【金版学案】2016-2017学年高中数学必修一苏教版练习：3.4.2函数模型及其应用.doc

苏教版高中数学必修1课件 3.4.2函数模型及其应用课件2

当 13<x≤30 时，学生的接受能力逐步下降． (2)当 x＝10 时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59， ∴第 10 min 时，学生的接受能力为 59. (3)当 x＝13 时，y 取得最大值． ∴在第 13 min 时，学生的接受能力最强.
指数函数、对数函数模型
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图 3－4－4 所示的曲线．
S ＝ 5.06x － 0.15x2 ＋ 2(15 － x) ＝－ 0.15x2 ＋ 3.06x ＋ 30(x≥0)，
所以当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)．【答案】 45.6(万元)
4．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】设每天从报社买进 x(250≤x≤400)(x∈N)份报纸，每月获得总利润 y 元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625， x∈[250,400]．
函数 y 在[250,400]上单调递增， ∴当 x＝400 时，ymax＝825 元．即摊主每天从报社买进 400 份时，每月获得的利润最大，最大利润为 825 元.
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致；当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜；当 x>9623时，y1<y2 ，即如意卡便宜．

【高中课件】高中数学苏教版必修一3.4.2函数模型及其应用教学3课件ppt.ppt

反比例幂型函数
y＝k·ax＋b或
y= k×12hx＋b
(x＞0)
y= x＋k a＋b (x＞0)
数学应用：
例1．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间；降温到36℃ 时，需要多长时间(结果精确到0.1) ？
边际函数是经济学中的一个基本概念，也是通过大量的数据拟合，从中筛选出恰当的数学模型，从而使得经济学研究更加准确，决策更加科学.
情境问题：
1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如下图所示：根据图中各点，请你从下列函数中：(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝k·ax＋
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 T－Ta＝(T0－Ta)·12ht ，其中Ta表示环境温度， h称为半衰期．
数学探究：
例2．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝ f(x+1) － f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台(xN*)的收入为 R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？
b展；情(3况)y？＝x＋k a＋b (x＞0) ；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进
打完18洞的杆数 160 140 120 100 80

苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案函数模型及其应用(2)

第19课时函数模型及其应用(2)教学过程一、问题情境在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y可以用公式y=N(1+p)x表示.二、数学建构问题1某公司拟投资1000万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(参考数据:1.094≈1.4116, 1.095≈1.5386, 1.096≈1.6771)题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣.具体解答如下:本金1000万元,年利率为10%,按单利计算,5年后收回的本息和是1000×(1+10%×5)=1500(万元);本金1000万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回的本息和是1000×(1+9%)5=1538.6(万元).因此,按年利率为9%的每年复利一次计算要比按年利率为10%的单利计算更有利,5年后多得利息38.6万元.三、数学运用【例1】(教材P98例2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多长时间?(结果精确到0.1)(见学生用书课堂本P69) [处理建议]题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具体数据对号入座后,并不难得到答案.[规范板书]解由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10.故T-24=(88-24)·.当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.4.因此,约需要25.4min,可降温到35℃.[题后反思]本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算.【例2】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本P70) [处理建议]现有细胞100个,可以先逐个研究1h、2h、3h、4h后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的函数关系式.[规范板书]解1h后,细胞总数为×100+×100×2=×100;2h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;3h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;4h后,细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式为y=100×,x∈N*.由100×>1010,得>108,两边取以10为底的对数,得x lg>8,∴x>.∵=≈45.45,∴x>45.45.答:约经过46h,细胞总数将超过1010.[题后反思]本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系式;解类似a x>b这类不等式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到.【例3】(教材P99例3)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(见学生用书课堂本P70)[处理建议]题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数MP(x);本题涉及两个函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意.[规范板书]解由题意知,x∈[1, 100],且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20+74125,当x=62或x=63时,P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是单调减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.[题后反思]本题中边际利润函数MP(x)在x=1时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的步骤进行,其中建立数学模型是关键.*【例4】某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).(例4)已知该种消费品的进价为每件40元;该店每月销售q(百件)与销售价p(元/价)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为600元,该店应交付的其他费用为每月13200元.(1)若当销售价p为52元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数;(2)若该店只安排40名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元?[规范板书]解(1)设该店的月利润为S元,有职工m名,则S=q(p-40)×100-600m-13200.又由图可知q=所以,S=由已知,当p=52时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得m=50.即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工,则月利润S=当40≤p≤58时,求得p=55时,S取最大值7800元;当58<p≤81时,求得p=61时,S取最大值6900元.综上,当p=55时,S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务,依题意有12n×7800-268000-200000≥0.解得n≥5.所以,该店最早可在5年后还清债务,此时消费品的单价定为55元.[题后反思]①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.四、课堂练习1.复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+r)x,x∈N*.2.单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为p,每期利率为r,存期为x,则到期后本金与利息和为y=p(1+rx),x∈N*.3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)(第4题)4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为2500m2.(围墙厚度不计)五、课堂小结建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(2)

函数模型及其应用（1）【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】： 1、某地高山上温度从山脚起每升高 100 米降低 0.7 ℃ 。

已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃。

则此山高米。

2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产x 台计算机的总成本C= ____________（万元），单位成本P= （万元），销售收入R= （万元），利润L= （万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。

3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y 万元与营运年数x(x *N ∈)的函数关系式为y=-x 2+12x-25,则每辆客车营运年使其营运年平均利润最大。

【典例练讲】：例1、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到终点需要16min ，快车比慢车晚发3min ，且行使10min 后到达终点站。

试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。

两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？例2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y 亿度与 (x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。

（1）求y 与x 之间的函数关系式。

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ [收益=用电量×（实际电价-成本价）]例3、在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台()x N *∈的收入函数为()2300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差。

金版学案2016_2017学年高中数学第三章函数的应用3.2_3.2.2函数模型的应用实例课件

[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( )
(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( )
(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．( )
解析：t＝2 时，y＝3.6，t＝5 时，y＝6. 当 t≥3 时，设 y＝kt＋b.将(3，3.6)，(5，6)代入得 k ＝1.2，b＝0，所以 y＝1.2t(t≥3)．答案：3.6 6 y＝1.2t(t≥3)
类型 2 函数模型的选择 [典例 2] 某汽车公司曾在 2014 年初公告：2014 年销量目标定为 39.3 万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知 2011 年，某汽车年销量 8 万辆；2012 年，某汽车年销量 18 万辆；2013 年，某汽车年销量 30 万辆．如果我们分别将 2011，2012，2013，2014 年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：
所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分) 故该经营者下个月把 12 万元中的 3 万元投资 A 种商品，9 万元投资 B 种商品，可获得最大利润，约为 4.55 万元．(12 分)
1.8 1.4 4 0 5 6
获纯利润/万元
0.3 0.5 0.8 1.2 1.5 1.7 0 9 8 0 1 9
该经营者准备第七个月投入 12 万元经营这两种商品，但不知 A，B 两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．

苏教版高中数学必修一学案函数模型及其应用(1)

第36课时函数模型及其应用（二）【学习目标】1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题； 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力．【课前导学】1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)xy p r =+2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)y p prx p rx =+=+3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式表示．答案：()1xy Np =+【课堂活动】一．建构数学：总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．二．应用数学：例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则1()()2t ha o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c o 热水冲的速容咖啡,放在24c o 的房间中,如果咖啡降到40c o 需要20min ,那么降温到35c o 时,需要多长时间?解：由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即2011()42h =,解之,得10h =,故10124(8824)()2t T -=-⋅ ,当35T =时,代入上式, 得1013524(8824)()2t -=-⋅ ,即 10111()264t = ，两边取对数,用计算器求得25.4t ≈因此,约需要25.4min ,可降温到35c o ．【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数．解：1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯;可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg 3lg 2x >-，∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似x a b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=， 461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元，因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．【解后反思】我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．例4 容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度．解：（1－ba ）10·m ％例 5 在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入与成本之差. （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;（2）利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值? 解：由题意知,[]1,100x ∈,且x N *∈. (1)()P x = ()()R x C x -2300020(5004000)x x x =--+22025004000x x =-+-，()MP x ()()1P x P x =+-2220(1)2500(1)40002025004000x x x x ⎡⎤=-+++---+-⎣⎦248040x =-；(2) ()P x 22025004000x x =-+-212520()741252x =--+ 当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120 (元).因为()248040MP x x =-是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440 (元). 因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.例6合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y= –0.15(x–4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A．B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【解后反思】信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．【注意点】1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数．二次函数．分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．三．理解数学：1．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为14 ．（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）2．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．解：设矩形宽为x m，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．3．一家人（父亲．母亲．孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲．乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32 a （x ∈N*）， g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a 3 （x ∈N*）， g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a 3 ，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 4．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13 的优惠率？答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13 的优惠率．5．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948 ；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．【课后提升】1.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价 11.1% ． 2．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则()()()21121%144%a x a +=++解得 1.32132%x =-=3．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和．解：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600时，未租出的车辆数为360030001250-=，∴租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金为x (3000)x >元，则租赁公司月收益为30003000(100)(150)505050x x y x --=---⨯整理后得 21622100050x y x =-+-()2140503075050x =--+∴当4050x =时，y 的最大值为30750，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为30750元．点评：月收益=每辆车的租金⨯租出车辆数-车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节．5．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2．。

苏教版数学高一苏教版必修一教案函数模型及其应用(3)

3.4.2函数模型及其应用（3）教学目标：1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.教学重点：了解数据的拟合，感悟函数的应用.教学难点：通过数据拟合建立恰当函数模型.教学方法：讲授法，尝试法．教学过程：一、情境问题某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c（其中a，b，c 为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？二、学生活动完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．三、数学建构1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：（1）根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；（3）根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数y＝kx＋b；对称型选二次函数y＝ax2＋bx＋c；单调型选指数型函数y＝ab x＋c或反比例型函数y＝kx＋a＋b．（4）利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制．四、数学应用例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过一定时间t后的温度是T ，则T－T a＝(T0－T a)，(0.5)t/h其中T a 表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．例2在经济学中，函数f(x)的边际函数M f(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台（x N*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？例3（见情境问题）五、巩固练习1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如图所示：根据图中各点，请你从下列函数中：（1）y＝ax2＋bx＋c；（2）y＝k·a x＋b；（3）y＝kbx a++；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的变化关系；y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝ab t，y＝a log b t（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．简答：（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的变化关系不可能是常函数，因此用y＝at+b，y＝ab t，y＝a log b t中的任一个描述时都应有a 不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.（2）略．六、要点归纳与方法小结处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.七、作业课本P104习题3.4（2）－4．。

【高中数学必修一】高中数学 3.4.2函数模型及其应用(1)课件苏教版必修1

数学应用：
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝2Байду номын сангаас0 ＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．
数学建构：
函数模型：函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
数学应用：
例2．大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变 (设地面温度为22℃)．求：(1) y与x的函数关系式； (2)x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
数学应用：
3．A、B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间 t的函数关系式为．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需 16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？

苏教版高中数学必修一学案函数模型及其应用(1)

第36课时函数模型及其应用（二）【学习目标】1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题； 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力．【课前导学】1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)xy p r =+2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)y p prx p rx =+=+3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式表示．答案：()1xy Np =+【课堂活动】一．建构数学：总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．二．应用数学：例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则1()()2t ha o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c o 热水冲的速容咖啡,放在24c o 的房间中,如果咖啡降到40c o 需要20min ,那么降温到35c o 时,需要多长时间?解：由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即2011()42h =,解之,得10h =,故10124(8824)()2t T -=-⋅ ,当35T =时,代入上式, 得1013524(8824)()2t -=-⋅ ,即 10111()264t = ，两边取对数,用计算器求得25.4t ≈因此,约需要25.4min ,可降温到35c o ．【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数．解：1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯;可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg 3lg 2x >-，∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似x a b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=， 461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元，因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．【解后反思】我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．例4 容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度．解：（1－ba ）10·m ％例 5 在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入与成本之差. （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;（2）利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值? 解：由题意知,[]1,100x ∈,且x N *∈. (1)()P x = ()()R x C x -2300020(5004000)x x x =--+22025004000x x =-+-，()MP x ()()1P x P x =+-2220(1)2500(1)40002025004000x x x x ⎡⎤=-+++---+-⎣⎦248040x =-；(2) ()P x 22025004000x x =-+-212520()741252x =--+ 当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120 (元).因为()248040MP x x =-是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440 (元). 因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.例6合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y= –0.15(x–4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A．B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【解后反思】信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．【注意点】1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数．二次函数．分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．三．理解数学：1．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为14 ．（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）2．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．解：设矩形宽为x m，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．3．一家人（父亲．母亲．孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲．乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32 a （x ∈N*）， g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a 3 （x ∈N*）， g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a 3 ，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 4．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13 的优惠率？答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13 的优惠率．5．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948 ；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．【课后提升】1.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价 11.1% ． 2．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则()()()21121%144%a x a +=++解得 1.32132%x =-=3．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和．解：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600时，未租出的车辆数为360030001250-=，∴租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金为x (3000)x >元，则租赁公司月收益为30003000(100)(150)505050x x y x --=---⨯整理后得 21622100050x y x =-+-()2140503075050x =--+∴当4050x =时，y 的最大值为30750，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为30750元．点评：月收益=每辆车的租金⨯租出车辆数-车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节．5．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2．。

年高中数学苏教版必修一3.4.2《函数模型及其应用》ppt教学课件(1)

实际问题建立数学模型解出模型结果解释实际问题
作业：
P100练习1，2，3．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
数学建构：
数学应用题的一般求解程序：
(1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论； (4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．
小结：
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网

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