线性相关系数
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数是一种度量变量之间关系紧密程度的统计指标，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
在统计学的研究和实践中，相关系数在许多领域都起着极为重要的作用。
在本文中，我们将着重探讨相关系数的计算公式和方差计算方法，并且提供一定的使用指导意义，帮助读者更好地理解和应用相关系数。
一、相关系数的计算公式相关系数一般用字母r表示，计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (SD(X) * SD(Y))其中，Cov(X,Y)表示变量X与Y之间的协方差，SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
这个公式表明，相关系数的计算取决于变量X和Y之间的协方差、X和Y的标准差。
当协方差为正数时，X和Y呈正相关关系；当协方差为负数时，X和Y呈负相关关系。
而当协方差为0时，X和Y之间不具有任何线性相关性。
二、方差的计算方法方差是统计学中常用的一种表示数据离散程度的指标，它是各个数据值与其均值差的平方的和的平均值。
方差的计算方法如下：S² = Σ (Xi - X)² / n其中，S²表示方差；Xi表示第i个数据值；X表示平均数；n表示样本数。
方差的计算是通过测量样本中各个数据值与它们的平均值的偏离程度，来体现样本数据的离散程度。
在统计学中，方差是很重要的一个概念，经常被用于衡量数据集的离散程度，并且方差的大小可以对比不同数据集之间的差异性和稳定性。
三、使用相关系数的指导意义相关系数是衡量两个变量线性相关度量的一个重要方法，它可以及时发现和分析变量之间的相互关系，为后续的数据分析和决策制定提供基础依据。
在实际应用中，相关系数可以被广泛应用于经济、社会学、生物学、医学等多个领域。
在进行相关系数的计算和应用时，需要注意以下几点：1. 相关系数是用于描述两个变量之间的线性关系，而非其他非线性关系，如二次关系、指数关系等。
2. 相关系数的取值范围是[-1,1]，其中，-1表示完全的负相关，0表示两个变量之间没有关系，1表示完全的正相关。
相关系数r的推导
相关系数r的推导相关系数r的推导相关系数（correlation coefficient）是用来衡量两个变量间线性关系强度的一种统计量。
统计学上常常使用相关系数对两个变量之间的相关性进行量化描述。
下面我们来看看相关系数的推导方法。
假设有两个随机变量X和Y，他们的协方差为Cov(X,Y)，方差分别为Var(X)和Var(Y)。
相关系数r为：r = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y)))其中，sqrt表示平方根。
通过以上公式可以看出，相关系数r的值在-1到1之间变化，如果r=1则说明两个变量之间存在完全正相关关系，r=0说明两者之间没有线性关系，r=-1说明两个变量之间存在完全负相关关系。
举个例子，假设有一组身高和体重的数据，我们可以计算两者之间的相关系数，如果相关系数为0.8则说明身高和体重之间存在较强的正相关关系，如果相关系数为-0.5则说明身高和体重之间存在较弱的负相关关系。
在推导相关系数时，我们需要注意以下几个方面：1. 相关系数只能描述两个随机变量之间的线性关系，而不能描述他们之间的非线性关系。
2. 协方差Cov(X,Y)是随机变量X和Y之间的一种度量，描述的是X与Y的离散程度以及它们之间的关系程度。
协方差的计算公式为：Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中E表示期望，E(X)表示随机变量X的期望。
3. 方差Var(X)是随机变量X的一种度量，描述的是X的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]通过以上公式就可以推导出相关系数r的计算方法了。
在实际应用中，相关系数r常常用于数据分析、财务分析、市场营销等领域。
例如，在市场营销中，我们可以利用相关系数来评估广告投入与销售额之间的关系，以此来优化广告投放策略。
线性回归中的相关系数
线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当i x 不全为零,y i 也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是:()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数(简称相关系数).说明:(1)对于相关系数r ,首先值得注意的就是它的符号,当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示两个变量x ,y 负相关;(2)另外注意r 的大小,如果[]0.751r ∈，,那么正相关很强;如果[]10.75r ∈--，,那么负相关很强;如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，,那么相关性一般;如果[]0.250.25r ∈-，,那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析(1)对变量y 与x 进行相关性检验;(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高.解:(1)66.8x =,67y =,102144794i i x ==∑,102144929.22i i y ==∑,4475.6x y =,24462.24x =,24489y =,10144836.4i i i x y ==∑,所以10i ix ynx yr -∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04≈≈, 所以y 与x 之间具有线性相关关系. (2)设回归直线方程为y a bx =+,则101102211010i ii i i x yxyb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-,670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=.故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+. (3)当73x =英寸时,0.46857335.704269.9047y =⨯+=, 所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69、9英寸.点评:回归直线就是对两个变量线性相关关系的定量描述,利用回归直线,可以对一些实际问题进行分析、预测,由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这就是此类问题常见题型.例2 10其中x 为高一数学成绩,y 为高二数学成绩. (1)y 与x 就是否具有相关关系;(2)如果y 与x 就是相关关系,求回归直线方程. 解:(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得 101710ii x==∑,101723i i y ==∑,71x =,72.3y =,10151467i i i x y ==∑.102150520ii x==∑,102152541i i y ==∑.1010i ix yx yr -=∑0.78=≈.由于0.78r ≈,由0.780.75>知,有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系. (2)y 与x 具有线性相关关系,设回归直线方程为y a bx =+,则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑,72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-.所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-.点评:通过以上两例可以瞧出,回归方程在生活中应用广泛,要明确这类问题的计算公式、解题步骤,并会通过计算确定两个变量就是否具有相关关系.。
相关系数 解读
相关系数解读
相关系数是一种统计方法，用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
它的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量增加，另一个变量也随之增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增加，另一个变量会减少。
相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的绝对值越接近1，代表相关关系越强。
当相关系数等于1或-1时，表示存在完全的线性关系，可以通过一条直线完全描述变量之间的关系。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
需要注意的是，相关系数只能衡量线性关系，无法反映其他类型的关系，如曲线关系或非线性关系。
此外，相关系数并不代表因果关系，仅仅表示两个变量之间的相关程度。
在解读相关系数时，我们通常使用以下标准：
- 0.8至1.0（包括）：表示强正相关
- 0.6至0.8（包括）：表示中等正相关
- 0.4至0.6（包括）：表示弱正相关
- 0.2至0.4（包括）：表示弱相关或无线性关系
- 0至0.2（包括）：表示无线性关系
需要注意的是，这些解释只是一般情况下的参考，具体解读还需结合具体研究领域和数据特点进行分析。
3.1.2 相关系数
3.1.2 相关系数1．有什么办法判断两个变量是否具有线性相关关系？【提示】 作出散点图，看这些点是否在某一直线的附近，计算线性相关系数． 2．线性相关系数与最小误差有何关系？ 【提示】 Q (误差)＝l yy (1－r 2)．3．相关系数r 的绝对值的大小对相关性有何影响？【提示】 |r |越大，变量之间的相关程度越高；|r |越小，变量间线性相关程度越低；当r ＝0时，两个变量线性不相关．4．r 的正负对相关性的影响．【提示】 r >0，b ＝l xyl xx >0两变量正相关；r <0，b ＝l xyl xx<0，两变量负相关．1．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有： (1)计算线性相关系数r . (2)画散点图．2．假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r 的计算公式为r ＝l xyl xx l yy＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能就越好，而甲醛浓度是影响“缩醛化度”的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批试验，甲醛浓度【思路探究】可直接利用相关系数r的公式直接计算．【自主解答】列表如下：x＝24，y＝28.99，r＝∑7i＝1x i y i－7x y∑7i＝1x2i－7x2∑7i＝1y2i－7y2＝4 900.16－7×24×28.994 144－7×242×5 892.013 6－7×28.992≈0.94.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低．下列是小麦产量与施化肥量的一组观测数据：【解】∴r ＝∑i ＝17x i y i －7x y(∑i ＝17x 2i －7x 2)(∑i ＝17y 2i －7y 2)＝4 300700×27 771.43≈0.975.由于r ＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．“阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下： 店铺编号 区内大学生数(万人)季度销售额(万元)(2)试根据这些数据建立回归模型，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生人数1万人店铺的季度销售额；(3)若店铺的季度销售额低于10万元则亏损，试求建店区内大学生人数至少约多少人？ 【思路探究】 先根据表中的数据作相关检验，然后判断是否具有相关关系，再根据所给的数据解出线性回归方程，最后进行预测．【自主解答】 (1)根据数据我们对区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 作相关检验．根据数据可知：x ＝110(0.2＋0.6＋…＋2.6)＝1.4；y ＝110(5.8＋10.5＋…＋20.2)＝13，∑10i ＝1x 2i －10x 2＝5.68，∑10i ＝1x i y i －10x y ＝28.4，∑10i ＝1y 2i －10y 2＝157.3，因此r ＝28.45.68×157.3≈0.95；|r |接近1，因此有把握认为区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程有意义．(2)回归系数b ＝28.45.68＝5，a ＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y ＝bx ＋a ＝5x ＋6.当x ＝1时，y ＝5×1＋6＝11，即区内大学生人数1万元店铺的季度销售额约11万元． (3)由回归直线方程是y ＝5x ＋6.令y ≥10，解得x ≥0.8， 所以当建店区内大学生人数至少8 000人时才适合建店．进行相关性检验主要有两种常用方法，一是作散点图，观察所给的数据点是否在一条直线的附近，作散点图的优点是既直观又方便，是解决相关性检验问题比较常用的方法；缺点是作图总是存在误差，有时很难判断这些点是不是分布在一条直线的附近．二是利用样本相关系数对其进行相关性检验，优点是判断准确，缺点是计算繁琐，但可以借助计算器进行处理．在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：(2)求y 对x 的回归方程；(3)若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村的患癌症的人数． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)观察散点图，可知x 、y 成线性相关关系． 计算得x ＝327，y ＝2007，根据求b 公式代入数据计算得 b ≈6.065，a ＝2007－6.065×327≈0.846.所以患癌症人数y 对水源中砷超标的倍数x 的回归直线方程为y ＝6.065x ＋0.846. (3)根据上面求得的回归直线方程，当水源中砷超标的倍数为7时，y ＝6.065×7＋0.846＝43.301.即该村患癌症的人数约为43人．对误差的大小与变量相关关系的理解有误对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是()A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)B．在回归分析中，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小D．在散点图中，若n个点在一条直线上，说明变量之间的相关性强【错解】 B【错因分析】对误差Q与变量间的相关关系理解错误．【防范措施】正确理解回归方程、相关系数r、误差Q、散点图等概念是解决概念题的基础．【正解】∵误差Q越小，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，而相关系数r的范围为－1≤r≤1，∴C错误．【答案】 C1．相关系数是用来刻画两个变量相关关系的强与弱的．2．相关系数的计算公式r＝∑ni＝1(x i－x)(y i－y)∑ni＝1(x i－x2)∑ni＝1(y i－y2)＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y21．在对变量y 和x 进行线性相关检验时，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2； ③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝3，r ＝0.9950. 则变量y 和x 具有较高线性相关程度的是( ) A ．①和② B ．①和④ C ．②和④D ．③和④【解析】 相关系数r 的绝对值越大，变量x ，y 的线性相关程度越高，故选B. 【答案】 B2．对相关系数r ，下列说法正确的是( ) A ．|r |越大，相关程度越大 B ．|r |越小，相关程度越大C ．|r |越大，相关程度越小，|r |越小，相关程度越大D ．|r |≤1且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近0，相关程度越小 【解析】 由两个变量相关系数公式r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2，可知，|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小，故选D. 【答案】 D3．在回归分析中，相关系数|r |越大，则误差Q (a ，b )应 ________．【解析】 ∵Q ＝l xy (1－r 2)>0， ∴|r |越大，Q 越小． 【答案】 越小4．一唱片公司欲知打歌费用x (十万元)与唱片销售量y (千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：∑10i ＝1x i ＝28，∑10i ＝1x 2i ＝303.4，∑10i ＝1y i ＝75，∑10i ＝1y 2i ＝598.5，∑10i ＝1x i y i ＝237，求y 与x 的相关系数r 的值．【解】 由题中数据可知 r ＝237－10×2.8×7.5303.4－10×2.82×598.5－10×7.52＝0.3.一、选择题1．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()①②A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【解析】由题图①可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图②可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．【答案】 C2．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()图3－1－1A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】∵回归直线方程y＝a＋bx中a＝y－b x，∴y＝y－b x＋bx，当x＝x时，y＝y，∴直线l过定点(x，y)．【答案】 A3．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，经计算得y ＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y 为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B ．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D ．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%【解析】 x ＝37时，y ＝0.577×37－0.448＝20.90，因为回归方程得到的y 值只是近似的，故选C.【答案】 C4．若回归直线方程中的回归系数b ＝0，则相关系数为( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0D ．无法确定【解析】 因为b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝0时，有∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )＝0，故相关关系r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2＝0.【答案】 C5．两个变量满足如下表关系．A ．较高B ．较低C ．不相关D ．不确定【解析】 ∑5i ＝1x i ＝75，∑5i ＝1y i ＝543，∑5i ＝1x 2i ＝1 375，∑5i ＝1x i y i ＝8 285，∑5i ＝1y 2i ＝59 051，x ＝15，y ＝108.6.r＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5i＝1x2i－5x2∑5i＝1y2i－5y2＝8 285－5×15×108.61 375－5×152×59 051－5×108.62≈0.982 6.故两个变量间的线性相关程度较高．【答案】 A二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与误差平方和m如下表：则________【解析】由表可知，丁同学的相关系数r最大且误差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性．【答案】丁7．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素之间的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程如下：y＝0.8x＋4.6，斜率的估计值等于0.8，说明________________________________________；成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．【答案】一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于08．设变量x与y的相关系数为0.857，现在设y1＝100y，x1＝1 000x，将单位由y的cm 变为y1的m，x的ms变为x1的s，则y1与x1的相关系数为________．【解析】新变量是原变量的线性函数(系数大于0)时，样本的相关系数不变．【答案】0.857三、解答题9．高三·一班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学平均成绩y(单位：分)之间有如下数据：【解】 由表中数据可得x ＝17.4，y ＝75.9，所以相关系数r ＝∑i ＝110x i y i －10x y(∑i ＝110x 2i －10x 2)(∑i ＝110y 2i －10y 2)≈0.892.所以x 与y 具有线性相关关系．10．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：求 【解】 由已知数据得x ＝17×∑7i ＝1x i ≈0.543，y ＝17×145.2≈20.74，∑7i ＝1x 2i ＝2.595，∑7i ＝1y 2i＝3 094.72，∑7i ＝1x i y i ＝85.45.∵b ＝85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46，∴a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97. 回归直线方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑7i ＝1x i y i －7x y ＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑7i ＝1x 2i －7x 2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑7i ＝1y 2i －7y 2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 比较接近于1，故钢铁碳含量与电阻之间的线性相关关系较为显著．11．下面的数据是年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y (满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x (小时)．(1)r ；(2)求心脏功能水平y 与每天花在看电视上的平均时间x 的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．【解】 n ＝6，x ＝16(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.716，y ＝16(52＋53＋…＋65)≈64.166 7，∑6i ＝1x 2i －6x 2＝(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.7162≈19.968 3， ∑6i ＝1y 2i －6y 2＝(522＋532＋…＋652)－6×64.166 72≈964.833 3， ∑6i ＝1x i y i －6x y ＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.716×64.166 7≈－124.360 7.(1)心脏功能水平y 与每天花在看电视上的平均时间x 之间的相关系数： r ＝－124.360 719.968 3×964.833 3≈－0.896.(2)b ＝－124.616 719.968 3≈－6.227 9，a ＝y －b x ＝87.309 6，心脏功能水平y 与每天花在看电视上的平均时间x 的线性回归方程为y ＝－6.227 9x ＋87.309 6.因为|r |＝0.896，所以有相当大的把握认为y 与x 之间有线性关系，这个方程是有意义的． (3)将x ＝3代入线性回归方程y ＝－6.227 9x ＋87.309 6，可得y ＝68.6，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.6.(教师用书独具)对于x 与y 有如下观测数据：(2)根据数据判断x 与y 是否具有相关关系； (3)求x 与y 的回归直线方程；(4)根据回归直线方程，预测y ＝20时x 的值．【思路探究】 解决有关线性回归问题的一般步骤是：散点图→相关系数→回归方程． 【自主解答】 (1)作出散点图，如图(2)x ＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37，y ＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋8＋9＋10)＝7，∑i ＝18x 2i ＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11 920， ∑i ＝18y 2i ＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，∑i ＝18x i y i ＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2 257，∑i ＝18x i y i －8x y ＝2 257－8×37×7＝185，∑i ＝18x 2i －8x 2＝11 920－8×372＝968，∑i ＝18y 2i －8y 2＝428－8×72＝36，∴r ＝∑i ＝18x i y i －8x y(∑i ＝18x 2i －8x 2)(∑i ＝18y 2i －8y 2)＝185968×36≈0.991.由于r ＝0.991接近于1，因此，认为两个变量有很强的相关关系．(3)回归系数b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝2 257－8×37×711 920－8×372≈0.191，a ＝y －b x ＝7－0.191×37＝－0.067， 所以y 对x 的回归直线方程是y ＝0.191x －0.067.(4)当y ＝20时，有20＝0.191x －0.067，有x ≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.1．本题没有说明y 对x 呈线性相关关系，故需根据散点图先确定变量是否线性相关． 2．相关系数用来检验线性相关性的强弱．10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：(1)y 与x 是否具有相关关系；(2)如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程；(3)如果某同学在高一时的数学成绩为90分，试估计其在高二时的数学成绩． 【解】 (1)由已知表格中的数据，计算得∑i ＝110x i ＝710，∑i ＝110y i ＝723，x ＝71，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，∑i ＝110x 2i ＝50 520，∑i ＝110y 2i ＝52 541. r ＝∑i ＝110x i y i －10x ·y∑i ＝110x 2i －10x2∑i ＝110y 2i －10y2＝51 467－10×72.3×7150 520－10×712·52 541－10×72.32≈0.780 297.由于r ≈0.780 297，可认为x 与y 之间具有线性相关关系． (2)y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程y ＝a ＋bx ，则b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.22，a ＝y －b x ＝72.3－1.22×71＝－14.32， 所以y 关于x 的回归直线方程为 y ＝－14.32＋1.22x .(3)y ＝－14.32＋1.22×90≈95(分)．教学拓展如何利用残差图进行残差分析？ 在回归模型中，残差变量是一个不能被观测的量，即在实际问题中我们无法得到残差变量的观测值．因此，我们不能希望有某方法获取残差变量的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的残差变量，这种估计对于查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用．残差分析是回归诊断的一种方法．最简单的残差分析是通过观测残差图，以发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当．利用残差图进行残差分析的具体步骤如下：①计算每组观测数据的残差，e ^i ＝y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )，即残差等于观测值减预测值．②画残差图．残差图的纵坐标为残差，横坐标通常可以是观测样本的序号、自变量x 或因变量的预测值等，残差图是一种散点图．③分析残差图．几种常见的残差图如下：图1图2图3图4我们以横坐标为观测样本的序号为例，说明每张图的含义．图1：残差散点图中的点分布在以0为中心的水平带形区域上，并且沿水平方向散点的分布的规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型建模是合理的．图2：残差散点图中的点分布在一条倾斜的带形区域上，并且沿带形区域方向散点的分布的规律相同，说明残差与横坐标有线性关系，此时所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.图3：残差散点图中的点分布在一条二次曲线形的弯曲带形区域上，说明残差与坐标横轴变量有二次关系，此时所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地．图4：残差散点图中的点的分布范围随着横坐标的增加而增加，说明残差的方差与坐标横轴变量有关，不是一个常数，此时所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地，④找异常值．根据计算的残差值和残差图，观察残差是否有特别大的那些点，即远离横坐标轴的点．如果存在远离坐标轴的点，就要研究它出现的原因，是否在数据收集和录入中出现错误，如果有错误，改正后重新建立回归模型．。
相关系数r的计算
相关系数r的计算相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
需要说明的是，皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常见的相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。
因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1﹔当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。
特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。
相关系数r r平方
相关系数r r平方相关系数r和r平方是统计学中常用的两个指标，用于衡量两个变量之间的关系强度和解释力度。
本文将详细介绍相关系数r和r平方的含义、计算方法以及其在实际应用中的意义和局限性。
一、相关系数r的含义和计算方法相关系数r用于衡量两个变量之间的线性关系强度，取值范围在-1到1之间。
当r接近于1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当r接近于-1时，表示两个变量之间存在强负相关关系；当r接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
相关系数r的计算方法是通过计算两个变量的协方差和标准差来得到的。
协方差衡量了两个变量的总体变异程度，而标准差则衡量了单个变量的离散程度。
相关系数r的计算公式如下：r = cov(X, Y) / (σX * σY)其中，cov(X, Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
二、r平方的含义和计算方法r平方（也称为决定系数）表示一个变量的变异程度可以由另一个变量来解释的比例，取值范围在0到1之间。
r平方越接近1，表示一个变量可以更好地被另一个变量解释；r平方越接近0，表示一个变量很难被另一个变量解释。
r平方的计算方法是将相关系数r的平方值作为r平方的值，即r平方 = r^2。
三、相关系数r和r平方的实际应用意义1. 描述变量之间的关系：相关系数r和r平方可以帮助我们了解两个变量之间的关系强度和解释力度。
通过分析相关系数r和r平方，我们可以判断两个变量是否存在线性关系以及解释变量之间关系的程度。
2. 预测和建模：相关系数r和r平方可以用于预测和建立模型。
当两个变量之间存在较强的正相关关系时，可以利用相关系数r来进行预测。
同时，r平方可以用来评估建立的模型的拟合程度，从而判断模型的可靠性。
3. 数据分析和决策支持：相关系数r和r平方可以用于数据分析和决策支持。
通过计算相关系数r和r平方，可以帮助我们发现变量之间的关系，为决策提供科学依据。
例如，在市场营销中，可以通过相关系数r和r平方来分析产品销量与广告投放之间的关系，从而制定合理的广告策略。
相关系数
1.2 相关系数
复习
给定n个样本点（x1,y1）,（x2,y2）,…（xn,yn），如 给定n个样本点（ ,…（ ），如 果图像上面显示它们具有线性相关关系的话， 果图像上面显示它们具有线性相关关系的话，就可以 通过下面的公式计算出a,b的值， a,b的值 通过下面的公式计算出a,b的值，代入 y=a+bx 即可得 n 线性回归方程。 线性回归方程。
则两变量负相关； < 0，则 b < 0，则两变量负相关； 则两变量不相关。 = 0，则两变量不相关。
相关系数取值及其意义
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
0.5
正相关程度增加
1.0
r
负相关程度增加
1.试计算课本P 中变量的线性相关系数r 1.试计算课本P73中变量的线性相关系数r。 试计算课本 2.计算下表中两变量的线性相关系数r 2.计算下表中两变量的线性相关系数r： 计算下表中两变量的线性相关系数 x y -5 0 -4 3 -3 4 0 5 3 4 4 3
=
∑ ( x − x)( y − y)
i =1 i i
n
∑ ( x − x) ∑ ( y − y )
2 i =1 i i =1 i
n
n
2
=
∑ x y − nx y
i =1 i i n
n
∑x
i =1
2
i
− nx
2
n
∑y
i =1
2
i
− ny
2
Q(a, b) = l yy + n[ y − (a + bx)]2 + lxx (b − ) 2 − lxx lxx 2 2 lxy lxy Qmin = l yy − = l yy (1 − ) = l yy (1 − r 2 ) lxx l yy lxx 2 由于 Q ≥ 0 ，所以 r ≤ 1 ，即 r ∈ [−1,1]
相关系数 与相关强度
相关系数 与相关强度
相关系数是衡量两个变量之间线性相关性的指标，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数
（ Pearson Correlation Coefficient ）、斯皮尔曼相关系数（ Spearman Correlation
Coefficient）和肯德尔相关系数（ Kendall Correlation Coefficient ）等。这些相关系
数的值介于-1 到 1 之间，其中：
- -1 表示完全负相关，即两个变量的变化方向完全相反；
- 1 表示完全正相关，即两个变量的变化方向完全相同；
- 0 表示完全无相关，即两个变量之间没有线性关系。
相关强度是指两个变量之间线性相关性的强弱程度，通常可以通过相关系数的绝对值来
衡量。相关系数的绝对值越大，相关强度就越强。一般来说，可以根据相关系数的绝对值将
相关强度分为以下几类：
- 0.00-0.19：极弱相关或无相关；
- 0.20-0.39：弱相关；
- 0.40-0.59：中等相关；
- 0.60-0.79：强相关；
- 0.80-1.00：非常强相关。
需要注意的是，相关系数只能衡量两个变量之间的线性相关性，而不能反映非线性关系。
此外，相关系数的大小还受到样本大小、数据分布等因素的影响，因此在解释相关系数时需
要综合考虑这些因素。
总之，相关系数是衡量两个变量之间线性相关性的指标，其值介于-1 到 1 之间，而相
关强度是指两个变量之间线性相关性的强弱程度，可以通过相关系数的绝对值来衡量。
线性相关
0.964
即基础代谢与体重之间的相关系数为0.964，呈正相关， 说明基础代谢随体重的增加而升高
三、相关系数的统计推断
(一)假设检验方法： 查表法
按自由度υ=n-2查r界值表，如果样本相关系数r大于界值，
则具有统计学意义，线性相关关系存在
t检验法
tr
r0 sr
υ=n-2
sr
1 r2 n2
例3 继例2中算得r=0.964后，试检验相关是 否具有统计学意义
• 例4 某地研究2~7岁急性白血病患儿的血小 板数与出血症状程度之间的相关性,结果见 表2,试用秩相关进行分析
表2 急性白血病患儿的血小板(109/L)和出血症状
病人编号 血小板数 秩次 p2 出血症状
X
p
Y
(1)
(2)
(3) (4) (5)
1
121
1 1 +++
2
138
2 4 ++
3
165
39
当n>50时，也可采用前面Pearson相关系 数的检验公式－－t检验法
例5 对例4的秩相关系数作假设检验
• 例4中算得rs 0.442 查 rs 临界值表， rs r12,0.1 0.503 ，按 0.05的水准，不能拒 绝 H0 ，可以认为急性白血病患儿的出血症 状与血小板数之间无相关关系
3000
3500
4000
4500
基础代谢
5000
5500
图 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的散点图
线性相关(linear correlation)
• 又称简单相关(simple correlation) • 是指两个随机变量X、Y之间呈直线型变化趋势
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常见的相关系数为简单相关系数，简单相关系数又称皮尔逊相关系数或者线性相关系数。
线性相关系数计算公式如图所示：
r值的绝对值介于0～1之间。
通常来说，r越接近1，表示x与y两个量之间的相关程度就越强，反之，r越接近于0，x与y两个量之间的相关程度就越弱。
线性相关系数性质：
(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1。
相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时。
称X,Y不相关; | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时，X的变动引起Y 的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，| ρXY | > 0.8时称为高度相关，当| ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。
(2)推论:若Y=a+bX，则有。
证明: 令E(X) = μ，D(X) = σ。
则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ。
E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)。
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。
若b≠0，则ρXY ≠0。
若b=0，则ρXY = 0。