2009年高三期末考试数学试题及答案

2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷

、填空题：

x x =sin ——，n 乏 Z

3

2 ，贝U cos 壽 ^sin = 2

4x 3y -25 _ 0 x-2y 2_0 ，贝U cos._ POQ 的

x-1 _ 0

最小值为 ___________

4•设A , B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA 二PB ,若直线

则直线PB 的方程是 ________________________

14. 设A 为锐角三角形的内角， a 是大于0的正常数，函数y=一1

a

的最小值是9,

cosA 1 - cos A

则a = ____ 二、解答题

15. 已知 f (x) = ax 3 3x 2 - x 1 , a R .

(1) 当a = _3时，求证：f (x)在R 上是减函数；

(2) 如果对-x ・R 不等式「(x)乞4x 恒成立，求实数a 的取值范围.

5. 已知函数f(x)在x =1处的导数为1,则 四 ”1*；)一 f ⑴= _________________

6. 若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个

函数：

分别给出命题：

甲：函数f (x)的值域为(一1, 1 )； 乙：若X 1丰X 2,则一定有f (X 1)工f (X 2)； 你认为上述三个命题中正确的个数有

2 2

9•过定点P (1,2)的直线在x 轴与y 轴正半轴上的截距分别为 a 、b ,则4a b 的最小值为 ____________ 10•若直线y =2a 与函数y =|a x -1| (a 0且a=1)的图象有两个公共

点，则 a 的取值范围是 — 11. “已知数列 Qn 餐为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数 m,n m^n ，使得S m =S n ,

贝V S m ^ =0。” 类比前面结论，若正项数列 为等比数列， ___________________________ 12. Rt △ ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点，CD 丄AB,则(CA *CD)(CA *CE)的最大值为

，则满足条件P U 兰3,—匸 2 2

二M 的集合P 的个数是

卄 COS 2G 2

若 一二

sin 丨口 一 n I

I 4丿

3•已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组

「1 、

13.设 A= (a 1 , a 2, a 3) , B= b 2

，记 A o B=ma^a 1b 1,a 2b 2,a 3bJ ,若 A= (x —1,x+1,1) , B=

x-2

J-1丿

为“同形”函数

2 2

7. 椭圆ax - by =1与直线y =1 - x 交于A 、B 两点，过原点与线段

―,则 a =

2 b

AB 中点的直线的斜率为

16.在厶ABC 中，a,b, c 分别为角 A 、B 、C 的对边, a =3, △ ABC 的面积为6,

8.—次研究性课堂上，老师给出函数

f(X )二

1+|x|

x

(x ・R)，三位同学乙、丙在研究此函数时

D ABC 内任一点，点 D 到三边距离之和为 d o

⑴求角A 的正弦值；

⑵求边b 、c ；

⑶求d 的取值范围

f 1 x =sinx cosx, f 2 x =、2sinx 2 , f 3 x =sinx 则

丙：若规定 f i (x) =f (x), f n (x) =f(f n 」(x)),则 f n (X )二 -一 对任意n • N ”恒成立.

1 n|x|

a 、 且A o B= x — 1，则x 的取值范围为 ______________________ 。

19•某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污

染指标f(t)与时间t (单位：小时)之间的关系的函数模型:

⑴求g(t)的值域； ⑵求M (a )的表达式；

⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过 2.0,试问：若按给定的函数模型预测，该市

目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。

18.已知直线(1 4k)x -(2 -3k)y -(3 12k) =0(k • R)所经过的定点 F 恰好是椭圆C 的一个焦 点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. (1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 已知圆O ：X 2 *2=1,直线l : mx ny =1.试证明当点P(m, n)在椭圆C 上运动时， 直线l 与圆O 恒相交；并求直线丨被圆O 所截得的弦长的取值范围

3

20.已知函数 f(x) = x - 3ax(a R)

(1) 当a = 1时，求f (x)的最小值；

(2) 若直线x •厂 m = 0对任意的R 都不是曲线y = f (x)的切线, 求a 的取

值范围

(3) 设 g(x) =| f (x)|,x

[-1,1]，求 g(x)的最大值 F(a)的解析式。

(川)求三棱锥 A-BDE 的体积.

f(t) = g(t) 3 - 1

+ 2a, t^[0,24)，其中，g(t)=2Sin

t-18)代表大气中某类随时间 t 变化的典型

3

污染物质的含量；参数 a 代表某个已测定的环境气象指标，且 a [0,3]。

(I )求证：B i D