刚体力学基础小结及习题 ppt课件
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刚体力学基础完全版
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
整理课件
r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd 式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度 可分解为切向加速度 和法向加速度.
o
ran
a
a a t
撤去外力矩时,
-Mr=Iβ2 , β2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得
I=17.3kg.m整2理课。件
30
例题 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其 中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一 根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体， 如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动
定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题
的方法。
整理课件
21
§3-1.2 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=I
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。
L I
问题：为何动量的概念对刚体 的转动已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
P=0
整理课件
12
I=Δmi ri2称为刚体对z轴的转
动惯量。
转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=I
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
整理课件
r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd 式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度 可分解为切向加速度 和法向加速度.
o
ran
a
a a t
撤去外力矩时,
-Mr=Iβ2 , β2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得
I=17.3kg.m整2理课。件
30
例题 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其 中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一 根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体， 如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动
定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题
的方法。
整理课件
21
§3-1.2 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=I
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。
L I
问题：为何动量的概念对刚体 的转动已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
P=0
整理课件
12
I=Δmi ri2称为刚体对z轴的转
动惯量。
转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=I
第三章 刚体力学精品PPT课件
定 进动 角
自转 角
节线ON
0 0 2 0 2
2.欧勒运动学方程
在直角坐标系
xiyjzk
x sin sin cos
y sin cos sin
z cos
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1.力系的简化
力的可传性原理
力的作用线不能随意移动
共点力系的简化 平行四边形法则 共面非平行力系的简化 力的可传性原理+平行四边形法则
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一 种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点 之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我 们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果 对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力 学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。
第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
ri
1 2
n
rim ivi
i 1
T1J1I
M z
0
对共面力系，有 F x0 ,F y0 ,M z0
例 p171，如图，求A处的摩擦系数。 解 是共面力系的平衡问题
Fx 0: N1 cos 900 0 f 0
Fy 0: N1 sin 900 0 N2 P 0
Mz
0:
Pl
cos0
N1
h
sin0
0
解出
f
N2
l sin 2 0 cos 0 h l sin 0 cos 2 0
1. 刚体的动量矩
§3.5 转动惯量
刚体对O点的动量矩
自转 角
节线ON
0 0 2 0 2
2.欧勒运动学方程
在直角坐标系
xiyjzk
x sin sin cos
y sin cos sin
z cos
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1.力系的简化
力的可传性原理
力的作用线不能随意移动
共点力系的简化 平行四边形法则 共面非平行力系的简化 力的可传性原理+平行四边形法则
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一 种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点 之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我 们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果 对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力 学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。
第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
ri
1 2
n
rim ivi
i 1
T1J1I
M z
0
对共面力系，有 F x0 ,F y0 ,M z0
例 p171，如图，求A处的摩擦系数。 解 是共面力系的平衡问题
Fx 0: N1 cos 900 0 f 0
Fy 0: N1 sin 900 0 N2 P 0
Mz
0:
Pl
cos0
N1
h
sin0
0
解出
f
N2
l sin 2 0 cos 0 h l sin 0 cos 2 0
1. 刚体的动量矩
§3.5 转动惯量
刚体对O点的动量矩
刚体力学 总结44页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
刚体力学 总结
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
刚体力学基础
1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J＝ miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件：M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
刚体力学优质课件
解 根据定义，飞轮的角速度为 d 2π 0t dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
刚体力学 PowerPoint 演示文稿.ppt
板。求：制动器的合理安装位置。
解：设制动器离转轴的距离为l, 房门对转轴的转动惯量J 1 mb2.
3 F : 碰撞时制动器对门的作用力。 F1、F2 : 绞叶对门的作用力。
绞叶
F1 F2
制动器
0
c
F
l
由角动量定理：－
t
0 Fldt 0 J0
由质心的动量定理：－t 0
( F1－F )dt
与落地点对棒中心张角，棒长2l。
青蛙移动距离: S 2(l sin ) v cos 2 v sin （1）
2
g
系统角动量守恒: 2mvcos cos l 1 M (2l)2 0 （2） 2 12
L蛙＝mv
c
os l
s
in
1 2
J02
1 2
J 2
1 2
mv2 (2)
m地
vm地＝vm锥＋v锥地＝v1＋v2
而v1
v2
且v2＝R
vm2地＝v12＋R2 2 (3)
(1) (2） （3）
v1
J02 R2
J mR2
2gh ,
v２
R
J0 R
J mR2
承反力。
解(1).汽车刹车停止瞬时，由于惯性， 货箱的运动：平动 转动。
C v0
A
mv0
2 2
l
s in(
2
4
)
mv0
l 2
J
A
JA
JC m (CA)2
1 ml 2 m( 6
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
大学物理刚体力学课件
— 角动量定理的积分形式 三、刚体对转轴的角动量守恒定律
dLz d Mz ( J ) dt dt dLz ， 0L M z 0 ，则 z dt
若
J 恒量
— 角动量守恒定律
小结：质点运动与刚体定轴转动的对照表（一） 质点运动
速度 加速度 力 质量 动量 牛顿第二定律
刚体定轴转动
小结：刚体定轴转动与质点运动的对照表（二）
质点运动
动量定理 动量守恒定律 动能 功 动能定理
刚体定轴转动
角动量定理
F dt m v m v 2 1
Mdt J
2
J1
F 0, mv 恒矢量
1 2 mv 2
角动量守恒定律
M 0, J 恒量
转轴沿着直
并与盘面垂直
1 2 J mr 2
1 2 J mr 4
球体
转轴沿着切
球体
转轴通过球
心
2r
线
2 2 J mr 5
7 2 J mr 5
两
一、平行轴定理
个
定
理
如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为 J C ，那么对与此轴平行 的任意轴的转动惯量可以表示为
J J C md 2
m 是刚体的质量，d 是两平行轴之间的距离。 式中：
zi i i
O
ri
Δ mi
vi
整个刚体对Z轴的角动量为 Lz
l
dt
zi
( ri mi ) J
2
二、刚体对转轴的角动量定理 d d 根据转动定理 M z J J ( J )
dt
Lz J
dLz d M z ( J ) dt dt