2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)理科试卷及答案

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2003年高考数学理工农医类、全国卷真题

3
（
1 3
3
）
（B）（，2）
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2 5
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2 （D）（2，） 3 5
11． lim
2 2 2 C2 C 32 C 4 Cn n n (C 1 C 1 C 1 C 1 ) 2 3 4 n
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24
，0）， cos x 4 ，则 tg 2 x 5 2
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7
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24
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（D）
24 7
的准线方程是 2．圆锥曲线 8 sin 2
（（D） sin 2 （）
）
（A） cos 2 3．设函数 f ( x)
3
1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知 x ( （A） 7
８
卷) 数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1．D 2．C
21 2
3．D
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D 9．D
10．C
11．B
12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

03届,普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案

03届,普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：，其中R 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知，0），，则（）（A）（B）（C）（D）2．圆锥曲线的准线方程是（）（A）（B）（C）（D）3．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）4．函数的最大值为（）（A）（B）（C）（D）2 5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则（）（A）（B）（C）（D）6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）（B）（C）（D）7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）（A）1 （B）（C）（D）8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D）9．函数，的反函数（）（A），1] （B），1] （C），1] （D），1] 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，）11．（）（A）3 （B）（C）（D）6 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．的展开式中系数是14．使成立的的取值范围是 2 1 5 3 4 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）D E K B C1 A1 B1 A F C G （II）求点到平面AED的距离19．（本小题满分12分）已知，设P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围20．（本小题满分12分）O 北东O y 线岸O x O r(t) P 海在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km 的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）O P A G D F E C B x y 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，。

2003年高考数学(理科)[全国卷I]试题及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2003年高考试题——数学理(天津卷)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至10页考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P. 334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+B ．i 4341--C ．i 2321+D ．i 2321--2．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－7243．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[+∞∈++=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 5．函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xxB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a7．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab - 8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m（）A ．1B ．43C ．21D ．839．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（）A ．14322=-yxB ．13422=-yxC ．12522=-yxD ．15222=-yx10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是（）A ．（31，1）B ．）32,31( C ．)21,52( D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim11413122242322nnn C C C C n C C C C（）A ．3B ．31 C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 .14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.ABA 119．（本小题满分12分）设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B，B，B，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ，Eη.21．（本小题满分14分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n nn n n n n ⋅-+⋅-+=≥-；（2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221- 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=x x 2sin 2cos 1+-=)4sin2cos 4cos2(sin 21ππx x -+= )42sin(21π-+=x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（2）由（1）知 1852183********πππππ+---yx故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，A 1.32arcsin .323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EBEG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EFEFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AEDAV V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S ABAAED ⋅=⋅∆∆1362=∴. 故A 1到平面AED 的距离为362.19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：)0(121)(>+-='x ax xx f .当0,0>>x a 时 0)42(0)(22>+-+⇔>'ax a x x f .0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+aa x.即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增. （ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+ax a x，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，1）内单调递增，又知函数)(x f 在x=1处连续，因此，函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+ax a x.解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a 内也单调递增. 令0)42(,0)(22<+-+<'ax a xx f 即，解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减. 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. 758525232)3(=⨯⨯==ξP7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，253535331)0(=⨯⨯==ξP又24121111=⋅==∆∆AB A A S S AB A AEB ， 2621=⋅=∆ED AE S AED ，3622622=⨯=h . 解法二：（1）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1） A 1（2a ，0，2） E （a ，a ，1） G （31,32,32a a ）. )1,2,0(),32,3,3(a BD a a GE -==∴， 032322=+-=⋅∴a BD GE ，解得a =1. ),31,34,32(),2,2,2(1-=-=∴BG BA 372131323/14||||cos 111=⋅=⋅=∠∴BG BA BG BA BG A .A 1B 与平面ABD 所成角是37arccos.y（2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）0)0,1,1()2,0,0(001,1()1,1,1(1=--⋅=⋅=--⋅-=⋅ED AA ED AE ，），⊥∴ED 平面AA 1E ，又ED ⊂平面AED.∴平面AED ⊥平面AA 1E ，又面AED 面AA 1E=AE ， ∴点A 在平面AED 的射影K 在AE 上.设AE AK λ=，则)2,,(11--=+=λλλAK A A K A 由01=⋅AE K A ，即02=-++λλλ，解得32=λ.)34,32,32(1--=∴K A 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=758, P(η=1)=P(ξ=2)=7528P(η=2)=P(ξ=1)= 52, P(η=3)=P(ξ=0)=253.（2）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为ξ+η=3，所以 .15233=-=ξηE E21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-. 消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+a a y x……① 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点.22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a kk k k k ---+=-那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k kkk kkk kk +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k kk ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n n a a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a .所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53nn a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n nn ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a nnnn n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为 .)23()15()1(22012--<--k k a即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 .051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n nn n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n故a 0的取值范围为).31,0(。

2003年高考数学试题及答案(全国卷)

实用文档2003年全国高等学校招生考试数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则=tgx（）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）实用文档（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）实用文档（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]（C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32） 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nn n C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61 （D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面实用文档积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二、填空题：13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。

2003年普通高校招生数学(理)统一考试(全国卷)试题

2003年普通高校招生数学(理)统一考试(全国卷)(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（） A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m（）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（）A ．14322=-y x B ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(l o g 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b。

【高考试题】2003年全国高考数学试题★答案(理科类)

【高考试题】2003年全国高考数学试题★答案（理科类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则=x tg 2 （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f（）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]（C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P（入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32） 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二、填空题： 13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。

2003年普通高等学校招生考试(全国卷)理科数学

2003年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学一、选择题1. 已知x∈(−π2,0),cos x=45, 则tan2x=(A)724(B)−724(C)247(D)−2472.圆锥曲线ρ=8sinθcos2θ的准线方程是(A)ρcosθ=−2(B)ρcosθ=2(C)ρsinθ=−2(D)ρsinθ=23. 设函数f(x)={2−x−1,x≤0x12,x>0，若f(x0)>1, 则x0的取值范围是(A)(−1,1)(B)(−1,+∞)(C)(−∞,−2)∪(0,+∞)(D)(−∞,−1)∪(1,+∞)4. 函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为(A)1+√2(B)√2−1(C)√2(D)25. 已知圆C:(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)及直线l:x−y+3=0, 当直线l被C截得的弦长为2√3时,a的值等于(A)√2(B)2−√2(C)√2−1(D)√2+16.已知圆锥的底面半径为R，高为3R, 在它的所有内接圆柱中, 全面积的最大值是(A)2πR2(B)94πR2(C)83πR2(D)32πR27. 已知方程(x2−2x+m)(x2−2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的的等差数列, 则|m−n|=(A)1(B)34(C)12(D)388. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(√7,0), 直线y=x−1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为−23,则此双曲线的方程是(A)x 23−y24=1(B)x 24−y23=1(C)x 25−y22=1(D)x 22−y25=19. 函数f(x)=sin x,x∈[π2,3π2]的反函数f−1(x)=(A)−arcsin x,x∈[−1,1](B)−π−arcsin x,x∈[−1,1](C)π+arcsin x,x∈[−1,1](D)π−arcsin x,x∈[−1,1]10.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1), 一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后, 依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角), 设P4的坐标为(x4,0), 若1<x4<2, 则tanθ的取值范围是(A)(13,1)(B)(13,2 3 )(C)(25,1 2 )(D)(25,2 3 )11.limn→∞C22+C32+C42+⋯+C n2n(C21+C31+C41+⋯+C n1)=(A)3(B)13(C)16(D)612.一个四面体的所有棱长都为√2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为(A)3π(B)4π(C)3√3π(D)6π二、填空题13.(x2−12x )9的展开式中x9系数是14. 使log2(−x)<x+1成立的x的取值范围是 .15. 如图, 一个地区分为5 个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有种 . ( 以数字作答)16. 下列 5 个正方体图形中, l是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点, 能得出l⊥面MNP的图形的序号是 . (写出所有符合要求的图形序号)三、解答题17. 已知复数z的辐角为600, 且|z−1|是|z|和|z−2|的等比中项, 求|z|.18. 如图, 在直三棱柱ABC−A1B1C1中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=900，侧棱AA1= 2,D,E分别是CC1与A1B的中点, 点E在平面ABD上的射影是的重心G.(1) 求A1B与平面ABD所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)(2) 求点A1到平面AED的距离.19.已知c>0, 设P: 函数y=c x在R上单调递减;Q: 不等式x+|x−2c|>1的解集为R,如果P 和Q有且仅有一个正确, 求c的取值范围.20.在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测, 当前台风中心位于城市O(如图) 的东偏南θ(θ=arc cos√210)方向300 km 的海面P处, 并以20 km/h 的速度向西偏北450方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为60 km, 并以10 km/h 的速度不断增大, 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?21.已知常数a>0, 在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动, 且BEBC =CFCD=DGDA,P为GE与OF的交点(如图), 问是否存在两个定点, 使到这两点的距离的和为定值? 若存在, 求出这两点的坐标及此定值; 若不存在, 请说明理由.22. 【甲】设{a n}是集合{2s+2t|0≤s<t,且s,t∈z}中所有的数从小到大排列成的数列, 即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{a n}各项按照上小下大, 左小右大的原则写成如下的三角形数表:(1) 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(2) 求a100.【乙】设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r<s<t,且r,s,t∈z}中所有的数从小到大排列成的数列, 已知b k=1160, 求k.。

2003年高考数学全国卷一、理工农医类真题

2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x =（）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）(11)求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0AB，a=，O为AB的中点，点E、BC4=>a，在矩形ABCD中，4F、G分别在BC、CD、DA上移动，且BE CF DG==，P为GE与OF的交点（如图），BC CD DA问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：3 569 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长x当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s 数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(00002<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r第 11 页共 11 页其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C （0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +4 22222397()4145.k C C C C =+++++=。

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至10页考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 334RV 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

knkknnPPCkP)1()(

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．2)3(31ii （）

A．i4341 B．i4341 C．i2321 D．i2321 2．已知xxx2tan,54cos),0,2(则 （） A．247 B．－247 C．724 D．－724

3．设函数0,0,12)(,21xxxxfx若1)(0xf，则x0的取值范围是（） A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞） 4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

).,0[||||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．函数),1(,11lnxxxy的反函数为（）

A．),0(,11xeeyxx B．),0(,11xeeyxx C．)0,(,11xeeyxx D．)0,(,11xeeyxx 6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（） A．33a B．43a C．63a D．123a 7．设cbxaxxfa2)(,0，曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[，则P到曲线)(xfy对称轴距离的取值范围为（） A．]1,0[a B．]21,0[a C．|]2|,0[ab D．|]21|,0[ab 8．已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 ||nm （）

A．1 B．43 C．21 D．83 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(xyFM、N两点，MN中点的横坐标为,32则此双曲线的方程是（）

A．14322yx B．13422yx C．12522yx D．15222yx 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB

上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）设P4的坐标为（x4，0），若214x，

则tan的取值范围是（） A．（31，1） B．）32,31( C．)21,52( D．)32,52(

11．)(lim11413122242322nnnCCCCnCCCC （） A．3 B．31 C．61 D．6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3π B．4π C．33 D．6π

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx展开式中9x的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf.

（1）求函数)(xf的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数)(xfy在区间]2,2[上的图象.

18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. ABCA1B

19．（本小题满分12分）设0a，求函数),0()(ln()(xaxxxf的单调区间.

20．（本小题满分12分） A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B 队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率

A1对B1 32 3

1 A2对B2 52 5

A3对B3 52 5

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η （1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ，Eη.

21．（本小题满分14分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

22．（本小题满分14分）设0a为常数，且)(2311Nnaannn

（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1aannnnnnn；（2）假设对任意1n有1nnaa，求0a的取值范围. 2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

13．221 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）xxxxfcossin2sin2)(2xx2sin2cos1 )4sin2cos4cos2(sin21xx )42sin(21x

所以函数)(xf的最小正周期为，最大值为21.

（2）由（1）知 185218318218183yx

故函数)(xfy在区间]2,2[上的图象是 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

ABCA1B

FGK

.32arcsin.323136sin.3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABDBAEBEGEBGEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFEFDDFGADBGDECDEFABCDCBACCED

（Ⅱ）连结A1D，有EAADAEDAVV11 ,,,FABEFEFEDABED又 ABAED1平面, 设A1到平面AED的距离为h，

则EDShSABAAED1 3621KA. 故A1到平面AED的距离为362. 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分. 解：)0(121)(xaxxxf.

当0,0xa时 0)42(0)(22axaxxf. 0)42(0)(22axaxxf （i）当1a时，对所有0x，有0)42(22aax. 即0)(xf，此时)(xf在),0(内单调递增. （ii）当1a时，对1x，有0)42(22axax，即0)(xf，此时)(xf在（0，1）内单调递增，又知函数)(xf在x=1处连续，因此，函数)(xf在（0，+）内单调递增（iii）当10a时，令0)(xf，即0)42(22axax. 解得aaxaax122,122或. 因此，函数)(xf在区间)122,0(aa内单调递增，在区间),122(aa 内也单调递增. 令0)42(,0)(22axaxxf即，

解得aaxaa122122. 因此，函数)(xf在区间)122,12-2aaaa（内单调递减. 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分 12分）. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

758525232)3(P