九年级数学正切和余切人教版知识精讲

初三数学正切和余切人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 正切和余切【例题分析】一. 填空：19035.tan 若中，，，，则∆A BC C AC AB B ∠=︒===分析：每一个锐角三角函数都可用两条边的比表示，那么要在已知中寻求所需的两条边，为了使解题正确，有必要先画草图，便于问题的分析。

A3 5C 4 B解： ∆∆ABC Rt C AC AB 为，且，∠=︒==9035∴=-=-=根据勾股定理，BC AB AC 2222534∴==tan B AC BC 3429035.sin cot 在中，，，则Rt ABC C A A ∆∠=︒==分析：本题类似第一题，但已知的是两边间的关系，也可以先求出第三边，再根据三角函数定义，求出某个锐角的4个三角函数值，也有必要画草图，帮助分析。

B3k 5kC 4k A解： sin A BC k AB k ===3535，设，由勾股定理，得：AC AB BC k k k =-=-=2222534()()∴===cot A AC BC k k 4343334302.tan tan 已知，则锐角A A A -+==分析：把看作未知数，便是关于的二次方程。

注tan tan tan tan A A A A 34302-+=意分析二次方程的两个解是否都适合，不要多解或漏解。

解：原方程左边分解因式，化为： (tan )(tan )3130A A --=∴==tan tan A A 333或 ∴∠=︒∠=︒A A 3060或412102.|cos |(tan )在中，若，则度∆A BC A B C -+-=∠=分析：两个非负数的和为0，则这两个数必同时为0，进一步求出cosA 和tanB 的值，再进而求出∠A 与∠B 的度数，根据三角形内角和是180°，从而求出∠C 的度数。

解：由题意，12010-=-=cos tan A B∴==cos tan A B 121∠=︒∠=︒A B 6045∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒C A B 1801806045755. 等腰三角形的两边分别为3cm 和6cm ，则它底角的余切值是_________。

分析：借助画图形来帮助思考，首先要考虑哪个长度的边可做腰，哪条做底，由于三角形两边之和大于第三边，而3＋3＝6，所以3cm 长的边只能做底6cm 长的边做腰，如图所示。

AB D C解：如图，中，，∆A BC AB AC cm BC cm ===63 过作，垂足为A AD BC D ⊥∴==D BC BD BC cm 为中点，1232AB cm =6∴=-=-=AD AB BD 22226323152()∴===tan B BD AD 3231521515二. 计算题：求下列各式的值。

133045245260.tan cot tan sin ︒+︒-︒+︒ 解：原式=⨯+-⨯+⨯333121232=-231说明：涉及到特殊角三角函数值的计算问题，只要把特殊角的三角函数值代入即可，但注意不要记混。

2602452565360210802222.tan cos sin sin cot tan tan ︒-︒+︒+︒-︒+︒︒解：原式=-⨯+︒+︒-⨯+︒︒()sin cos ()tan cot 32222525333210102222 =-+-+32112=3说明：当所给的角是非特殊角时，要灵活运用同角三角函数关系进行化简，其中要记住两个“1”，即sin cos tan cot 2211αααα+==，。

3360123045460245302.sin cos cot cos sin tan ︒-︒︒︒+︒︒解：原式=⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯33212321412222332() =-+3234133 =-⋅+634333=--()()63338=-21938说明：本题要特别注意计算方面的问题，比如繁分式的化简及分母有理化。

44347434347.sin cos cot sin sin ︒︒+︒︒︒解：原式=︒⋅︒+︒︒︒︒sin sin cos sin sin cos 434343434343=︒+︒sin cos 224343 =1说明：互余角的三角函数的关系，是互余的两个sin cos()tan cot()αααα=︒-=︒-9090角的函数互相转化的途径，所以在解题时注意观察角与角之间的相互关系，是十分重要的。

另外，利用把三角函数统一于和，便于约分化简。

cot cos sin sin cos ααααα=三. 化简下列各式1210902.tan tan ()ααα-+︒<<︒ 解：原式=-=-(tan )|tan |αα112当时，，即4590451︒≤<︒≥︒≥αααtan tan tan ∴=-原式tan α1当时，，即045451︒<<︒<︒<αααtan tan tan ∴=-原式1tan α综上所述，tan tan tan ()tan ()221145901045αααααα-+=-︒≤<︒-︒<<︒⎧⎨⎩说明：化简形如的式子时，应考虑首先转化为形如的式子。

m a 222525222.tan cot ︒+︒-=︒-︒︒+︒tan tan cot cot 22252252525 =︒-︒(tan cot )25252 =︒-︒|tan cot |2525=︒-︒cot tan 2525说明：公式tan αcot α＝1是常数向三角函数或三角函数向常数转化的工具，要掌握这种变形。

四. 解答题：1. 在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，平行四边形ABCD 的周长为16cm ，面积为9cm 2，AD ＝6cm ，求cotB 的值。

分析：如下图所示，要确定cotB 的值，必须先求出其邻边BE 和对边AE 。

在已知中给出平行四边形的面积，在知BC 的前提下，可以求高AE ，而BC 、AB 可以通过已知求解。

A DB E C解： ABCD AD BC cm 为平行四边形，∴==6 平行四边形的周长为ABCD cm 16∴=-=-⨯=AB 周长22162622AD cm ()AE BC E S 9cm ABCD 2⊥=于，平行四边形 ∴=⋅===999632AE BC AE BC ， 在中，Rt ABE BE AB AE ∆=-=-=222223272()cot B BE AE ==⨯=7223732. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ＝2，BC ＝6，梯形的高AE ＝2，AB ＝DC ，求tanB 。

分析：此题只需求出BE 即可。

解：过D 作DF ⊥BC 于FAE BC E AEB DFB ⊥∴∠=∠=︒于，90 ∴AE DF AD BC ////，又 ∴====AE DF EF AD 22， AB CD B C =∴∠=∠， ∠=∠=AEB DFC AB DC ，∴≅∆∆ABE DCF∴==-=BE FC BC EF22 ∴===tan B AE BE 221315148412.tan sin 在中，，，。

（）求的值。

（）求的值。

∆A ∆BC AB BC S C A ABC ===分析：为了求tanC 、sinA 的值，就要分别构造出以∠C 、∠A 为内角的直角三角形，构造直角三角形是利用锐角三角函数解题的基本手段。

则2BC AE S ABC ⋅=∆∴⨯⨯=∴=12148412AE AE则BE AB AE =-=-=222215129 ∴=-=-=CE BC BE 1495∴==tan C AE CE 125（）由（）知，21512CE AE ==∴=+=+=AC AE CE 222212513 过C 点作CD ⊥AB 于D由12⨯⨯=AB CD S ABC ∆得，121584565⨯⋅=∴=CD CD∴===sin A CD AC 5651356654. ΔABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，ΔABD 中，∠ABD ＝90°，∠DAB ＝45°，如图所示，求tan15°的值和sin75°的值。

分析：易知∠DAC ＝75°，若求sin75°的值只需作出含75°角的直角三角形，再由边的比求出，若边的长度是未知数，就可设某边长为1，再加以计算，这是因为三角函数值是边与边的比值，而与边的长度无关。

设，是矩形BC ECBF =1∴==EF BC 1在中，，∆A BC C BAC ∠=︒∠=︒9030 ∴=AB 2又在中，， Rt ABD ABD DAB ∆∠=︒∠=︒9045 ∴==BD AB 2又和是等角的余角 ∠∠BDF BAC ∴∠=∠=︒BDF BAC 30 ∴=BF 1DF BD BF =-=-=222213 ∴=+=+DE DF FE 31AC AB BC =-=-=222213又， EC BF E AC EC ==∴=-=-131A AD AB BD =+=+=224422 ∴︒=∠==-+=-tan tan 15313123ADE AEDEsin sin 753122624︒=∠==+=+DAE DE DA【模拟试题】一. 填空：1. 若090︒<<︒A ，且cot()cot 905︒-==A A ，则2. 若tan tan 601︒=α，α为锐角，则sin α=________3. tan tan tan tan tan 1020457080︒︒︒︒︒=4. 化简tan tan 2404404︒-︒+=5. 若三角形三边长的比为5:12:13，则此三角形最小内角的余切值为_________二. 选择题：1. 下列等式中，错误的是（ ） A. sin 'sin '32732100︒-︒< B. cos cos '414110︒-︒> C. tan tan 47460︒-︒> D. cot cot 80700︒-︒>2. 已知cot .α=16，那么锐角α的取值范围是（ ） A. 3090︒<<︒α B. 030︒<<︒α C. 6090︒<<︒α D. 3045︒<<︒α3. 若23202sin sin αα+-=，则sin α的值是（ ）A. -2B. +12C. -212或 D. -124. 在∆ABC 中，tan A B+2等于（ ）A. 1B. cot A B +2C. cot C2D. tan C 25. 下列说法正确的是（ ） A. tan tan tan 306090︒+︒=︒B. 所有的锐角三角函数都是正数C. 在Rt ABC ∆中，tan sin cos A A A ⋅=D. 所有锐角三角函数值都不大于1三. 计算 1.24560603045sin sin tan sin cot ︒-︒︒+︒︒2. 260124530sin tan cot ︒+︒+︒3. 2603303036022sin tan cos cot ︒-︒+︒-︒4. (.tan )(tan )05752152020︒⋅︒四. 如图，在∆ABC 中，∠=︒=C a b 903，:，求cot cot A B 、的值。