高考总复习—排列组合-教师版

排列组合常用方法总结

适用学科

数学适用年级高三知识点

加法计数原理乘法计数原理学习目标

掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力学习重点

有条件限制的排列组合应用问题学习难点排列与组合的区别

学习过程

一、复习预习

加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn 种不同的方法．

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn 种不同的方法

二、例题精析

【例题1】【特殊元素、特殊位置】优先法

在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）

【解析】五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求

的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1

4C ；最后排其他位置共计

有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 【例题2】【相邻问题】捆绑法

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【题干】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）

【解析】把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A =种【例题3】【相离问题】插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【题干】七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（）

【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法

种数是52563600A A =种【例题4】【选排问题】先选后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法

【题干】

四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有24

C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有23

44144C A =种.【例题5】【相同元素分配问题】隔板法

将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:11--m n C 。

【题干】

10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为为6984C =种

【题干】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？

【解析】向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17

个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202

16=C 种。

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有种.变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种

【题干】将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】1、先从4个盒子中选三个放置小球有34C 种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色

齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、

4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、2

5C 种方法。

3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种【例题6】【平均分组问题】消序法

平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以n n

A ，n 为均分的组数），避免重复计数。【题干】6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（

）种【解析】

分三步取书得224426C C C 中分法，但是这里出现重复计数的现象。除去重复计数33A ，即共有33

224426A C C C 【例题7】【有序分配问题】逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组

【题干】将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有()种

【解析】A

【例题8】【“至少”“至多”问题等用】排除法

【题干】

从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种

【解析】解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有333

94570C C C --=种,选.C 解析2：正向思考，至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C .

四、课堂运用

【基础】

1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为(

)A ．40B ．50C ．60D ．70

2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(

)A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种[解析]1先分组再排列，一组2人一组4人有C 26＝15种不同的分法；两组各3人共有C 36A 22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

[解析]2恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后