2015北京市朝阳区中考一模数学试题及答案
2015-2016北京各区初三一模试题分类汇编----圆
2015-2016北京各区初三一模试题分类汇编----圆东城区25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO延长线于点E ，连接PB ，∠EDB =∠EPB ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB =3，DB =4，求DE 的长．西城区24．如图，在ABC V 中，AB 是O e 的直径，AC 与O e 交于点D ．点E 在»BD上，连接DE ，AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠．（1）求证：CF AB ⊥；（2）若4CD =，CB =4cos 5ACF ∠=，求EF 的长．朝阳区24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ； (2) 若DC=6，3tan 4P ∠=，求BC 的长．ABP24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：是⊙O 的切线； （2）若，求的长.丰台区24. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：12CBF CAB∠=∠；（2）连接BD ，AE 交于点H ，若AB = 5，1tan 2CBF ∠=，求BH 的长石景山区25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ． （1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF =EB 的长．BAD ∠CD 3AE DE ==AF25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CB D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，2tan 3CDA ∠=，求BE 的长．通州区26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ． （1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD =ABC=60︒，求OC 的长．怀柔区24.如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CF 与OB 交于点E ，过点F ，A 分别作⊙O 的切线交于点H ，且HF 与AB 的延长线交于点D ． （1）求证：DF=DE;（2）若tan ∠OCE ＝12，⊙O 的半径为4，求AH 的长．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于D ，过C作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若∠EAB =30°，CF =2，求AG 的长．房山区24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=30°，点D 为弧AB 的中点，AC=求CD 的长.门头沟区24．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 为⊙O 的切线．（1）求证：DE ⊥BC ； （2）如果DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．BA。
2015北京中考一模数学分类——代几综合
2015北京中考一模数学分类—代几综合1.（2015海淀一模29）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--． （1）①点()3,1的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．xy–6–5–4–3–2–1123456–6–5–4–3–2–1123456O2（2015西城一模29）给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________； （2）如果直线y =x 和双曲线ky x=之间的距离为2，那么k = ；（可在图1中进 行研究）（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．3（2015东城一模29）定义符号{}m i n a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}m i n 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.44.（2015朝阳一模29）定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的―等高点‖，称此时MP +MQ 为PQ 的―等高距离‖． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的―等高点‖是 ；②若M （t ，0）为PQ 的―等高点‖，求PQ 的―等高距离‖的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的―等高点‖在y 轴正半轴上且―等高距离‖最小时，直接写出点Q 的坐标．5（2015丰台一模29）设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为 ； （2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是 ； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值4444123123321213xO yyxlE DCBOA xy87-4765432-76-5-4-6-2-1543-3-32-2-111O6.（2015石景山一模29）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”． 例如,下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标为 ； （2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标为 ．备用图参考答案：1.解：（1）① (3,1)； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分 （3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分2.解：（1）3，13．（每空各1分）…………………………………………………… 2分（2）-1．…………………………………………………………………………… 4分 （3）①如图9，过点O 分别作射线OE 、OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．……………………………………………………………………………… 7分说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线x y 33=下方与直线x y 33-=下方重叠的部分（含边界）） xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234O②34．…………………………………………………………………………8分3.解：（1）∵20x ≥，∴2x -1≥-1. ∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分(2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2,∴()2111x k k -+--≥. ∵2min{2,3}3x x k -+-=-，∴13k --≥. ∴2k -≥. ┉┉5分(3) 37m -≤≤. ┉┉8分4.解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分 ∵P (1，2)， ∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，图9根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分5.（1）4；.…….2分（2）①直线21y x =+记为l ，过点M 作MH l ⊥，垂足为点H ，设l 与,x y 轴的交点分别为,E F ，则1(,0)(0,1)2E F -，．∴52EF =．.…….3分 ∵EOF MHE ∆∆∽∴MH ME OF EF =，即72152MH=．∴755MH =．∴点M 到直线21y x =+的距离为755．.…….4分②135a =±．.…….6分（3）3b =-或374b =．.…….8分 M 3—121H yOxEF y =2x +16解：（1）()1,0D -．…………………………………………………………2分（2）连结,AO AC ，过点A 作AF y ⊥轴于点F ． 则5AC AO ==，3AF =．314532EF AE =∠=︒∴=∴∴在Rt AEB ∆中，由勾股定理32AB =．∴在Rt ABC ∆中，由勾股定理 得，7BC =．∴所求“理想矩形”ABCD 面积为 314AB BC ⨯=．……………………………………………………5分（3）“理想矩形”面积的最大值是5． ………………………………6分()()1,23,2D ---或． ………………………………8分.11。
数学_2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝{a, b, c, d}，集合A＝{a, b}，B＝{b, c}，则∁U(A∪B)等于（）A {b}B {d}C {a, c, d}D {a, b, c}2. 命题p:∀x∈R，都有sinx≤1，则（）A ￢p:∃x0∈R，使得sinx0≥1B ￢p:∃x0∈R，使得sinx0>1C ￢p:∀x0∈R，使得sinx0≥1D ￢p:∀x0∈R，使得sinx0>13. 若抛物线y2=2px，p>0的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为()A √2B 2C 4D 2√24. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A 计算S＝1×2×3×4×5×6的值B 计算S＝1×2×3×4×5的值C 计算S＝1×2×3×4的值 D 计算S＝1×3×5×7的值5. 已知x1=log132，x2=2−12，x3满足(13)x3=log3x3，则（）A x1<x3<x2B x1<x2<x3C x2<x1<x3D x3<x1<x26. 函数f(x)＝2sin(x−π6)cos(x−π6)图象的一条对称轴方程是（）A x=π6 B x=π3C x=5π12D x=2π37. 已知实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A 52B 1C 0D −18. 已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH // DE交CE于H，作MG // AD交BD于G，连结GH．设CM＝x(0< x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 若i 为虚数单位，则1+i 1−i =________．10. 若向量a ，b 满足|a →|＝|b →|＝1，a →,b →的夹角为60∘，则a →⋅a →+a →⋅b →=________．11. 圆C ：(x −2)2+(y −2)2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为________．12. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________，四棱锥侧面中最大侧面的面积是________． 13. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额−800）×20%×(1−30%)（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1−20%)×20%×(1−30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为________元．14. 记x 2−x 1为区间[x 1, x 2]的长度．已知函数y ＝2|x|，x ∈[−2, a](a ≥0)，其值域为[m, n]，则区间[m, n]的长度的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 在△ABC 中，A =π3，cosB =√63，BC ＝6． (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)求△ABC 的面积．16. 某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：直线AB1 // 平面BC1D；(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N∗．(Ⅰ)写出a2，a3，a4的值；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅲ)已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，离心率为√63．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20. 已知函数f(x)＝(x+ax)e x，a∈R．(Ⅰ)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝−1时，求证：f(x)在(0, +∞)上为增函数；(Ⅲ)若f(x)在区间(0, 1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. B5. B6. C7. D8. A9. i10. 32 11. 90∘12. √36,√7413. 由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x 元，则280＝(x −800)×20%×(1−30%) 所以x ＝2800，280014. 315. （1）∵ cosB =√63，B ∈(0, π)，又sin 2B +cos 2B ＝1，解得sinB =√33． 由正弦定理得：AC sinB =BC sinA ，即√33=√32，∴ AC ＝4；（2）在△ABC 中，sinC ＝sin(B +60∘)＝sinBcos60∘+cosBsin60∘=12sinB +√32cosB =12×√33+√32×√63=√3+3√26． ∴ S △ABC =12AC ⋅BCsinC =12×4×6×√3+3√26=2√3+6√2．16. （1）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（2）设事件M 为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a 、b ，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A 、B 、C ，D ，E ，其中a ＝92，b ＝93，A ＝90，B ＝91，B ＝95，D ＝96，E ＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有(aA)、(aB)、(aC)、(aD)、(aE)、(bA)、(bB)、(bC)、(bD)、(bE)，共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有(aA)、(aB)、(bA)、(bB)四种可能， 故P(M)=410=25 17. （1）证明：∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴ CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，∴ CC 1⊥底面ABC ，∵ BD ⊂底面ABC ，∴ CC 1⊥BD ，又底面为等边三角形，D 为线段AC 的中点．∴ BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，如图则O 为B 1C 的中点，∵ D 是AC 的中点，∴ AB 1 // OD ，又OD ⊂平面BC 1D ，OD ⊄平面BC 1D∴ 直线AB 1 // 平面BC 1D ；(Ⅲ)在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在点E ，使CE ⊥DM ，此时E 在线段C 1D 上； 证明如下：过C 作CE ⊥C 1D 交线段C 1D 与E ，由(Ⅰ)可知BD ⊥平面ACC 1A 1，而CE ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE ，由CE ⊥C 1D ，BD ∩C 1D ＝D ，所以CE ⊥平面BC 1D ，DM ⊂平面BC 1D ，所以CE ⊥DM ．18. （1）∵ a 1＝4，a n+1＝S n ，∴ a 2＝S 1＝a 1＝4，a 3＝S 2＝a 1+a 2＝4+4＝8，a 4＝S 3＝a 1+a 2+a 3＝4+4+8＝16；（2）由a n+1＝S n ，得a n ＝S n−1(n ≥2)，两式作差得：a n+1−a n ＝a n ，即a n+1＝2a n (n ≥2)，∴ 数列{a n }从第二项起为公比是2的等比数列，当n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ．∴ a n ={4,n =12n ,n ≥2； (Ⅲ)依题意，b 2＝a 2＝4，b 3＝a 3＝8，则{b 1+d =4b 1+2d =8 ，得{b 1=0d =4， ∴ b n ＝4(n −1)．∴ a n ⋅b n ={0,n =1(n −1)⋅2n+2,n ≥2， 则a n ⋅b n =(n −1)⋅2n+2(n ∈N ∗)，T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n−1b n−1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+...+(n −2)×2n+1+(n −1)×2n+2， 2T n =1×25+2×26+3×27+⋯+(n −2)×2n+2+(n −1)×2n+3， 两式作差得：−T n =24+25+⋯+2n+2−(n −1)×2n+3=24(1−2n+1)1−2−(n −1)×2n+3=−16−(n −2)×2n+3．∴ T n =16+(n −2)×2n+3．19. （I ）由已知可得：{c =2c a =√63a 2=b 2+c 2 ，解得a 2＝6，b 2＝2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1；(II)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)，化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6＝0， ∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2， ∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2,−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky ＝0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6，解得y 32=21+3k 2，x 3＝−3ky 3． ∵ 四边形MF 1NF 2为矩形，∴ F 2M →⋅F 2N →=0，∴ (x 3−2, y 3)⋅(−x 3−2, −y 3)＝0，∴ 4−x 32−y 32=0，∴ 4−2(9k 2+1)1+3k 2=0，解得k =±√33， 故直线方程为y =±√33(x −2)． 20. 函数f(x)＝(x +a x )e x 的定义域为{x|x ≠0}，f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；（1）当a ＝0时，f(x)＝xe x ，f′(x)＝(x +1)e x ，所以f(1)＝e ，f′(1)＝2e ；所以曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y −e ＝2e(x −1)， 即2ex −y −e ＝0；（2）证明：当a ＝−1时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x ，设g(x)＝x 3+x 2−x +1，则g′(x)＝3x 2+2x −1＝(3x −1)(x +1)， 故g(x)在(0, 13)上是减函数，在(13, +∞)上是增函数，所以g(x)≥g(13)=2227>0，所以当x ∈(0, +∞)时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x >0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上为增函数．(Ⅲ)f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；设ℎ(x)＝x3+x2+ax−a，ℎ′(x)＝3x2+2x+a，（1）当a>0时，ℎ′(x)>0恒成立，故ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数；而ℎ(0)＝−a<0，ℎ(1)＝2>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数f(x)在区间(0, 1)上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)＝3x2+2x>0，故ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；又ℎ(0)＝0，故f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；（3）当a<0时，ℎ(x)＝x3+x2+a(x−1)，当x∈(0, 1)时，总有ℎ(x)>0成立，即f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；综上所述，a>0．。
2015年北京市初三数学一模试题分类(几何综合)
2015北京市初三数学一模试题分类（几何综合）【等比变换】西城一模28.△ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AFBE= ．（用含α的表达式表示）丰台一模28．在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G. （1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值； （2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）图1图2图3图1 图2 图3A BC E FQ Q F E C BA P【中点类】延庆一模28. 已知，点P 是△ABC 边AB 上一动点（不与A ，B 重合）分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.【构造等边三角形，找全等】通州一模28．在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，易证BE =EF .（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【旋转+线段的数量关系】朝阳一模28.在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1 图2AC东城一模28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.海淀一模28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；EDC BAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．【旋转+中点类】门头沟一模28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ．（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．DBFE DAB E DAB C C CP AE图1 图2 图3【旋转+互补型】平谷28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ； （3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．图2 图3 图1【旋转+最值】房山一模28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′. ①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？【旋转+蝴蝶型】燕山一模28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．图1 图2 图3图2图3图1 图2 A B HC EDAB H C①求证：BE ⊥AC ； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．【平移对称】石景山28．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'AC 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．【等边三角形+轴对称】怀柔28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.ABCPABCP。
2015年高三一模数学(文)北京市朝阳区试题Word版带解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4一、选择题：（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c【难度】1【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 由题意得：{},,A B a b c =，所以{}()U A B d =故选B（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > 【难度】1【考点】全称量词与存在性量词 【答案】D 【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为：:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x >故选D（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p双曲线222x y -=的右焦点为(2,0) 所以，4p = 故选C（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 【难度】2【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】程序执行过程如下：1,2S t ==，符合条件100S ≤，进入循环体； 122,3S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 236,4S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 6424,5S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 245120,6S t =⨯==，不符合条件100S ≤，跳出循环体；输出120S =；所以该程序是计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值， 故选B （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x << 【难度】2【考点】零点与方程 【答案】A 【解析】 分别作出13log y x =，2x y =，1()3x y =，3log y x =的图象有图可知：110x -<<，201x <<，312x << 所以，123x x x << 故选A（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π6x =B. π3x =C. 5π12x =D. 2π3x = 【难度】2【考点】三角函数的图像与性质 【答案】C 【解析】把选项依次代入函数ππ()2sin()cos()66f x x x=--只有C选项得到的值为1故选C（7）已知实数x，y满足20,20,0,x yx yy t+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t>．若3z x y=+的最大值为5，则z的最小值为（）A．52B．1C．0D．1-【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】作出可行域如下图：由题意可知当z取最大值时，目标函数为：35y x=-+联立235y xy x=⎧⎨=-+⎩得：(1,2)；所以2t=联立22y xy=-⎧⎨=⎩得：(1,2)-，代入目标函数可求得：min1z=-故选D（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作//MH DE交CE于H，作//MG AD交BD于G，连结GH．设CM x=(03)x<<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM-的体积y与变量x变化关系的是（）【难度】3 【考点】函数综合 【答案】A【解析】如图所示：由题意得：CM MH x ==,3DM GM x ==-;11(3)22GMH S GM MH x x ∆=⋅=-231111(3)(3)3326C MGH GMH V S CM x x x x x -∆=⋅=⋅-⋅=-1()(2)2V x x x '=-，所以x(0,2) 2 (2,3)3()f x '+-()f x(0)0f =单增单减(3)0f =故选A 二、填空题：（9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】i【解析】1i (1i)(1+i)21i (1i)(1+i)2ii ++===-- 故答案为i（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ． 【难度】1【考点】数量积的应用 【答案】32【解析】2()cos ,a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅<>1311122=+⨯⨯= 故答案为32（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 【难度】2【考点】直线与圆的位置关系 【答案】90 【解析】由题意得：令0y =，解得：0x =或4x =即(0,0)A ，(4,0)B ，4AB =，又CA CB ==所以，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90BCA ∠= 故答案为90（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】36；74【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，直观图如下：其中底面是边长为1的正方形，高为32 PH=其体积为13311326V=⨯⨯⨯=;由直观图可知，四个侧面分别为：,,,PAB PBC PCD PDA∆∆∆∆这四个三角形均可看成以P为顶点的三角形，显然，PBC∆的高PE是四个三角形最长的高，所以2113711222PBCS BC PE∆⎛⎫==⨯+=⎪⎪⎝⎭37（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． 【难度】3 【考点】函数综合 【答案】2800 【解析】由题意得：设此人应得稿费(扣税前．．．)为x 元 先假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（1），即4000x ≤ 则：280(800)20%(130%)x =-⨯⨯-， 解得：28004000x =≤，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（2），即4000x > 则：280(120%)20%(130%)x =⋅-⨯⨯-， 解得：25004000x =≤，不符合条件（2） 故答案为2800（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ． 【难度】3【考点】函数的定义域与值域 【答案】3 【解析】由题意得，函数2xy =的图像如图所示：当01a ≤≤时，函数2xy =的值域为[1,4]，此时[],m n 的长度为3；当1a >时，函数2xy =的值域为[1,()]f a ，此时[],m n 的长度大于3；故答案为3 三、解答题：（15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 【难度】3【考点】解斜三角形 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BC B A =.33=. 所以4AC =.（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin 2B B ==133623+32.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+32=23+62. （16）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分 高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩． 由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人， 从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. （17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C . 所以1CC 底面ABC ． 因为BD 底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BDAC ． 因为1AC CC C ，所以BD平面11ACC A ． （Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ， 所以直线1//AB 平面1BC D ．（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ．又1CE C D ⊥，1BDC D D ，所以CE 平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ．（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以316(2)2n n T n +=+-⨯.（19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+． 因为121224(4)13k y y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k ．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=． 所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． （20）已知函数()()e xa f x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】 解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --.（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数. 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ， 使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立， 故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.。
2015年朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学〔理工类〕2015．4〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.假设B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.假设点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，假设π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如下图的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.假设383a a +=，31S =,则通项公式n a =______. 11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . 〔用数字作答〕13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．假设z 的最大值为5，则实数t的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．〔本小题总分值13分〕已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . 〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔Ⅱ〕设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值．如下图，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．〔Ⅰ〕求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；〔Ⅱ〕现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.〔Ⅰ〕求证:BF //平面CDE ；〔Ⅱ〕求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？假设存在，求出EM EC的值；假设不存在，说明理由.0.0375 0.0125O0.025 A BF E D C已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．〔Ⅰ〕 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.〔本小题总分值14分〕已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕求四边形AMBN 面积的最大值．假设数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． 〔Ⅰ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； 〔Ⅱ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)假设2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++〔其中常数,,p q r ∈Z 〕？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？假设存在，求出)(n g ；假设不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案〔理工类〕 2015．4一、选择题〔总分值40分〕〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题〔总分值80分〕 15.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时〔k ∈Z 〕，即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分〔Ⅱ〕由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++〔k ∈Z 〕，即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分〔Ⅱ〕因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD =AD ，CDAD ，CD 平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CDED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos|cos,|DAθ=<>==n. ……………….9分所以平面BDF与平面CDE.(Ⅲ)假设M与C重合，则平面()BDM C的一个法向量(0,0,1)m，由〔Ⅱ〕知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则10m n=，则此时平面BDF与平面BDM不垂直. 假设M与C不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)Mλλ-，设平面BDM的一个法向量000(,,)x y z=m，则DBDM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm，即00002(1)0x yy zλλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x=，则0021,1y zλλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m，假设平面BDF⊥平面BDM等价于0⋅=m n，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈.所以，EC上存在点M使平面BDF⊥平面BDM，且12EMEC=.……………….14分18. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x的定义域为{}0x x>.当1a=-时，2()ln2xf x x=-+.211(1)(1)()x x xf x xx x x-+-'=-+==.由(1)(1)x xx+->0x解得1x>；由(1)(1)x xx+-<0x解得01x<<.所以()f x在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x=时,函数()f x取得最小值1(1)2f=. ……………….5分〔Ⅱ〕(1)()()x x a f x x--'=,0x >. 〔1〕当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. 〔ⅰ〕当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；〔ⅱ〕当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；〔ⅲ〕当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.〔ⅳ〕当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分〔Ⅱ〕当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+，所以||AB==． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+====< 当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为 …………………………14分20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕假设11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 〔Ⅱ〕因为数列{}n a 的每项都是自然数，假设2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；假设12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 〔Ⅲ〕假设2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k k N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2mk kN 时，22122m k =，所以，22m b k =. 综上，2222,21(2,2(mk k m k k b k mk kN )N )，即当0m且m 为奇数时，212mm b ；当0m 且m 为偶数时，22mm b . 假设数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(nN ). ………13分。
2015北京各城区数学中考一模-几何综合题(24题)汇编
ABCEDFGH CHFG EPBDA2015年北京各城区中考一模数学几何综合题汇总1、（门头沟一模）24.已知：在△ABC 中，∠ABC =∠ACB =α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E .（1）如图12-1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；____ _ （2）如图12-2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；（3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a << ）2、（丰台一模）24.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，（1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。
3、（平谷一模）24．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．B图12-1B图12-2图12-3①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_________________； ②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_____________．【参考：1cos sin 22=+αα】A B CD EF 图1B CDE 图2ADE 图3AMN4、（顺义一模）24．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个 与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下 面问题： 如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠． 求证：CD=AB ．5、（石景山一模）24．在矩形ABCD 中，AD =12，AB =8，点F 是AD 边上一点，过点F 作∠AFE =∠DFC ，交射线A B 于点E ，交射线C B 于点G ． （1）若FG =_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C 为顶点的四边形是平行四边形．QNMDCBA备用图6、（海淀一模）24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<< ，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α= 时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α= 时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m << ），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．7、（西城一模）24. 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。
数学_2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合 A ＝{1, 2, m 2}，B ＝{1, m}．若B ⊆A ，则m ＝（ ）A 0B 2C 0 或2D 1 或22. 已知点A(1, y 0)(y 0>0)为抛物线 y 2＝2px( p >0)上一点．若点 A 到该抛物线焦点的距离为 3，则y 0＝（ ）A √2B 2C 2√2D 43. 在△ABC 中，若A =π3，cosB =√63，BC =6，则 AC =( )A 4√2B 4C 2√3D 4√334. “∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0成立”是“|a|≤2”的（ ）A 充分必要条件B 必要而不充分条件C 充分而不必要条件D 既不充分也不必要条件5. 某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，a(t )表示时间段[t −1, t)内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填（ ）A t ≤17？B t ≥19？C t ≥18？D t ≤18？6. 设x 1，x 2，x 3均为实数，且 (13)x 1=log 2(x 1+1)，(13)x 2=log 3x 2，(13)x 3=log 2x 3，则( )A x 1<x 3<x 2B x 3<x 2<x 1C x 3<x 1<x 2D x 2<x 1<x 37. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(1, 0)，B(1, 1)，且∠BOP ＝90∘．设OP →=OA →+kOB →(k ∈R)，则|OP →|＝（ ）A 12B √22C √2D 28. 设集合M ＝{(x 0, y 0)|x 02+y 02≤20, x 0∈Z, y 0∈Z}，则M 中元素的个数为（ ）A 61B 65C 69D 84二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. i为虚数单位，计算1−2i1+i=________．10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3+a8=3，S3=1，则通项公式a n=________．11. 在极坐标系中，设ρ>0，0≤θ<2π，曲线ρ＝2与曲线ρsinθ＝2交点的极坐标为________．12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为________（用数字作答）．13. 设z＝3x+y，实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0，若z的最大值为5，则实数t的值为________，此时z的最小值为________．14. 将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n(n∈N∗)次，则第一次挖去的几何体的体积是________；这n次共挖去的所有几何体的体积和是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数f(x)＝cos2x+√3sinxcosx，x∈R．（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）设x＝m(m∈R)是函数y＝f(x)图象的对称轴，求sin4m的值．16. 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80, 100]之间的频率；（2）现从分数在[80, 100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90, 100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．17. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB // CD，AD⊥CD，AB ＝AD=12CD．（1）求证：BF // 平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=alnx +x 22−(a +1)x .(1)若a =−1，求函数f(x)的最小值；(2)当a ≤1时，讨论f(x)零点的个数．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1({a >b >0})的一个焦点为F(2, 0)，离心率为 √63．过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形AMBN 面积的最大值．20. 若数列{a n }中不超过 f(m)的项数恰为b m (m ∈N ∗)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f(m)是{a n }生成{b m }的控制函数．设f(m)＝m 2．（1）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，b 1＝1，求a 1；（2）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，a 1＝b 1，求a 1；（3）若a n ＝2n (n ＝1, 2, 3)，是否存在{b m }生成{a n }的控制函数g(n)＝pn 2+qn +r （其中常数p ，q ，r ∈Z ），使得数列{a n }也是数列{b m }的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理由．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. B4. A5. D6. A7. B8. C9. −12−32i10. n−1311. (2,π2) 12. 7213. 2,−114. 12,1−(12)n15. f(x)＝cos 2x +√3sinxcosx=1+cos2x 2+√3sin2x 2=sin(2x +π6)+12，所以函数的周期为：T=2π2=π．令：π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为：[kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)．设x＝m(m∈R)是函数y＝f(x)图象的对称轴，则：2m+π6=kπ+π2(k∈Z)．解得：m=kπ2+π6，所以：4m＝2kπ+2π3．则：sin4m=√32．16. 由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴ 全班人数为40.125人．∴ 分数在[80, 100]之间的频数为32−4−8−10＝10，∴ 分数在[80, 100]之间的频率为1032=0.3125；由（1）知，分数在[80, 100]之间有10份，分数在[90, 100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P(X＝0)=C63C103=16，P(X＝1)=C41C62C103=12，P(X＝2)=C42C61C103=310，P(X＝3)=C43C103=130，∴ X的分布列为数学期望E(X)＝0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．17. 证明：∵ AF // DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴ AF // 平面CDE，同理：AB // 平面CDE，又AF∩AB＝A∴ 平面ABF // 平面CDE又BF⊂平面ABF，∴ BF // 平面CDE；∵ 正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，∴ CD ⊥平面ADEF ，∵ DE ⊂平面ADEF ，∴ CD ⊥ED ，∵ ADEF 为正方形，∴ AD ⊥DE ，∵ AD ⊥CD ，∴ 以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则设AD ＝1，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，F(1, 0, 1)，C(0, 2, 0)，E(0, 0, 1)， 取平面CDE 的一个法向量DA →=(1, 0, 0)，设平面BDF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{x +y =0x +z =0 ， 取n →=(1, −1, −1)，设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cosθ＝cos <DA →，n →>=√33， ∴ 平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为√33；若M 与C 重合，则平面BDM(C)的一个法向量为m 0→=(0, 0, 1)，由上知平面BDF 的一个法向量为n →=(1, −1, −1)，则m 0→⋅n →=−1≠0，此时平面BDM ⊥平面BDF 不成立； 若M 与C 不重合，设EMEC =λ(0≤λ≤1)，则M(0, 2λ, 1−λ)，设平面BDM 的一个法向量为m →=(a, b, c)，则{a +b =02λb +(1−λ)c =0， 取m →=(1, −1, 2λ1−λ)，∵ 平面BDM ⊥平面BDF ，∴ m →⋅n →=1+1−2λ1−λ=0，∴ λ=12∈[0, 1]，∴ 线段EC 上存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ，EM EC =12．18. 解：(1)当a=−1时，f(x)=−lnx+x22，定义域为(0, +∞)，f′(x)=−1x +x=(x+1)(x−1)x，令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，故当x=1时，函数f(x)取得最小值f(1)=12.(2)f(x)=alnx+x22−(a+1)x的定义域为(0, +∞)，f′(x)=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，故当x=1时，函数f(x)取得最小值f(1)=−a−12；(i)当a=0时，令f(x)=x22−x=0解得x=2，即f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；(ii)当a=−12时，f(1)=0，即f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；(iii)当a<−12时，f(1)>0，故f(x)在(0, +∞)上没有零点；(iv)当−12<a<0时，f(1)<0，且limx→0+f(x)=+∞，limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上有两个零点；②当0<a<1时，f(x)在(a, 1)上单调递减，在(0, a)，(1, +∞)上单调递增，故f(x)极大值=f(a)=alna−12a2−a<0，而limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；③当a=1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，且limx→0+f(x)=−∞，limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上只有一个零点.综上所述，当0≤a≤1或a=−12时，f(x)在(0, +∞)上只有一个零点，当a<−12时，f(x)在(0, +∞)上没有零点，当−12<a <0时，f(x)在(0, +∞)上有两个零点． 19. 解：(1)由已知可得：{ c =2，c a=√63，a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1.(2)当直线l 的斜率不存在时，A(2,√63)，B(2,−√63)， |MN|=2√6，S AMBN =12|MN||AB|=4．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y =k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．点M ，N 到直线l 的距离分别为d 1，d 2．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)， 化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，x 1x 2=12k 2−61+3k 2．|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(12k 21+3k 2)2−4×(12k 2−6)1+3k 2] =2√6(1+k 2)1+3k 2． y 1+y 2=k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2，∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2，−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky =0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6， 解得y 32=21+3k 2，x 3=−3ky 3．S 四边形AMBN =12|AB|(d 1+d 2) =12×2√6(1+k 2)1+3k 2×(33√1+k 233√1+k2) =√6√1+k 2|2kx 3−2y 3|1+3k 2=2√6√1+k 2|−3k 2y 3−y 3|1+3k 2=4√3k 2+31+3k 2=4√1+21+3k 2≤4√3，当k =0时，取得等号；综上可得：四边形AMBN 的面积的最大值为4√3．20. 若b 1＝1，因为数列{a n }单调递增，所以a 1≤12，又所有项都是自然数，所以a 1＝0或1；因为数列{a n }的每项都是自然数，若a 1＝0≤12，则b 1≥1，与a 1＝b 1矛盾；若a 1≥2，则因数列{a n }单调递增，故不存在a n ≤12，即b 1＝0，也与a 1＝b 1矛盾； 当a 1＝1时，因数列{a n }单调递增，故n ≥2时，a n >1，所以b 1＝1，符合条件； 综上，a 1＝1．若a n ＝2n (n ＝1, 2, 3)，则数列{a n }单调递增，显然数列{b n }也单调递增， 由a n ≤m 2，即2n ≤m 2，得n ≤12m 2，所以b m 为不超过12m 2的最大整数， 当m ＝2k −1(k ∈N ∗)时，因为2k 2−2k <12m 2=2k 2−2k +12<2k 2−2k +1，所以b m =2k 2−2k ； 当m ＝2k(k ∈N ∗)时，12m 2=2k 2，所以b m =2k 2， 综上，b m ={2k 2−2k,m =2k −1(k ∈N ∗)2k 2,m =2k(k ∈N ∗)， 即当m >0且m 为奇数时，b m =m 2−12；当m >0且m 为偶数时，b m =m 22．若数列{a n }是数列{b m }的生成数列，且{b m }生成{a n }的控制函数g(n)， 则b m 中不超过 g(n)的项数恰为a n ，即b m 中不超过g(n)的项数恰为2n ， 所以b 2n ≤g(n)<b 2n+1，即2n 2≤pn 2+qn +r <2n 2+2n 对一切正整数n 都成立，即{(p −2)n 2+qn +r ≥0(2−p)n 2+(2−q)n −r >0对一切正整数n 都成立， 故得p ＝2，且{qn +r ≥0(2−q)n −r >0对一切正整数n 都成立，故0≤q ≤2，q ∈Z ， 又常数r ∈Z ，当q ＝0时，0≤r <2n(n ≥1)，所以r ＝0，或r ＝1；当q ＝1时，−n ≤r <n(n ≥1)，所以r ＝0，或r ＝−1；当q ＝2时，−2n ≤r <0(n ≥1)，所以r ＝−2，或r ＝−1；所以g(n)＝2n 2，或2n 2+1，或2n 2+n −1，或2n 2+n ，或2n 2+2n −2，或2n 2+2n −1(n ∈N ∗)．。
2015年北京市朝阳区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c} 2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．24．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x26．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣18．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c}【解答】解：∵A＝{a，b}，B＝{b，c}，∴A∪B＝{a，b，c}，则∁U（A∪B）＝{d}，故选：B．2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1【解答】解：命题p为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1．故选：B．3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．2【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线x2﹣y2＝2即﹣＝1的右焦点为（2，0），由题意可得＝2，解得p＝4．故选：C．4．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，t＝2满足条件S≤100，S＝1×2＝2，t＝3满足条件S≤100，S＝1×2×3＝6，t＝4满足条件S≤100，S＝1×2×3×4＝24，t＝5满足条件S≤100，S＝1×2×3×4×5＝120，t＝6不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120．故程序框图的功能是求S＝1×2×3×4×5的值．故选：B．5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵x3满足＝log3x3，∴x3＞0，∴0，∴x3＞1．又∵x 1＝2＜0，0＜x2＝＜1，∴x1＜x2＜x3．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），令：2x﹣＝kπ+（k∈Z），解得：x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣1【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故t＝2；由解得，x＝﹣1，y＝2；故z的最小值为z＝﹣1×3+2＝﹣1；故选：D．8．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH∥DE交CE于H，作MG∥AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM＝x（0＜x＜3），则HM＝CM，GM＝DM＝3﹣x，所以三棱锥的体积为V＝＝＝，（0＜x ＜3）令V'＝﹣＝0，解得x＝0或者x＝2，体积在（0，2）随x的增大而增大，在（2，3）增大而减小，V关于x的图象如下：故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝i．【解答】解：＝＝＝i故答案为：i．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．【解答】解：∵，∴＝1+＝．故答案为11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为90°．【解答】解：当x＝0时，得（y﹣2）2＝4，解得y＝0或y＝4，则AB＝4﹣0＝4，半径R＝＝，∵OA2+OB2＝（）2+（）2＝8+8＝16＝（AB）2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故答案为：90°12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△P AD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝＝，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面积是＝．故答案为：；．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280＝（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x＝2800，故答案为：2800．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是3．【解答】解：；∴①x∈[﹣2，0）时，；∴此时1＜y≤4；②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a；∴此时1≤y≤2a，则：0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3；∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，B∈（0，π），又sin2B+cos2B＝1，解得sin B＝．由正弦定理得：，即，∴AC＝4；（Ⅱ）在△ABC中，sin C＝sin（B+60°）＝sin B cos60°+cos B sin60°＝＝．∴＝．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【解答】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（Ⅱ）设事件M为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a、b，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A、B、C，D，E，其中a＝92，b＝93，A＝90，B＝91，B＝95，D＝96，E＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有（aA）、（aB）、（aC）、（aD）、（aE）、（bA）、（bB）、（bC）、（bD）、（bE），共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有（aA）、（aB）、（bA）、（bB）四种可能，故P（M）＝＝17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D＝D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝4，a n+1＝S n，∴a2＝S1＝a1＝4，a3＝S2＝a1+a2＝4+4＝8，a4＝S3＝a1+a2+a3＝4+4+8＝16；（Ⅱ）由a n+1＝S n，得a n＝S n（n≥2），﹣1两式作差得：a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起为公比是2的等比数列，当n≥2时，．∴；（Ⅲ）依题意，b2＝a2＝4，b3＝a3＝8，则，得，∴b n＝4（n﹣1）．∴，则，T n＝a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+…+（n﹣2）×2n+1+（n﹣1）×2n+2，，两式作差得：＝．∴．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝（x+）e x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）＝e x；（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，所以f（1）＝e，f′（1）＝2e；所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e＝2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e＝0；（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，f′（x）＝e x，设g（x）＝x3+x2﹣x+1，则g′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），故g（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（）＝＞0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．（Ⅲ）f′（x）＝e x；设h（x）＝x3+x2+ax﹣a，h′（x）＝3x2+2x+a，（1）当a＞0时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；而h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝2＞0，故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈（0，1）时，h′（x）＝3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数；又h（0）＝0，故f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；（3）当a＜0时，h（x）＝x3+x2+a（x﹣1），当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；综上所述，a＞0．。
2015年朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
4.axA .充分必要条件 C .充分而不必要条件0成立”是“ aB •必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件2 ”的5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入.在 如图所示的框图中，t 表示整点时刻，a （t ）表示时间 段［t 1,t ）内进入商场人次， S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总 人次数，则判断框内可以填A. 17? 19? 18? 18?x26•设冷冷公3均为实数，且 log 3 x 2, log 2 X 3 则北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015. 4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.B.C. 2 2D. 43•在ABC 中，若cosB_63，BC 6，则 AC B.4C. 2 3 x31.已知集合A 1,2, m2, B 1,m .若B A，则mA. 0B. 2C. 0 或2D. 1 或22•已知点A(1,y°) (y°0）为抛物线y22px p 0上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为3,则y°第二部分(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5 分, 共30分.把答案填在答题卡上.9.i 为虚数单位，计算 1 2i10.设S n 为等差数列 1 i a n 的前n 项和若a 3比 3 , S 3 1，则通项公式a n = .11.在极坐标中，设 0,02 n,曲线2与曲线sin2交点的极坐标为12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为.(用数字作答)2x y 0,13. 设z 3x y ，实数x ，y 满足2x y 0,其中t 0•若z 的最大值为5,则实数t 的0 y t,值为 ______ ，此时z 的最小值为 ______ . 14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n(n N )次.则第一次挖去的几何体的体积是 __________ ;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. (本小题满分13分)已知函数 f (x) cos 2 x3sinxcosx , x R .(I)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；A. x 1 x 3 x 2B. x 3 x 2 x (C.X 2D. x 2 x 1 x 3uuu uuu uurOP OA kOB (k R), A .1 B.2已知两点C. .2A(1,0) , B(1,1)，且 BOP 90o .设D. 28.设集合 M = (x o , y o ) X Q 2 y o 2 20,x o Z, y o Z,则M 中元素的个数为 A. 61B. 65C. 69D.847.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, luu 则OP 22(n)设x m (m R)是函数y f (x)图象的对称轴，求si n4m的值.16. (本小题满分13分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为50,60 ，60,70 ，70,80 ，80,90 , ［90,100］.据此解答如下问题.(I)求全班人数及分数在［80,100］之间的频率；(H)现从分数在［80,100］之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在［90,100］的份数为X，求X的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB // CD, AD CD , 1AB AD CD .2(I)求证：BF //平面CDE ;(H)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值(川)线段EC上是否存在点M，使得平面BDM 平面BDF ?若存在，求出的值；若不存在，说明理由•EC18. (本小题满分13分)2已知函数 f (x) alnx(a 1)x , a R .(I)当a 1时，求函数f (x)的最小值； (n) 当a 1时，讨论函数f(x)的零点个数.19. (本小题满分14分)的直线I 与椭圆C 交于A, B 两点，线段 AB 中点为D ， O 为坐标原点，过 O , D 的直线 交椭圆于M,N 两点.(I)求椭圆C 的方程；(n)求四边形 AMBN 面积的最大值. 20. (本小题满分 13 分)若数列 ｛a n ｝ 中不超过 f (m) 的项数恰为 b m (m N * ) ，则称数列 ｛b m ｝ 是数列 ｛a n ｝ 的生成数 列，称相应的函数f(m)是｛a n ｝生成｛b m ｝的控制函数.设f(m) m 2 . (I)若数列｛a n ｝单调递增，且所有项都是自然数， b 1，求a i ； (n)若数列｛a n ｝单调递增，且所有项都是自然数，a ib i ,求a i ；(川)若a n 2n(n 1,2,3L )，是否存在｛b m ｝生成©｝的控制函数g(n) pn 2 qn r (其中 常数 p,q,r Z )？使得数列 ｛a n ｝也是数列 ｛b m ｝ 的生成数列？若存在，求出 g(n) ；若 不存在，说明理由 .2 2已知椭圆C ：笃每1(a ba b0)的一个焦点为F (2,0)，离心率为一6•过焦点F3北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）2015. 4三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知，函数 f （x ） coS x 73 si n xcosxcos2x) + sin2x22 .函数f （x ）的最小正周期为16. （本小题满分13分）0.0125 10 0.125,4所以全班人数为32人.0.125所以分数在［80,100］之间的人数为32- （4+ 8+ 10）= 10人. 分数在［80,100］之间的频率为10 0 3125 (4)32 '（n ）由（I ）知，分数在 ［80,100］之间的有10份，分数在［90,100］之间的人数有0.0125创10 32=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3 .1 2(1 sin (2x函数f （x ）的单调减区间为 （n ）由x m 是函数yk Z .则 4m 2k空时（k Z ），即k n + n2 一k n + n , k n +-2n , 6 3 f （x ）图象的对称轴, 2m x k n + 3时，函数f （x ）为减函数.即3.9分n n—=k n — ( k Z )，即卩 m6 2•则 sin 4m — 3 2.13分解：（I ）由茎叶图可知，分布在［50,60）之间的频数为 由直方图，频率为1 C0 6X 0 1 2 3P11 3 1 6 21030随机变量X 的数学期望为EX 0 1 1 12 —3 —6210 3017. (本小题满分14分)解：(I)因为 AB//CD,AB 平面 CDE,CD 平面 CDE , 所以AB//平面CDE ，同理，AF //平面CDE ， 又ABI AF A,所以平面 ABF //平面CDE , 因为BF 平面ABF,所以BF //平面CDE . ••…(n)因为平面 ADEF A 平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD = AD ,CD A AD , CD 1 平面 ABCD ,所以CD A 平面ADEF .又DE 1平面ADEF ，故CD A ED . 而四边形 ADEF 为正方形，所以 ADA DE 又AD A CD ,以D 为原点，DA , DC , DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系 D xyz.设 AD 1，贝U D(0,0,0), B(1,1,0), F (1,0,1),C(0,2,0), E(0,0,1), umr取平面CDE 的一个法向量DA (1,0,0), ULUn DB 则 uLu r 0，即x y，令 x 1，则 y z n DF 0x z 0设平面BDF 的一个法向量n (x, y,z), 1,所以 n (1, 1, 1).设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为P(X0)P(X1)C 4C 62C 0 2’ P(X 2)C 0P(X 3)1 30E F则cosuuu 1 忑|cos DA,n |J3 3.9分所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是—0 = (0,0,1)，由(n)知平面BDF的一个法向量n二(1,- 1,- 1)，贝V m0?n二1? 0 ,则此时平面BDF与平面BDM不垂直.若M与C不重合，如图设EMEC(0? 1)，贝U M(0,2,1 ) ，设平面BDM的一个法向量m (mu ,r m DB u UJUm DM 0,y0, z0),，即x02y°0y (1 )Z0X)1，则y°1,Z0所以m (1,若平面BDF 平面BDM等价于0,所以丄0,1 .2所以，EC上存在点M使平面BDF 平面BDM EMEC.1分18.(本小题满分13分)解：(I)函数f (x)的定义域为x x 0 .1时,f(x) In xf (x)(x由(xx1)(xx1) 0 (x>2x2 .1)(x 1)x0)解得x 1 ；由(x 1)(x1) 所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1,12所以x 1时，函数f(x)取得最小值f(1)x)单调递增•0 (x> 0)解得0x1.•5分19.(本小题满分14分)解：(I)由题意可得c 2,c _6 解得a 6 , b 2 ,a 32 . 2 2 a b c ,22故椭圆的方程为—6也1.2 (4)(n)f(x) (X 1)(x a),x 0.X(1 )当a 0时，X (0,1)时，f (x) 0 , f(x)为减函数；X (1,)时，f (x) 0 , f (x)为增函数•所以f (x)在x 1时取得最小值f⑴2(i)当a 0 时，f(x)— 2 x，由于x 0，令f (x) = 0，x= 2，则f (x)在(0,(ii)当勺a -时,2即 f (1)0时，f(x)有一个零点;(iii) 当1a -时，即f (1)0时， f (x)无零点•有一个零点；21(iv)当a 0 时，即f(1) 0 时，2由于x 0 (从右侧趋近0)时，f (x) ; x 所以f (x)有两个零点•(2)当0 a 1 时，x (0,a)时，f (x) 0, f(x)为增函数；x (a,1)时，f (x) 0 , f (x)为减函数；x (1,)时，f (x) 0 , f (x)为增函数•所以f (x)在x a处取极大值，f (x)在x 1处取极小值时，f (x)f(a)1 2 1 2al na a (a 1)a a l na a a.2 2当0 a 1 时，f(a) 0 ,即在x (0,1)时，f(x) 0.而f (x)在x (1,)时为增函数，且x 所以此时f (x)有一个零点•(3)当a 1 时，f (x) (x 1)0在0,x且x 0 (从右侧趋近0)时，f (x) 所以f (x)有一个零点•时，f (x)上恒成立, 所以 f (x)为增函数；x时，f(x) •综上所述，0 a 1或a f (x)有两个零点•1 1时f (x)有一个零点；a 时，f (x)无零点;2 2• 13分1112A, B 的坐标分别为 R,-6) , (2, 6) , I MN I 2.6，33y 3)，点M,N 至煩线I 的距离分别为 d-d ?，则四边形 AMBN 面积为所以 |AB| ■ (1 k 2)[(X ! X 2)2 4XX 2】2 一6(1 k 2)(n)当直线1斜率不存在时四边形 AMBN 面积为 1 S AMBN ^|MN I |AB| 4 •当直线 1斜率存在时, 设其方程为 y k(x 2)，点 A(X i ,yJ , B(x 2,y 2) , M (X 3, y 3),N( X 3, S AMBN Z|AB|(d i d 2)• 22X 由~6 y 2y 2k(X i,得(1 3k 2)X 2 12k 2X2),212k6 0,则X i12k 2X 22， 1 3kXX 212k 2 6 1 3k■ (1 k 2)[( 12k 2 1 3 k 2)2--------- 212k 2 6]2 ] 1 3k因为y 1y 2 k(x 1 X 2 4)所以AB 中点 6k 2D(k2k 3k 2当k 1 0时，直线OD 方程为x 3ky 0 ,x 3ky 0, 由X 2 y 2解得X 3石T 1 2,2 3ky s , y32 1 3k 2、 1所以 S AMBN _ | AB | (d 1 d 2)2 丄 2.6(1 k 2)(| kx3 y 3 2k | | kx 3 * 2k|) 2 13k 2 .1 k 2■1 k 26 1 k 2 |2kx 3 细 1 3k 2 2、6 1 k 2 | 3k 2y 3 回1 3k 2当k 0时，四边形AMBN面积的最大值S AMBN = 2 6?、. 2 4. 3.20.(本小题满分13分)解：(I)若b 1，因为数列®｝单调递增，所以a i 12，又印是自然数，所以a 0或1. ......... 2分(H)因为数列｛a n｝的每项都是自然数，若a 0 1 ,则b 1，与a b矛盾；2若a 2，则因｛a n｝单调递增，故不存在a n 1 ,即b 0，也与a b矛盾.当a1 1时，因｛a n｝单调递增，故n 2时，a. 1，所以h 1，符合条件，所以，a1 1 . 6分(川)若a n 2n(n 1,2丄)，则数列｛a n｝单调递增，显然数列｛b m｝也单调递增,1 由a n m2，即2n m2，得n - m2,21 2所以，b m为不超过？m的最大整数，当m= 2k- 1 (k? N*)时，因为2k2 2k舟m2 2k2 2k 1 2k2 2k 1 , 所以b m 2k2 2k ；当m=2k(k?N)时，gm2 2k2，所以，b m 2k2.?2k2- 2k, m= 2k- 1(k? N*) b m彳2k2,m= 2k(k? N*)若数列｛a n｝是数列｛b m｝的生成数列，且｛b m｝生成｛%｝的控制函数为g(n),则b m中不超过g(n)的项数恰为a n，即b中不超过g(n)的项数恰为2n ,所以b2n g(n) 2 2b2n 1，即2n pn qnr 2n2 2n对一切正整数n都成立,即(P(22)n2P)n2qn r 0对一切正整数(2 q)n r 0n都成立，2，1 3k综上四边形AMBN面积的最大值为4. 3 •14分综上,即当m> 0且m为奇数时, b mm2 - 1当m > 0且m为偶数时, b m = 4.3 •13qn r 0故得p 2，且对一切正整数n 都成立，故0 q 2，q Z .(2 q)n r 0又常数r Z ，当q0时，0r2n(n1) ，所以r0，或r 1 ；当q1时，nr n(n1)，所以r0，或r 1 ；当q2时，2n r 0(n1) ，所以r2，或r 1 ；所以g(n)22n2，或2n2 1 ，或2n2n1，或2n2 n ，或2n22n 2 ，或2n22n 1(n? N*).......... 13分1 3 k24k14。
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北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a ，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.图1图2图328．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，n n an 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分12436--=k244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根，① ②∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，=………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分 （3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP .∴DB AF PD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分 图1（2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。