锐角三角函数正切教学课件
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《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)
∵ ∠C=90°，∠A=45°∴ BC=AC=2
由勾股定理得AB=
+ =2 ∴cos A=
=
=
变式2-2 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
在 △ 中，∵ =
∴
，
=
A．
B．
C．
D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，∴AO= AB 2 + BO2 = 42 + 32 =5，
B
AB 4
= .故选C.
AO 5
∴sinα =
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变
B．缩小为原来的
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
′′
与
’
′′
01
锐角三角函数-正弦
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
即 sin A=
∠所对的边
斜边
=
B
斜边
c
a 对边
∠所邻的边
斜边
B
=
斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
24.1锐角的三角函数(正切定义)PPT课件
乘以“A”. (0°<A<90°) 2，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的 符号“∠” . 如果用三个字母表示角，则角的 符号不能省略
▪3,tanA没有单位，在Rt△中,它表示一个比值
表示锐角A的对边和邻边的比。并且tanA随A
的增大而增大。
2021/3/12
7
i=
形式)
(坡度通常写作h:l 的
8080
8080
则第一个坡 。面较陡
x 20 80 100
我们只要 30比 与2较 0的大小就.可以了 80 100
2021/3/12
3
• 如图所示:
B B1 B2
A
C C 1 C2
在锐角A一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，
垂足为C，得到RtABC; 再任取一点B1,自点B1向
另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个RtAB1C1
坡面与h水平面的夹角叫做坡角，记 作α，于l 是有
i= =
h
l
tan
显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2021/3/12
8
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.
B 解：
A
tanA= BC = AC
3 4
C
tanB= AC BC
=
4 3
2021/3/12
9
练一练
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，tanA的值（C ）
A.扩大100倍
B.缩小
C.不变
D.不能确定
2021/3/12
10
• 2.在Rt⊿ABC中，∠C=90°,BC=12
㎝,AB=20㎝,求tanA和tanB的值?
▪3,tanA没有单位，在Rt△中,它表示一个比值
表示锐角A的对边和邻边的比。并且tanA随A
的增大而增大。
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7
i=
形式)
(坡度通常写作h:l 的
8080
8080
则第一个坡 。面较陡
x 20 80 100
我们只要 30比 与2较 0的大小就.可以了 80 100
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3
• 如图所示:
B B1 B2
A
C C 1 C2
在锐角A一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，
垂足为C，得到RtABC; 再任取一点B1,自点B1向
另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个RtAB1C1
坡面与h水平面的夹角叫做坡角，记 作α，于l 是有
i= =
h
l
tan
显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
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8
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.
B 解：
A
tanA= BC = AC
3 4
C
tanB= AC BC
=
4 3
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9
练一练
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，tanA的值（C ）
A.扩大100倍
B.缩小
C.不变
D.不能确定
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• 2.在Rt⊿ABC中，∠C=90°,BC=12
㎝,AB=20㎝,求tanA和tanB的值?
【锐角的三角函数——正切】PPT课件
8．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中 AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，上底宽 是3 m，路基高是4 m，则路基的下底宽是( D ) A．7 m B．9 m C．12 m D．15 m
9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10， 4
BC＝12，则tan B＝__3______.
【点拨】本题易忽略求正切值的前提是应将 ∠B放在一个直角三角形中．
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可修改编辑
( 5)2＝10，AC2＝( 10)2＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.
由勾股定理的逆定理可得△ ABC 为直角三角形，且 ∠ABC＝90°. ∴在 Rt△ ABC 中，tan∠BAC＝ABBC＝1. 【答案】B
5．【2019·广州】如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面 的高度 BC 为 30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 tan ∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离 AC 为( A ) A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
【∴答ta案n∠】EADC＝DEFF＝3x＋x 32x＝29.
7．如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A. 关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下 列叙述正确的是( B ) A．tan A的值越大，梯子越缓 B．tan A的值越大，梯子越陡 C．随着tan A的值的增大，梯子先变缓后变陡 D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b，c满足 (2b)2＝4(c－a)(c＋a)，且5a－3c＝0，求tan A＋ tan B的值． 解：∵(2b)2＝4(c－a)(c＋a)，∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. ∵5a－3c＝0，∴5a＝3c. 设 a＝3k(k≠0)，则 c＝5k.∴b＝4k. ∴tan A＋tan B＝34＋43＝2152.
锐角三角函数正切优质课一等奖课件
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
B
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
A
C
实验结论应用
如图，比较梯子AB和EF哪个更陡？
闯关题：第三级
如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 高度AC的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防 洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，
求增加的宽度BD的长？
驶向胜利 的彼岸
12 m
三角函数的由来
∠A的对边
a
tanA=
=
∠A的邻边
b
c
a
b
16世纪，德国数学家雷提库斯把锐角三角函 数定义为直角三角形的边长之比，并采用了六个 函数（正切、正弦、余弦、余切、正割、余割）。 三角函数在建筑，航海及天文等方面测量、计算 中有着重要的作用.
复习回顾
勾股定理
直 角 三 角 形
第一章 解直角三角形
锐角三角函数
第1课时 B
A
C
1.通过生活中梯子倾斜的引例，经历探索直角三 角形中边角关系的过程.理解正切的意义，并会用正 切值来判断梯子或斜坡的陡与缓.
2.会用正切表示直角三角形中两直角边的比，并 能进行简单的计算.
B
A
C
数学实验室
实验工具：课本、两把直尺（一长一短）
AC AC1 AC2
证明：∵∠A=∠A ∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴ Rt△ACB ∽ Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
实践出真知
B
请思考： 梯子在上升变“陡” 的过程中，哪些量发生了变化？
A
C
实验结论应用
如图，比较梯子AB和EF哪个更陡？
闯关题：第三级
如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 高度AC的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防 洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，
求增加的宽度BD的长？
驶向胜利 的彼岸
12 m
三角函数的由来
∠A的对边
a
tanA=
=
∠A的邻边
b
c
a
b
16世纪，德国数学家雷提库斯把锐角三角函 数定义为直角三角形的边长之比，并采用了六个 函数（正切、正弦、余弦、余切、正割、余割）。 三角函数在建筑，航海及天文等方面测量、计算 中有着重要的作用.
复习回顾
勾股定理
直 角 三 角 形
第一章 解直角三角形
锐角三角函数
第1课时 B
A
C
1.通过生活中梯子倾斜的引例，经历探索直角三 角形中边角关系的过程.理解正切的意义，并会用正 切值来判断梯子或斜坡的陡与缓.
2.会用正切表示直角三角形中两直角边的比，并 能进行简单的计算.
B
A
C
数学实验室
实验工具：课本、两把直尺（一长一短）
AC AC1 AC2
证明：∵∠A=∠A ∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴ Rt△ACB ∽ Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
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目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
锐角的三角函数-正切.ppt
tanA= ∠A的对边 BC a
∠A的邻边 AC b
说明：
1. tanA是一个完整的符 号，不表示tan乘以∠A。
∠B的正切 怎么表示？
2.它表示∠A的正切，记 号里习惯省去角的符号 ∠A的对边a ∠。
∠A的邻边b
3. tanA没有单位，它表 示一个比值。
4.初中阶段仅研究直角 三角形中锐角的正切。
来自身边的数学
怎样描述山坡陡的程度呢？
看一看 说一说
有两个直角三角形，直角边AC与DF表示水平长度， BC与EF表示铅直高度，AB与DE表示两个不同的坡面， 坡面AB与DE哪个更陡？你是怎么判断的？
20 100
30 （1）
100
30 80
30 （2）
100
30 80
40 （3） 100
感性到理性
3. 如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，CD 为斜边上的个高，
BC=3，AC=4， ∠BCD= ，则tan
的值是（ A ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
4
3
5
5
4.在Rt∆ABC中，∠C=90°，AB=15,tan A 3 , 4
求BC的长。
5. 如图,某一大坝的横截面是四边形ABCD，其 中,AB//CD，坝顶宽CD=3m，坝高6m，迎水坡BC 的坡度i1=1:2, 背水坡AD的坡度i2=1:1,求斜坡 AD 的坡角和坝底宽AB.
DC
A
B
谈谈你的收获
谢 谢 ！
132 52 12
乙梯中,tan 6 3 .
84
∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.
试试身手
1、如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°， AC=4,BC=3,求tanA和tanB.
26.1 锐角三角函数 - 第2课时课件(共21张PPT)
例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5，BC=12.求sinA，cosA，tanA的值.
归纳
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见，今后将（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α.
随堂练习
1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长是______．2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ,cosA=_____ ．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____．
6
4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
解：设正方形ABCD的边长为4x，由勾股定理可知，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.∴sin∠ECM= = = .
归纳
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见，今后将（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α.
随堂练习
1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长是______．2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ,cosA=_____ ．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____．
6
4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
解：设正方形ABCD的边长为4x，由勾股定理可知，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.∴sin∠ECM= = = .
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a c b c
a b
回味
无穷
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三 角形)。
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关，而与直角三角形的边长无关。
3 cos 30°= 2
2 sin 45°= 2 2 cos 45°= 2
3 sin 60°= 2 1 cos 60°= 2
想一想
比一比
当直角三角形的一个锐 角的大小确定时，其对边 与邻边比值也是惟一确定 的吗？
问：
B’C’ BC ＝ A’C’ AC 有什么关系？
AC BC 所以 ＝ B’C’ A’C’
B
tan 45°= 1 ?
tan 60°=
?3
思考：锐角A的正切值可以
等于1吗？为什么？
A
┌ C
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都 有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、 正切叫做∠A的锐角三角函数。
特殊角的三角函数值
1 2
2 2 2 2
1
3 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关。 特殊角的正弦、余弦函数值
1 sin 30°= 2
15 3、已知∠A为锐角，sinA＝ ，求cosA、tanA的值。 17
随堂练习
八仙过海,尽显才能
试一试：
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B 的对边、邻边。 B D (1) tanA =
(BC )
= CD (AD) AC
A
C
(2) tanB=
(AC )
BC
= CD ( BD)
课后作业
课时作业本 P76—P83
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
中考语录
中考是一场跳高比赛，取胜关 键在于你起跳时对大地用力多少!
结束寄语
业精于勤而荒于嬉
试一试：
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时 扩大100倍,tanA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
B
A
┌ C
小结
回顾
及时总结经验，要养成积累 方法和经验的良好习惯！
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
B’C’ BC ＝ 即 A’C’ AC
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比 一个角的正切 表示定值、比 叫做∠A的 正切，记作 tanA。
值、正值。
Hale Waihona Puke 3 tan30°= ? 3
1 2
3 2 3 3
3
1、 你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值 的关系吗? 2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正 切值的关系吗?
应用举例
1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。
① a=9 b=12
② a=9 b=12
2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函 数值。