锐角三角函数正切最新
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
锐角三角函数sin cos tan
锐角三角函数sin cos tan
我们要讨论锐角三角函数，包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
首先，我们需要理解这些函数的基本定义和性质。
锐角三角函数是定义在锐角上的函数，这些函数与三角形的边和角有关。
1. 正弦（sin）: 正弦函数是定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
2. 余弦（cos）: 余弦函数是定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。
3. 正切（tan）: 正切函数是定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。
这些函数有一些重要的性质，例如：
1. 它们的值都在-1到1之间，这是因为在一个锐角三角形中，对边和邻边
的长度永远不会超过斜边的长度。
2. 正弦、余弦和正切函数在锐角范围内是单调的，这意味着随着角度的增加，它们的值也会增加。
3. 正弦和余弦函数在45度时相等（sin(45°) = cos(45°)），这是因为在一
个等腰直角三角形中，对边和邻边的长度是相等的。
4. 正切函数是无界的，这意味着随着角度的增加，正切函数的值可以无限增加或无限减少。
这些性质对于理解锐角三角函数非常重要，它们可以帮助我们解决各种与三角学相关的问题。
2023 数学浙教版新中考 考点29锐角三角函数(解析版)
考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图324．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==， 故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动， 延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动， 当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合， 当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
《锐角三角函数----正切》课件
直角三角形的边角关系
我们从梯子的倾斜程度来进入
锐角三角函数之正切
温馨寄语：
• 锐角三角函数是描述直角三角形中边与 角的关系，它是一个变量之间重要的函 数关系。它既新奇，又富有魅力，同学 们可要与它建立好感情哟！
有的放矢 1
看看谁的本领大
大家请看这幢高楼：
直挂云帆 济沧海
你猜一猜：这幢高楼有多高?
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角 形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等.
独立
P6 习题1.1 1,2,3题 作业
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,求tanA和tanB.
(
)(
)(
.
)
A
┌ DB
7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanB的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得?
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
驶向胜利 的彼岸
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角 （注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号；
源于生活的数学：
我们从梯子的倾斜程度 来说起吧！
梯子是我们日常生活中常 见的物体
那你能比较下这两个梯子 哪个更陡吗？你有何办法？
直挂云帆 济沧海
想一想 4
生活问题数学化
直挂云帆 济沧海
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判
最新锐角三角函数讲义
一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。
二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。
（2）求sinA ，cosA 的值。
（3）求的值。
（4）比较sinA 与cosB 的大小。
（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。
例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。
求sin ∠ECM 的值。
CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。
锐角三角函数(正切).1锐角三角函数(正切)
回味
无穷
定义中应该注意的几个问题:
1、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数 形结合，构造直角三角形)。 2、tanA是一个比值（数值；直角边之比.注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位） 3、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形 的边长无关。 4、tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切, 习惯省去“∠”号； 5、锐角相等,则正切值相等；两锐角的正切值 相等,则这两个锐角相等.
2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边 和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 3.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA = tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
A
B
┌ C
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边 长无关。
角越大值越大
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？
A
┌ C
可以大于1吗？ 可以小于1吗？能无限的小吗
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定 的值与它对应，所以把锐角A的正切叫做∠A的正切函 数。
当堂练习
八仙过海,尽显才能
1.鉴宝专家——是对是错：
BC (错). (1).如图 (1)tan A AC AC (错). (2).如图 (2)tan A BC BC (错). (3).如图 (2)tan A AB 10 (对). (4).如图 (2) tan B 7
§26.1 ห้องสมุดไป่ตู้角三角函数（1）
——正切函数
• 1、理解并掌握正切的定义。 • 2、掌握计算一个锐角的正切值的方法，会 在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 • 3、熟记30°45°60°的正切值以及值相对 应的角度。 • 4、体会数形结合的数学思想
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锐角三角函数
7.1
B
正切
A
C
源于生活的数学
问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行
驶的过程中免不了爬坡． 如下图，哪个台阶更陡？
问题2：哪个台阶最陡？ 你是如何判断的？
①
②
③
④
⑤
思考与探索：
在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂 线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向 另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……
A
4
C
转化思想
相等的角的正切值相等
基础题
巩固题
提高题
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的 一个定义： 对边a与邻边b的比叫做∠A的正 切,记作tanA= a
b
用定义求正切值（数形结合） 两种思想： 转化思想
三个结论：
①如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那 么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 ②互余两个锐角的正切值互为倒数
b
∠A的 对边a
∠A的邻边
请你写出∠B的正切.
A ∠A的 邻边b C 结论：互余的两锐角的正切值互为倒数
解决问题：
问题2：哪个台阶最陡？你是如何判断的？
①
②
③
倾斜角的正切值越大，台阶越陡
火眼金睛
a 1.△ABC中，tanA= b
一. 判断真假：
(错 )
2.在Rt△ABC中,如果各边长度同时扩大2倍,则tanA的 值也扩大2倍 （ 错）
AC 3．如图 tan A BC
( 错 ).
4．如图 tan A 0.7m
( 错 ).
怎样计算一个锐角的正切值：
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90◦， AC＝4，AB＝5. ①求tanA和tanB.
5
D
B
②过点C作CD AB，垂足为D， 求∠ACD的正切值.
1、找直角三角形 2、找相等角
B
B1 B2 A C2 C1 C
B1 B2 A C2
B
（1）Rt△ABC ，Rt△AB1C1 和
Rt△AC2B2有什么关系?
B1C1 B2C2 （2）BC ， 和 有什么关系? AC AC1 AC2
C1
C
证明：∵∠A=∠A
∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2
∴ Rt△ACB ∽ Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
3 ，如何求tan30°？
BC B1C1 B 2C 2 AC AC 1 AC 2
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么 这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
构建新知
在Rt△ABC中,∠C=90◦,那么∠A的
B
对边a与邻边b的比叫做∠A的正切
（tangent). tanA=
记作:tanA
∠A的对边
=
a
13
C 1
A
B
巩固题
2.如图，在4×4的方格纸中，则
tan ＝
2
.
3.如图， AB是半圆的直径AB=10，弦AD=8， 3 tanC=_____. 4
8 10 1.解决有关正切问题要构造直角三角形。 2.转化为求相等角的正切值。
提高题
4.如图，在等边三角形ABC中,求tanA．
C
A
D
B
思考：由上等
• 锐角的正切值描述了直角三角形中边 与角的关系, 既新奇,又富有魅力,你 可要与它建立好感情噢！
问题2：哪个台阶最陡？ 你是如何判断的？
①
②
问题2：哪个台阶最陡？ 你是如何判断的？
②
③
基础题
1.根据下列图中所给条件分别求出下列图 中∠A、∠B的正切值。
A C 5 B 13