美丽的完全平方数
1—100的平方数，记牢常用平方数，为考试提速！
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记牢常用平方数，解题速度会快很多。
平方数的小规律：
(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.
(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.
(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是源自的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.
完全平方数的性质
完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
完全平方数和平方根的计算
完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。
例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。
平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。
本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。
例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。
2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。
我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。
如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。
例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。
3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。
我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。
例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。
二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。
例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。
可以发现4²=16，因此√16 = 4。
2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。
首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。
具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。
完全平方数的特征与性质
完全平方数的特征与性质
完全平方数的性质
性质1: 完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1
性质5:完全平方数的约数个数为奇数。
完全平方数的特征
1、末位数字只能是 :0，1，4，5，6，9;反之不成立
2、除以3余0或余1;反之不成立
3、除以4余0或余1;反之不成立
4、约数个数为奇数:反之成立
5、奇数的平方的十位数字为偶数:反之不成立
6、奇数平方个位数字是奇数:偶数平方个位数字是偶数
7、两个相临整数的平方之间不可能再有平方数
1。
完全平方数的定义
完全平方数的定义
o2019-09-20 15:52:36
文/陶凯月
一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。
零也可称为完全平方数。
平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。
除1外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。
完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。
因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。
完全平方数的性质：偶指奇因
1、完全平方数的分解质因数中，每种质因数的指数都是偶数，反之成立。
2、完全平方数的因数个数有奇数个，反之成立。
3、因数个数为3的一定是质数的平方。
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数字的特殊性质完全平方数和立方数
数字的特殊性质完全平方数和立方数数字的特殊性质：完全平方数和立方数在数学的世界里，数字有着各种各样的性质，其中一些特殊性质备受研究与关注。
本文将介绍其中两种特殊性质，即完全平方数和立方数，并探讨它们的相关性质和应用。
一、完全平方数完全平方数指的是某个整数的平方，例如1、4、9、16等。
我们可以通过一个简单的公式来判断一个数字是否为完全平方数：对于一个非负整数n，如果存在一个非负整数m，使得m * m = n，则n为一个完全平方数。
完全平方数具有以下几个显著的特点：1. 完全平方数的结尾数字只能是0、1、4、5、6或9。
这是因为一个数字的平方的结尾数字只会受到原数字结尾数字的影响。
例如，如果一个数字的结尾是2，那么其平方的结尾数字将是4，依次类推。
2. 完全平方数可以表示为连续奇数之和。
以完全平方数9为例，可以表示为1+3+5=9。
这是因为每个完全平方数n都可以表示为以1开始的连续奇数之和，而奇数序列的和可以通过公式n^2来计算得出。
3. 完全平方数是一种特殊的数学模式。
当我们在平方数序列中观察数字的个位和十位数字时，会发现它们按照一定的模式循环出现。
例如，平方数序列的个位数字将按照0、1、4、9、6、5的循环重复出现。
完全平方数在现实生活中也具有广泛的应用，例如：1. 在几何学中，完全平方数与正方形的面积密切相关。
一个正方形的面积等于其边长的平方，因此可以通过判断一个数字是否为完全平方数来确定它是否为正方形的面积。
2. 完全平方数在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在某些加密算法中，完全平方数的性质被用于生成公钥和私钥。
二、立方数立方数是指某个整数的立方，例如1、8、27等。
立方数同样具有一些独特的性质：1. 立方数的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
与完全平方数类似，立方数的个位数字受到原数字个位数字的影响。
2. 立方数可以表示为连续奇数之和的乘积。
以立方数27为例，可以表示为3 * 3 * 3，其中3为奇数。
人教版数学八年级上册第十四章第二课《完全平方公式》
探究新知
a−b
b
几何解释
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2= a2 −ab−b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式：
(a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
问题4： 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2. (a–b)2= a2–2ab+b2.
探究新知
素养考点 4 添括号法则的应用
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1原) 式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= x2–(4y2–12y+9)
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
巩固练习
3.对应训练.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_5_2___. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=_1_8_或__–_1_8_ . (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为__1____.
基础巩固题
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
小学奥数教程：完全平方数及应用（二）全国通用（含答案）
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数Û自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6Û它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
初二数学《完全平方公式》课件
教学目标
知识技能： 知识技能： 解决问题： 解决问题：
知道完全平方公式与多项式乘法的关系， 知道完全平方公式与多项式乘法的关系，理 解完全平方公式的意义。 解完全平方公式的意义。 经历完全平方公式的探求过程， 经历完全平方公式的探求过程，熟悉完全平 方公式的特征， 方公式的特征，会运用完全平方公式解决一 些简单问题。 些简单问题。
解：原式= ( x2y + )2 原式 = x4y2 + x2y +
比较下列各式之间的关系： 比较下列各式之间的关系： (1) (-a -b)2 与(a+b)2 (2) (a - b)2 与 (b - a)2
相等
相等 (-b +a)2 与(-a +b)2
你会了吗
1.(1.(-x-y)² =
2+b)²= 2.(2.(-2a
2 -4xy =x
算一算
2 1.(3x1.(3x-7y)
=
2+3b)2= 2.(2a
运用完全平方公式计算： 例2运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式计算 (1) 1042 解： 1042 = (100+4)2 =10000+800+16 =10816 (2) 99.992 解： 99.992 = (100 –0.01)2 =10000 -2+0.0001 =9998.0001
右边
②、学生用语言叙述完全平方公式。 学生用语言叙述完全平方公式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 另一项是两数积的2 间的符号相同。 首平方，末平方， 间的符号相同。 首平方，末平方，
完全平方数的定义和原理
完全平方数的定义和原理
完全平方数是指一个数能够被另一个整数平方得到的数，也就
是说，如果一个数可以表示为n^2，其中n是一个整数，那么这个
数就是一个完全平方数。
例如，4是一个完全平方数，因为它可以
被2平方得到（2^2=4）。
完全平方数的原理可以从数学角度来解释。
首先，我们知道一
个数的平方是指这个数与自身相乘的结果。
如果一个数是完全平方数，那么它的平方根一定是一个整数。
换句话说，一个数是完全平
方数，当且仅当它的平方根是一个整数。
这是因为，如果一个数的
平方根是整数，那么它就可以被这个整数平方得到，从而符合完全
平方数的定义。
另外，完全平方数还有一些特点。
首先，所有的非负整数都是
完全平方数的平方。
其次，完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
这是因为完全平方数的最后一位只能是0、1、4、5、6
或9的平方数才能以这些数字结尾。
这些特点可以帮助我们判断一
个数是否是完全平方数。
从几何角度来看，完全平方数也可以表示为一个正方形的面积。
例如，一个边长为3的正方形的面积就是9，而9恰好是一个完全
平方数。
因此，完全平方数也可以被理解为几何概念中的平方面积。
总的来说，完全平方数是一个重要的数学概念，它可以从数学
和几何两个角度来理解和应用。
通过理解完全平方数的定义和原理，我们可以更好地理解数学中的平方数概念，并在实际问题中应用这
一概念。
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跟名师学一道题：
本期特邀“华杯赛金牌教练”、北京集训队高年级组教练——孙佳俊老师与大家分享：
从第十七届华杯高年级组初赛第3题谈起
——美丽的完全平方数
在2012年第17届华杯赛高年级组初赛试题中有这样的一道题：俗语“不管三七二十一”中有3、7、2、1这四个数字，用这四个数字组成一个各位数字互不相同的四位完全平方数．那么，这个完全平方数是__________.
首先，我们先来看一下什么样的数是完全平方数。
简单来说，所谓完全平方数，就是一个自然数乘以它本身，所得出来的数就叫完全平方数。
比如：因为4=2×2；100=10×10，所以4、100就都叫完全平方数。
平方用上角标2来表示，例如：2
24=即2×2=4。
回到一开始所说的那道题。
【分析】完全平方数的个位数字只有1、4、5、6、9，因此由3、7、2、1组成的完全平方数个位只能为1；完全平方数除以4的余数只能为0或1，而个位是1，因此末两位除以4余1，所以十位只能为2；于是只有3721和7321两种可能，经尝试可知3721=61×61，是完全平方数，7321是质数. 所以这个完全平方数是3721.
但是，细心的同学可能会发现，这个完全平方数是非常神奇的，满足3×7=21！那么，还有没有这样的完全平方数呢？有没有更加神奇的完全平方数？这些神奇的完全平方数在杯赛和小升初考试中出没出现过？今天，让我带大家走入精彩的完全平方数世界。
第一组神奇的完全平方数：2331089=，2999801=
细心的同学可能已经发现了，这两个完全平方数顺序恰好相反，互为逆序数，且9801恰好是1089的9倍。
更加神奇的是，满足这样条件的四位完全平方数对是唯一的，有兴趣的同学可以试着证明一下。
接下来让我们来看2008年解题能力展示五年级初赛的一道试题：有4个不同的数字可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是 ．
【分析】4个不同的数字可组成18个不同的自然数，所以其中必有一个数字0．设另外3个数字分别为a ，b ，c ，并且满足a b c <<，则18个不同的4位数中最小的是0a bc ，依题意可知四位数cboa 也是完全平方数，这两个数互为逆序数关系，所以这4个数字分别是1，0，8，9，组成的18个四位数中最大的是9810。
这道题在当年的解题能力展示试卷中出现在第12题，即倒数第四题的位置，还是非常有难度的，但如果提前知道这一组数的话，相信20秒之内就可以求出答案了。
第二组神奇的完全平方数： 2381444=
1444这个完全平方数是第一个末三位相同的完全平方数。
我们可以证明，如果一个完全平方数末三位相同的话，那么他的末三位只能为000或444。
已知，完全平方数的末位只能为0、1、4、5、6、9，同时，完全平方数除以4的余数只能为0或1，而11、55、66、99除以4的余数均为2或3，所以不存在这样的完全平方数。
第20届五羊杯曾经出过这样的一道题：一个六位数，它是一个完全平方数，且末三位数字都是4，这样的六位数有 个。
【分析】考察平方差公式及因数分析法。
由于末三位都是4且是完全平方数的数最小是
2381444=，
所以这样的六位数与1444的差的末三位数都是0，设2k 是满足条件的六位数，那么22381000k m -=（其中m 为自然数），即(38)(38)8125k k m +-=⨯，由于38k +与38k -不能同时被5整除，所以其中一个能被125整除，由于38k +与38k -除以4的余数相同，如果它们都不能被4整除，那么最多只是2的倍数，这时它们的积不是8的倍数，因此38k +与38k -都是4的倍数，这样其中之一是500的倍数，也就是满足2
(50038)n ±的数满足题意，其中六位数有222462213444,538289444,962925444===，共3个。
第三组神奇的完全平方数：2613721= 2684624=
这个咱们在最开始的题目中已经说过了，3×7=21，4×6=24，我们可以称他们为“顺口溜完全平方数”；
第四组神奇的完全平方数：2633969= 2684624=
这一对数的规律就要同学们仔细好好找找了；在2633969=中，组成这个式子的6个
数字均为3的倍数；在2
684624=中，组成这个式子的6个数字均为非0偶数；
这组数在老教协坑班的期末测试题中曾经出过：一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方。
请问：这个四位数是多少？
【答案】4624
第五组神奇的完全平方数：2786084=
6084这个数的4个数字是4个互不相同的偶数；而且最神奇的是，满足这个条件的4位完全平方数是唯一的！
2012年第10届走美杯六年级决赛有这样的一道题：从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是 .
【答案】6084
第五组神奇的完全平方数：2887744= 2288338833+=
这两个式子的规律想必就不须我多说了，特别是后一个式子，不得不让我们由衷的感叹，完全平方数的世界就是充满着神奇！
我们的最后一题来自1987年第4届迎春杯决赛：下面的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
迎迎⨯春春=杯迎杯杯，数数⨯学学=数赛赛数，春春⨯春春=迎迎赛赛。
则迎 + 春 + 杯 + 数 + 学 + 赛 = 。
【答案】39
本题如果按常规方法来做的话，还是非常有难度的。
但是，如果了解到2887744=，
突破口就一目了然了，看“春春⨯春春=迎迎赛赛”！是不是一下就知道其中的3个数了！
另外，本题还被实验中学改编，用做了小升初考试测试题，足以见得这组数的重要性。
综上，完全平方数在杯赛和小升初的考试中的重要性不言而喻。
对于低年级小朋友来讲，可以通过神奇的“正方形数”来体会到数学之美，培养对数学的兴趣；对于高年级的同学们来说，一定要牢记这些神奇的完全平方数，因为它们是考试中的宠儿！
如果你能够发现更多神奇的完全平方数，欢迎与我们联系，可以发送邮件至：peiyoubao@。