m A e m

A e a

I

e J z z

z

⨯=⨯==-ππ